NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   Polygone

 

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Géométrie

OCTOGONE

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Polygones

 

Géométrie

Général

Calculs

 

Sommaire de cette page

>>> Frise d'octogones

>>> Coordonnées des sommets de l'octogone

>>> Octogone et deux triangles équilatéraux

>>> Constructions avec l'octogone et le carré

>>> Octogone et ses cousins polygones

>>> Constructions avec l'octogone et le carré

 

 

 

 

OCTOGONE – Calculs et curiosités

 

Calcul des coordonnées des sommets.

Propriétés avancées: démontrez que deux triangles équilatéraux possèdent un point commun: usage de la géométrie analytique et de la trigonométrie.

 

Frise d'octogones

 

Coordonnées des sommets de l'octogone

 

Octogone inscrit dans un cercle de rayon r = 10; alors a = 8,284271248…

 

Coordonnées des sommets par rapport au centre 0

 

Lignes trigonométriques des angles

 

Voir Trigonométrie –Tables / Angles en Pi/8 / Tangente Pi/8

 

 

 

Octogone et deux triangles équilatéraux

Données

Un octogone régulier ABC…H.

Un petit triangle équilatéral sur le côté GH.

Un grand triangle équilatéral sur la corde AC.

 

Question

Le point K étant le sommet du petit triangle, montrez qu'il est situé sur un côté du grand triangle.

K est sur la droite AJ.

 

 

Principe

Calculer la tangente de l'angle JAB et la tangente de l'angle KAB et constater l'égalité.

 

 

 

Calcul

Tangente de l'angle JAB = 82,5°

Coordonnées du point K par rapport à l'origine A

Tangente de l'angle KAB

Image construite avec Geogebra

 

Notez la symétrie et la présence de deux sommets sur le triangle équilatéral bleu.

Voir Triangles équilatéraux dans le dodécagone  / Généralisation au cercle

 

 

Octogone et ses cousins polygones

Un octogone régulier et tous les autres polygones réguliers construits sur une de ses bases.

Comparaison aux sommets des triangles équilatéraux construits sur les côtés.

 

Points remarquables

Les deux points roses, sommets des triangles équilatéraux sont effectivement sur les côtés du carré surmonté d'un triangle équilatéral.

Mais, le sommet du triangle équilatéral supérieur (point rouge) n'est pas le sommet supérieur du pentagone (croix verte), comme le montre cet agrandissement.

Valeurs relevées (n est le côté)

Écart:

0,935%

 

Voir Construction étonnante du pentagone

 

 

 

 

 Merci à Jean-Louis Breuil pour son travail présenté en annexe

à l'origine de la rédaction de cette page.

Voir également: Étude de la généralisation au cercle par le même auteur

 

 

Constructions avec l'octogone et le carré – Amusements

À gauche: octogone régulier (angles: 135°) / À droite: octogone particulier (angles: 120° et 150°)

 

 

Voir Carré et triangles équilatéraux

 

 Rosace avec octogones

 

 

Retour

*       Octogone – Approche

Suite

*       Octogone semi-régulier

*       Culture 8

*       Ennéagone

*       Décagone

*       PolygoneIndex

Voir

*       AnglesIndex

*       Construction géométrique des nombres

*       GéométrieIndex

*       TrigonométrieIndex

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*       Nombre 8

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