NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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Général

 

 

INDEX

Cercle

 

Polygones

 

Dénombrement

 

Partage – Égalité

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En 6 – Hexagone

Constructibilité

Régions-cordes

Régions-points

 

Sommaire de cette page

>>> Régions-cordes

 

 

 

 

Partage du cercle

Cordes

 

Divers types de problèmes avec n points sur un cercle (par ordre de complexité):

1) Compter les cordes >>>

2) Compter les régions-cordes >>>  (cette page)

2) Compter les cordes qui ne se touchent pas >>>

3) Compter les régions-points >>> 

 

Le dénombrement, proposé ici, est simple à réaliser; nous allons voir comment mettre nos observations en équation.

 

 

 

 

Régions-Cordes

 

Il s'agit de compter les régions formées par les cordes.

Chaque corde coupe une fois et une fois seulement toutes les autres..

 

Illustration pour 0 à 5 cordes



Tableau de dénombrement

 

La  nième corde ajoute n régions.

 

Formulation

La différence seconde est constante. La fonction qui donne la quantité de régions R en fonction de la quantité de cordes n est du deuxième degré. Pour fixer les trois coefficients, il faudra prendre trois cas de référence.

 

Forme générale

R = an² + bn + c

Pour n = 0, une région

1 = 0 + 0 + c      c = 1

Pour n = 1, deux régions

2 = a + b + 1      b  = 1 – a

Pour n = 2, quatre régions

4 = 4a + 2b + 1

4 = 4a + 2(1 – a) + 1

4 = 4a + 2 – 2a + 1

2a = 1                  a = 1/2

b = 1 – a             b = ½

Formule donnant R régions en fonction de n cordes.

Soit, un en plus de la somme des entiers de 1 à n.

Vérification pour n = 7

R7 = (7² + 7 + 2) / 2 = 58 / 2 = 29

Voir Différences secondes constantes

 

 

 

 

Suite

*  Voir en haut de page

*  Cercle et cordes – Nombres de Motzkin

*  Cercle – Découpe - Faisabilité

*  Cordes – Proportion inférieure au rayon

Voir

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

*  Noms des polygones

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/PartCord.htm