NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Débutants

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FAQ

NOMBRES & CHIFFRES

 

Glossaire

COMPTER

 

 

INDEX

 

Combinatoire

Nombres en général

Nombres en arrangements

Divisible par 2

Pairs non placés

Nombre à k chiffres différents

Divisible par 5

 

Sommaire de cette page

>>>  Bilan

>>>  Dénombrement des nombres comportant au moins un 5

>>>  Quantité de nombres jusqu'à N

>>>  Quantité de nombres avec chiffres différents

>>>  Généralisation – Formule

>>>  Nombre quelconque de chiffres

 

 

 

 

 

ARRANGEMENTS avec les NOMBRES

 

Compter les chiffres pour former les nombres.

 

Combien de 9 pour paginer un livre de 100 pages? Les dix 9 pour les unités auquel il faut ajouter les dix 9 pour les dizaines de quatre-vingt-dix. Soit 20 fois le chiffre 9.

Combien de chiffres pour paginer ce livre? Il faut 9 chiffres pour les unités; 9 x 10 x 2 = 180 chiffres pour les nombres de 10 à 99 et 3 chiffres pour la page 100. Total: 9 + 180 + 3 = 192.

 

 

BILAN

 

Quantité de chiffres dans les nombres de 1 à 99…9:

 

Lecture: pour écrire les nombres de 0 à 999, il faut 190 fois le chiffre 0 et 300 fois chacun des autres chiffres de 1 à 9. Il faut 181 nombres contenant au moins un 0 et 271 nombres contenant au moins un 1 ou un des autres chiffres.

Voir calcul détaillé >>>

 

Quantité de nombres inférieurs à une valeur donnée:

 

 

Lecture: Il faut écrire 100 nombres pour noter tous les nombres de 0 à 99 (évident!).

Il n'en reste que 91, si on élimine tous les nombres où deux chiffres, ou plus, qui se répètent. De 101 à 999, ils sont 648 de plus, soit un total de 739 (74%).

De 0 à 999 999, il y a 168 571  nombres avec des chiffres différents (17%).

De 0 à 9 999 999, il y ena 712 891 (7%).

Voir calcul détaillé >>>


 

 

Programme Maple

 

Ce programme compte la quantité de nombres ayant des chiffres différents (kt). Voir tableau juste ci-dessus.

 

La boucle analyse tous les nombres de 0 à 999.

Chacun est converti en base 10 qui, en fait, donne la liste des chiffres. La quantité de ces chiffres est mise en q.

Cette liste est transformée en ensemble, opération qui supprime les doublons dans la liste. La quantité de chiffres restante est mise en qE.

Si les deux quantités (q et qE) sont égales, c'est que les chiffres étaient bien différents.

Si c'est le cas, le compteur est incrémenté.

Après la fin de boucle (od), on demande l'affichage de kt.

 

Ici, le programme affiche 739 nombres différents parmi les nombres de 0 à 999.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

Dénombrement des nombres comportant au moins un 5

Nombres comportant un seul 5.
Ils sont en 5yz ou x5z ou xy5

9 possibilités pour x

     (de 0 à 9, sans le 5)

9 possibilités pour y

9 possibilités pour z

9 x 9 x 9 x 3

= 243

Nombres comportant deux 5.
Ils sont en 55z, x55 ou 5y5

9 possibilités pour chaque

9 x 3

=   27

Nombres comportant trois 5.
Le seul: 777

1 possibilité

= 1

Total

Les cas analysés sont disjoints, les quantités s'ajoutent

271

 

Sur le même principe de calcul

Combien de 55 de 0 à 999

x55, 5x5 et 55

9 x 3

= 27

Note: la notation des nombres manquants en x et y est pratique à condition de se souvenir que ces deux nombres sont interchangeables.

Combien de 55 de 0 à 9 999

xy55, x5y5, x55y, 55xy, 5x5y,5xy5

9x9 x 6

= 486

On aurait pu mettre un point pour représenter un nombre et trouver 10 configurations possibles.

C'est aussi 3 parmi 5 = (5x4x2) / (3x2x1) = 10.

Combien de 55 de 0 à 99 999

9x9x9 x 10

= 7 290

 

 

 

Quantité de nombres jusqu'à N

 

Le dénombrement est très évident:

-       Le calcul direct est donné en bas de tableau.

-       Le calcul pas à pas permet de tracer la méthode pour le cas où les  chiffres sont différents.

 

Contrainte

Résultats

Illustration

En rouge les interdits

1 chiffre

 

Il y a évidemment 10 possibilités.

 

u

u = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

=> 10

2 chiffres

 

 

Calcul pour chaque position des chiffres:

-          L'unité peut prendre l'une des 10 valeurs des chiffres; et

-          La dizaine peut être l'un quelconque des 9 chiffres (0 exclu, en tête d'un nombre).

Total: principe multiplicatif

10 x 9 = 90

 

d

u

u = {0, … 9} => 10

d = {0, 1,  … 9} => 9

3 chiffres

 

 

Calcul pour chaque position des chiffres:

-          L'unité peut prendre l'une des 10 valeurs des chiffres;

-          La dizaine peut être l'un quelconque des 10 chiffres (0 y compris); et

-          La centaine peut être l'un quelconque des 9 chiffres (0 exclu, en tête d'un nombre).

Total: principe multiplicatif

10 x 10 x 9 = 900

 

c

d

u

u = {0, … 9} => 10

d = {0, … 9} => 10

c = {0, 1, … 9} => 9

 

 

TOTAL

N < 1000

 

C'est le total des calculs précédents

-          1 chiffre: 10

-          2 chiffres : 90

-          3 chiffres: 900

 

Total de nombres inférieurs à 1000 divisibles par 2

10 + 90 + 900 = 1000

 

Résultat sans surprise: il y a bien 1000 nombres entre 0 et 999 compris.

< 1000

Calcul direct

 

 

On considère les nombres à 3 chiffres, même s'ils commencent par des 0.

On y trouvera également les cas 000 qui vaut 0 ou 010 qui vaut 10, etc.

Total: 10 x 10 x 10 = 1000

 

c

d

u

u = {0, … 9} => 10

d = {0, … 9} => 10

c = {0, … 9} => 10

 

 

Quantité de nombres avec chiffres différents

On se propose de dénombrer les nombres ayant des chiffres tous différents.

Contrainte

Résultats

Illustration

En rouge les interdits

1 chiffre

On retrouve les 10 possibilités:

10

 

2 chiffres

différents

11

22

exclu

Calcul par position des chiffres:

-          Dizaine: toutes les possibilités, de 1 à 9, soit 9

-          Unité: toutes les possibilités sauf le chiffre déjà choisi pour les unités, soit 9.

Total: principe multiplicatif:

9 x 9 = 81

d

u

d = {0, 1, …  9} => 9

u = {0, …d … 9} => 9

 

Notez que l'on examine les dizaines avant les unités du fait du rôle non symétrique du 0

Si on avait pris les unités en premier on aurait trouvé 10 x 8 = 80 et non pas 81

-          En fait le zéro n'est pas autorisé en tête de nombre;

-         Alors qu'il l'est pour les unités.

FAUX

d

u

u = {0, 1, …  9} => 10

d = {0,d … 9} => 8

3 chiffres

tous différents

100

101

110

 exclus

Calcul par position des chiffres:

-          Centaine: toutes les possibilités, de 1 à 9, soit 9;

-          Dizaine: toutes les possibilités sauf le chiffre déjà choisi pour les unités; et

-          Unités: toutes les possibilités sauf les deux chiffres déjà choisis pour les unités et les dizaines.

Total: principe multiplicatif

9 x 9 x 8 = 648

c

d

u

c = {0, 1, … 9} => 9

d = {0, 1, … c … 9} => 9

u = {0, 1 ..c ..d9} => 8

4 chiffres

tous différents

Avec le même principe, on trouve:

Total: principe multiplicatif

9 x 9 x 8 x 7 = 4 536

m

c

d

u

m = {0, 1, …  9} => 9

c = {0, 1, … m … 9} => 9

d = {0, 1, .. m ..c … 9} => 8

u = {0, 1, … m .. c.. d … 9} => 7

TOTAL

< 10 000

avec des chiffres différents

Total de nombres inférieurs à 10 000 ayant des chiffres différents

10 + 81 + 648 + 4 536 = 5 275

 

 

 

 

Autres méthodes pour 4 chiffres et généralisation

Contrainte

Résultats

Illustration

 

Autre méthode

En employant les arrangements

Quantité d'arrangements de tous les nombres de 4 chiffres:

A410 = 10 x 9 x 8 x 7 = 5 040

Il faut supprimer tous ceux commençant par 0.

Quantité d'arrangements de tous nombres de 3 chiffres (le 0 étant positionné, on cherche les arrangements sur c d u)

A39 = 9 x 8 x 7 = 504

Bilan

50 40 – 504 = 4 536

m

c

d

u

 

0

c

d

u

 

Méthode

la plus simple

Le chiffre des milliers est l'un des chiffres sauf le 0: 9 possibilités.

Les trois autres chiffres sont les arrangements de tous les chiffres, y compris le 0, sauf celui déjà utilisé pour les milliers:

soit 9 possibilités pour 3 positions

Total

9 x A39 = 9 x 9 x 8 x 7 = 4 536

m

c

d

u

 

Généralisation

Calculer la quantité de nombres différents à n chiffres pour les nombres inférieurs à 10n:

9 x An-19 = 9 x 9 x 8 x … x (11 – n)

               = 9 x 9! / (10 – n)!

 

m

c

d

u

Limite

Évidemment avec un nombre à 11 chiffres, il est impossible d'avoir des chiffres tous différents.

À noter que, pour passer de 9 chiffres à 10 chiffres, le nombre et imposé. On n'ajoute pas de nombres supplémentaires.

Nombre à 10 chiffres

9 x 9! = 3 265 920

 

 

 

 

Vous pouvez continuer le calcul

 

Chiffres différents

Méthode généralisée des arrangements

Delta

Cumul

< 10

 

 

 

 

 

 

10

< 100

9 x A19

=

 9 x 9

=

=>

+ 81

91

< 1 000

9 x A29

=

 9 x 9 x 8

=

81 x 8 =>

+ 648

739

< 10 000

9 x A39

=

 9 x 9 x 8 x 7

=

648 x 7 =>

+ 4 536

5 275

< 100 000

9 x A49

=

 9 x 9 x 8 x 7 x 6

=

4 536 x 6 =>

+ 27 216

32 491

< 1 000 000

 

 

 

27 216 x 5 =>

+ 136 080

168 571

< 10 000 000

 

 

 

 

136 080 x 4 =>

 

 

Soit la règle:

Delta = Delta précédent x chiffres décroissants

 

 

 

 

 

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