NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Factorielle

 

Débutants

Combinatoire

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Compter

Dénombrement

Loto

 

Sommaire de cette page

>>> Coup d'œil

>>> Permutations

>>> Arrangements

>>> Combinaisons

>>> Combinaisons et triangle de Pascal

 

 

 

 

FACTORIELLES et DÉNOMBREMENT

Voir Principes du dénombrement

 

 

Coup d'œil général: que des factorielles!...

 

 

 

  

PERMUTATIONS

 

*    Avec n objets différents, combien de façons de les poser les uns à côté des autres?

*    Avec 5 personnes, combien de façons de s'assoir sur un banc?

*    Avec 52 cartes, combien de paquets de cartes peut-on former?

 

Avec 2 objets

2 possibilités

 

 

Avec 3 objets

6 possibilités

 

3 possibilités pour le 1er, puis

2 possibilités pour le 2e, et

1 seule possibilité pour le 3e.

 

P = 3 x 2 x 1 = 3! = 6

 

 

 

Avec 4 objets

24 possibilités

 

4 possibilités pour le 1er, puis

3 possibilités pour le 2e, et

 

P = 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24

 

 

 

 

 

Le graphe montre la logique de construction des 6 permutations à partir du 1.

 

Cela se reproduisant pour chacun des quatre nombres. Soit 4 x 6 = 24 permutations au total.

 

 

En changeant le premier nombre, ce tableau se répète quatre fois.

Un fois ce premier nombre positionné, il y a trois possibilités pour le deuxième nombre, puis seulement deux possibilités pour le troisième; le quatrième étant le nombre qui reste.

 

Voir Personnes assises sur un banc ou autour d'une table ronde  / Formes permutées /

Groupe de permutation / Comment programmer les permutations

Permutations dans le désordre (dérangement)

PermutationsIndex

 

 

ARRANGEMENTS

 

*    Nous savons permuter  (mélanger) les cartes, maintenant nous en prenons quelques unes, l'une après l'autre, dans l'ordre. Nous nous retrouvons devant combien de possibilités?

*    La même logique s'applique. Prenons 3 objets parmi 10 objets différents

*      nous avons le choix parmi 10 pour la 1ère

*      puis un choix parmi 9 pour la 2e

*      et enfin, un choix parmi 8 pour la 3e

*      Bilan: A = 10 x 9 x 8 = 720

*      Notons que le dernier chiffre est 8 = 10 – 3 + 1

 

*    Une permutation est donc un arrangement complet: de toutes les cartes parmi toutes les cartes.

*    Avec un arrangement, il y a (n – p) fois moins de cas que pour une permutation.

 

Permutations

de n objets

 

 

Arrangement de p objets parmi n

 

 

 

Voir SUITE

 

 

 

COMBINAISONS

 

*    Et si nous abandonnions l'ordre des objets?

*    Nous puisons 3 objets dans le sac de 10 objets différents. Combien de possibilités, quel que soit l'ordre d'arrivée des objets ?

*    Considérons tous les arrangements possibles. Nous en avons un certain nombre qui répondent à notre besoin. Ce sont tous les cas où les 3 objets sont finalement les mêmes. Ce sont toutes les permutations de ces 3 objets, soit 3! = 6 cas.

*    Au bilan parmi tous les arrangements de 3 parmi 10, nous supprimons tous les cas comportant les 3 mêmes objets.

 

Combinaisons

de n objets

 

 

 

 

Voir SUITE

 

 

 

Exemples

 

Valeurs pour n de 3 à 10 et  p  de 3 à 5

 

Lecture: avec n = 6 objets, il y a 720 permutations (P);

120 arrangements (A) de p = 3 objets, 360 avec p = 4 et 720 avec p = 5;

  20 combinaisons (C) de p = 3 objets, 15 avec p = 4 et 6 avec p = 5.

 

 

Exemples divers :

 

 

 

COMBINAISONS et TRIANGLE de PASCAL

 

*    La quantité de combinaisons (colonnes C du tableau ci-dessus) est donnée directement par le triangle arithmétique de Pascal.
 

 

 

 

 

Suite

*    Nombres permutés

*    Voir haut de page

 

Voir

*    Compter les nombres

*    Compter / dénombrerIndex

*    Débutant et dénombrement

*    Exponentielle

*    Factorielle

*    Formule de Stirling

*    Loto

*    PermutationsIndex

*    Probabilités

Diconombre

*    Nombre 222

Site

*    Analyse combinatoire de Jean-Michel Jolion (INSA)

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/Factcomb.htm