NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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Glossaire

Général

 

 

INDEX

Cercle

 

Polygones

 

Dénombrement

 

Partage – Égalité

En 5 – Pentagone

En 6 – Hexagone

Constructibilité

Régions-cordes

Régions-points

 

Sommaire de cette page

>>> Régions-cordes

>>> Cordes et triangles équilatéraux

 

 

 

 

Partage du cercle

Cordes

 

Divers types de problèmes avec n points sur un cercle (par ordre de complexité):

1) Compter les cordes >>>

2) Compter les régions-cordes >>>  (cette page)

2) Compter les cordes qui ne se touchent pas >>>

3) Compter les régions-points >>> 

 

Le dénombrement, proposé ici, est simple à réaliser; nous allons voir comment mettre nos observations en équation.

 

 

 

 

Régions-Cordes

 

Il s'agit de compter les régions formées par les cordes.

Chaque corde coupe une fois et une fois seulement toutes les autres..

 

Illustration pour 0 à 5 cordes



Tableau de dénombrement

 

La  nième corde ajoute n régions.

 

Formulation

La différence seconde est constante. La fonction qui donne la quantité de régions R en fonction de la quantité de cordes n est du deuxième degré. Pour fixer les trois coefficients, il faudra prendre trois cas de référence.

 

Forme générale

R = an² + bn + c

Pour n = 0, une région

1 = 0 + 0 + c      c = 1

Pour n = 1, deux régions

2 = a + b + 1      b  = 1 – a

Pour n = 2, quatre régions

4 = 4a + 2b + 1

4 = 4a + 2(1 – a) + 1

4 = 4a + 2 – 2a + 1

2a = 1                  a = 1/2

b = 1 – a             b = ½

Formule donnant R régions en fonction de n cordes.

Soit, un en plus de la somme des entiers de 1 à n.

Vérification pour n = 7

R7 = (7² + 7 + 2) / 2 = 58 / 2 = 29

Voir Différences secondes constantes

 

 

Cordes et triangles équilatéraux

La figure

Deux cercles et deux triangles équilatéraux construits sur les cordes de la manière indiquée.

Propriété remarquable quelle que soit la position du point M:

P est toujours sur MN.

 

Démonstration

Angles B et C = 60° dans les triangles équilatéraux.

Angle A + B = 90° avec le triangle inscrit ayant un diamètre pour hypoténuse.

 

Angle A, avec MN pour côté: 90 – 60 = 30°

Angle A', avec MP pour côté: 1/2 de C = 30°, car ils interceptent le même arc.

Les angles A et A' sont égaux.

 

Conclusion, MP et MN ont la même orientation, les points M, P et N sont alignés. Le sommet P du petit triangle est situé sur un des côtés du grand triangle.

 

 

Voir Le cheminement et la démonstration de Jean-Louis Breuil, auteur de cette trouvaille

Voir Application à l'Octogone et deux triangles équilatéraux

 

 

 

Suite

*  Voir en haut de page

*  Cercle et cordes – Nombres de Motzkin

*  Cercle – Découpe - Faisabilité

*  Cordes – Proportion inférieure au rayon

*  Découpe de la tarte ou de la pizza

Voir

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

*  Noms des polygones

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/PartCord.htm