NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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INDEX

 

Dénombrement

 

Calculs

 

Rubriques

Types – Synthèse

Principe additif

Principe multiplicatif

Débutant

Principe des tiroirs

Inclusion-exclusion

 

Sommaire de cette page

>>> Le code secret

>>> PRINCIPE MULTIPLICATIF

>>> Chemise, cravate

>>> Entrées, sorties

>>> Nice, Monaco

>>> Représentants de classe

>>> Place assise

>>> Le président

>>> Immatriculations

>>> AVEC LES ENSEMBLES

 

 

 

 

 

 

PRINCIPE MULTIPLICATIF

 

THÉORÈME FONDAMENTAL DU DÉNOMBREMENT

 

Une règle qui semble évidente mais, qu'il faut bien posséder.

Elle est utilisée en permanence dans les problèmes de dénombrement.

 

Illustration

*    En partant de Cagnes-sur-Mer avec la RN7, j'ai 3 chemins possibles pour arriver à Menton; par l'une des trois corniches: haute, moyenne ou basse.

*    Mais par le bord de mer, j'ai également ces trois choix.

*    Au total, j'ai 2 x 3 choix pour aller de Cagnes à Menton. C'est le principe multiplicatif.

 

Peu ou proue, il s'agit de choix successifs, en cascade.

 

Voir Additif ou multiplicatif?

 

Anglais: Fundamental principle of counting

Possibilités = ways (in how many ways the operation can be performed ?)

 

 

Le CODE SECRET – Cadenas à 3 chiffres

 

Le cadenas comporte 3 chiffres de 0 à 9.

Combien y-a-t-il de possibilités d'avoir un code différent?

Il y a 1000 possibilités.

 

Trois choix à faire successivement (on parle d'événements):

*    Premier chiffre du code: a = 10 possibilités (événement A);

*    Deuxième chiffre du code: b = 10 possibilités (événement B);

*    Troisième chiffre du code: c = 10 possibilités (événement C);

 

Ces trois événements A, B et C sont indépendants les uns des autres.

Le total des possibilités n est le produit des possibilités de chaque événement.

n = a . b . c = 1000

 

 

 

 

Deuxième PRINCIPE de CALCUL

 

Si

un événement A peut se produire de a façons,

un événement B peut se produire de b façons,

un événement C peut se produire de c façons,

Et

Tous ces événements étant indépendants,

 

Alors

Le total  n des possibilités de l'événement combiné A, B, C, … est le produit des possibilités de chaque événement.

 

 

Théorème fondamental du dénombrement

ou principe multiplicatif

ou principe du produit

 

n = a . b . c 

 

Ce principe s'applique lorsque les possibilités offertes s'enchaînent les unes à la suite des autres pour créer l'événement complet. Il y a possibilité de choix, puis à ce niveau se présente encore une possibilité de choix, etc.

 

 

 

 

Une cravate propre attire la soupe du jour.

Une cravate propre attire inévitablement les aliments. Et l'aliment qui tombe est toujours celui dont la tache est indélébile.

Voir Loi de Murphy / Pensées & humour

 

 

 

CHEMISES & CRAVATES

 

Il a 5 chemises et 3 cravates.

Combien de choix, le matin en s'habillant ?

 

Il a 5 x 3 choix.

 

 

Ayant choisi une chemise, il a le choix entre 3 cravates;

Et ce, pour chacune des 5 chemises.

 

Soit 5 x 3 possibilités.

 

Équivalent à un compteur à deux molettes l'un allant jusqu'à 5 et l'autre jusqu'à 3; soit 15 possibilités.

 

 

 

Le saviez-vous? Combien de nœuds de cravate?

Il y en a 85 selon les mathématiciens de l'Université de Cambridge (2000). Mais, beaucoup plus: 177 147 selon l'Institut royal de technologie de Stockholm (2014).

L'équipe anglaise s'était limitée aux nœuds raisonnables. L'autre équipe a fait une recherche exhaustive. Leur recherche se serait produite suite à la découverte d'un nœud non inclus dans la série des 85, fait découvert à l'occasion du film The Matrix Reloaded. Pour effectuer ce calcul, l'équipe s'est limitée à onze pliages (huit pour l'équipe aux 85), estimant qu'au-delà la cravate deviendrait trop courte pour supporter le nœud. Et alors si, on prenait des cravates illimitées en longueur ?

 

We extend the existing enumeration of neck tie knots to include tie knots with a textured front, tied with the narrow end of a tie. These tie knots have gained popularity in recent years, based on reconstructions of a costume detail from The Matrix Reloaded, and are explicitly ruled out in the enumeration by Fink and Mao (2000).  Read more at >>>

Voir DicoNombre 177 147

 

 

ENTRÉES & SORTIES du Musée

 

Cette salle dispose de 3 portes d'entrées et de 2 de sorties.

Combien de chemins d'entrées / sorties ?

 

Il y a 3 x 2 = 6 chemins.

Pour chaque porte d'entrée, il y 2 chemins de sortie.

Soit 3 fois 2 chemins.

 

Équivalent à un compteur à deux molettes l'un allant jusqu'à 3 et l'autre jusqu'à 2; soit 6 possibilités.

 

 

 

 

NICE, MONACO  Aller et retour

 

Il y a trois routes pour aller de Nice à Monaco:

*    La basse corniche,

*    La moyenne corniche, et

*    La haute corniche.

Combien de possibilités.

 

Il y a 3 x 3 = 9 chemins.

Pour chacune des trois possibilités à l'aller, il y a trois possibilités pour le retour.

Soit 3 x 3 chemins.

 

Équivalent à un compteur à deux molettes l'un allant jusqu'à 3 et l'autre jusqu'à 3; soit 9 possibilités.

 

 

 

REPRÉSENTANTS DE CLASSE

 

Une classe de 15 garçons et 12 filles.

Il faut un garçon et une fille pour représenter la classe.

Combien de possibilités de choix ?

 

Il y a 15 x 12 = 180 possibilités.

 

15 possibilités pour choisir un garçon, et

12 possibilités pour choisir la fille.

 

Équivalent à un compteur à deux molettes l'un allant jusqu'à 15 et l'autre jusqu'à 12; soit 180 possibilités.

 

 

 

PLACES ASSISSES

 

Trois élèves se présentent en classe, alors qu'il reste 6 chaises libres.

Combien de possibilités de choix ?

 

Il y a 6 x 5 x 4 = 120 possibilités.

Le premier a 6 possibilités; il ne reste plus que 5 chaises.

Le deuxième a 5 possibilités; il ne reste plus que 4 chaises.

Le troisième a 4 possibilités.

 

Équivalent à un compteur à trois molettes l'un allant jusqu'à 6, le suivant jusqu'à 5 et le dernier jusqu'à 4; soit 120 possibilités.

 

 

 

Le PRÉSIDENT

L'association de 20 membres souhaite élire:

*    le président,

*    le secrétaire, et

*    le trésorier.

 Combien y-a-t-il de possibilités d'avoir ces trois responsables. Pas de cumul de fonction.

 

Il y a 20 x 19 x 18 = 36 342 possibilités.

 

L'événement A = le président existe avec a = 20 possibilités (20 membres).

L'événement B = le secrétaire existe avec b = 19 possibilités (19 membres restants).

L'événement C = le trésorier existe avec c = 18 possibilités (18 membres restants).

 

Ces trois événements A, B et C sont indépendants

 

Le total des possibilités n est le produit des possibilités de chaque événement

n = 20 . 19 . 18 = 36 342

 

Voir Factorielles tronquées

 

 

IMMATRICULATIONS

La plaque d'immatriculation des voitures comportait:

*    4 chiffres qui donnent les nombres de 1 à 9999,

*    deux lettres (sauf I et O pour éviter les confusions avec 0 et 1), et

*    le code du département.

 

Combien y-a-t-il de possibilités pour un département donné?

 

Il y a 9 999 x 24 x 24 = 5 759 424 possibilités.

 

L'événement A = les nombres de 1 à 9999: a = 9999 possibilités.

L'événement B = la première lettre: b = 26-2 possibilités.

L'événement C = la deuxième lettre: c = 26-2 possibilités.

 

Ces trois événements A, B et C sont indépendants. Le total des possibilités n est le produit des possibilités de chaque événement

n = a . b . c = 5 759 424

 

Il est donc possible d'immatriculer plus de 5 millions de voitures par département.

Avec une lettre de plus, on aurait 24 fois plus de possibilités, soit plus de 100 millions, nombre plus grand que la population française.

 

 

 

Interprétation avec les ENSEMBLES

 

Soit n(A) le cardinal de A, la quantité d'éléments de l'ensemble A.

 

 

Règle multiplicative

Si A x B est le produit cartésien des ensembles A et B:

 

n (A x B) = n(A) . n(B)

 

 

 

 

 

Suite

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