NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMBINATOIRE COMPTER

 

Débutants

COMPTER

 

FAQ

ARRANGEMENTS

simples

 

Glossaire COMPTER

 

Sommaire de cette page

>>> Permutations

>>> Arrangements

>>> Multiples

>>> Particularités

>>> Répétitions

 

 

 

 

ARRANGEMENENTS

simples

 

Quelques exemples

 

 

 

PERMUTATIONS

 

 

Ensemble

Choix

Résultats

n

n

Pn = n!

E = {1,2,3}

Permutations de l'ensemble E

(1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3)

(2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1)

Total 6 permutations

Pn = 3! = 6

3 bagues

Dans l'écrin à 3 alvéoles

Pn = 3! = 6

1 livre de maths

1 livre de physique

1 livre de chimie

1 libre de français

À disposer sur une étagère

Pn = 4! = 24

ÉPINAL

Anagrammes

(même sans signification)

Pn = 6! = 720

7 personnes

Sur 7 chaises

Pn = 7! = 5040

ÉQUATION

Anagrammes

(même sans signification)

Pn = 8! = 40 320

10 timbres

Dans la chemise à 10 emplacements

Pn = 10! = 3 628 800

LOGARITHME

Anagrammes

(même sans signification)

Pn = 10! = 3 628 800

12 patients dans la salle d'attente

Le docteur choisit

Pn = 12! = 479 001 600

 

Réception

Ensemble

7 personnes

Choix

Remarque

Résultats

Sur un banc de 7 places

Classique

7! = 5 040

Sur 7 chaises disposées autour d'une table circulaire

Le premier peut se mettre où il veut

Le suivant a le choix entre 6 sièges

Etc.

6! = 720

 

 

 

 

 

 

ARRANGEMENTS

 

 

Ensemble

Choix

Résultats

n

p

Apn = n! / (n-p)!

3 billes

Rouge, verte et agate

2 billes à prendre:

la première pour Louise

la seconde pour Clément

(R, V) (R, A) (V, A)

(V, R) (A, R) (A, V)

Total 6 arrangements

Apn = 3! / 1! = 3 x 2 = 6

3 bagues différentes

2 doigts

Apn = 3! / 1! = 3 x 2 = 6

4 chambres d'hôtel

3 clients

Apn = 4! / 1! = 4 x 3 x 2 = 24

5 lettres

A, B, C, E, I

Mots de 3 lettres

(sans signification)

Apn = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

5 matières

Maths, français, histoire, anglais, gym

de 8h à 12h (1 h par cours)

Apn = 5! / 1! = 5 x 4 x 3 x 2 = 120

10 livres

Pour Jean, Gilles et Julie

Apn = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720

Les neufs chiffres

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Nombres de 5 chiffres

Apn = 9! / 4! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15 120

20 personnes

2 à choisir: président et secrétaire du comité

Apn = 20! / 18! = 20 x 19 = 380

 

 

 

 

 

MULTIPLE

 

Bus

Ensemble

Choix

Résultats

Lignes de bus

4 entre A et B et

3 entre B et C

De A vers C

4 x 3 = 12

De A vers C et retour à A

12 x 12 = 144

De A vers C et retour à A

Sans reprendre le même bus

Notons le nombre de possibilités

A=>B=>C=>B=>A

   4      3    3-1   4-1

   4  x  3    x 2   x 3   = 72

(Voir principe multiplicatif)

 

Livres

Ensemble

Choix

Résultats

Bandes dessinées

mises sur une étagère, mais conservées par type

4 Tintin

3 Spirou

2 Lucky Luke

Tintin entre-eux

4! = 24

Spirou entre-eux

3! = 6

Lucky Luke entre-eux

2! = 2

Permutation par type

3! = 6

Total

24 x 6 x 2 x 6 = 1728

 

 

 

 

 

 

PARTICULARITÉS

 

 

Les nombres avec chiffres uniques

Ensemble

Les 6 chiffres suivants:    2 3 5 6 7 9

Choix

Remarque

Quantité de possibilités

pour chaque position

Résultats

Quantité de nombres à 3 chiffres

Classique

6

5

4

6 x 5 x 4 = 120

Inférieurs à 400

Le premier chiffre est 2 ou 3: 2 possibilités

Reste 5 possibilités pour la deuxième position

2

5

4

2 x 5 x 4 = 40

Pairs

Le dernier chiffre est 2 ou 6: 2 possibilités

Reste 5 possibilités pour la deuxième position

5

4

2

5 x 4 x 2 = 40

Divisible par 5

Le dernier chiffre est 5: 1 seule possibilité

Reste 5 possibilités pour la deuxième position

5

4

1

5 x 4 x 1 = 20

 

Les Vins

Ensemble

5 bouteilles de Bordeaux, 6 de Beaujolais, 7 de Bandol

toutes de cépages différents

Choix

Remarque

Quantité

de possibilités

 

Résultats

Mon ami pour te récompenser tu peux choisir deux bouteilles:

-  une bouteille d'un vin et

-  une autre d'un autre

Si je choisis un Bordeaux

-       j'ai 5 possibilités

-       il reste 6+7 bouteilles pour sélectionner la 2e

Voilà pour le Bordeaux

5

13

5 x 13 = 65

Je peux choisir maintenant un Beaujolais

-       j'ai 6 possibilités

-       il reste 7 bouteilles pour sélectionner la 2e

Voilà pour le Beaujolais

6

7

6 x 7 = 42

Et, il n'y a pas d'autres possibilités, car on peut choisir une Bandol, mais il n'y aurait pas de seconde bouteille

7

0

7 x 0 = 0

Total : on ajoute les possibilités

principe additif

65 + 42  + 0 = 107

 

 

 

 

 

RÉPÉTITIONS

 

Les mots

Ensemble

Lettres répétées

Résultats

PAPA

4 lettres

p deux fois

a deux fois

P = 4! / (2! x 2!)

= (4 x 3 x 2) / (2 x 2) = 6

RADAR

5 lettres

a deux fois

r deux fois

P = 5! / (2! x 2!)

= (5 x 4 x 3 x 2) / (2 x 2) = 30

ASSASSIN

8 lettres

a deux fois

s quatre fois

P = 8! / (2! x 4!)

= (8 x 7 x 6 x 5) / 2 = 840

COMMERCE

8 lettres

c deux fois

m deux fois

e deux fois

P = 8! / (2! x 2! x 2!) = 5 040

MISSISSIPPI

11 lettres

i quatre fois

s quatre fois

p deux fois

P = 11! / (4! x 4! x 2!) = 34 650

Voir Autres arrangements de lettres / Lettres et langue / Multinôme /

Suite de Mississippi sous contraintes

 

Les drapeaux

8 fanions sur une corde verticale

 

4 rouges

3 blancs

1 bleu

P = 8! / (4! x 3!)

= (8 x 7 x 6 x 5) / 6 = 280

 

 

 

 

 

 

 

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