NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PENTAGONES

 

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Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

Pentagone

Construction

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Curiosité

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Sommaire de cette page

>>> Étoile a cinq branches – Pas à pas

>>> Construction en bref

>>> Justification

>>> Méthode des tangentes

>>> Construction de l'œuf

 

 

 

 

 

 

 

PENTAGONE – Construction

  

Le pentagone est l'un des polygones constructible à la règle et au compas (Ils ne le sont pas tous).

En général, on se souvient que la construction du pentagone ou de l'étoile à cinq branches est faisable, mais on ne retrouve jamais la méthode. La voici, pas à pas ou en bref.

Voir Constructions élémentaires: pentagone / Construction de l'icosagone

Construction approchée par la méthode Bion

 

 

 

 

CONSTRUCTION – Méthode 1

1 – Ligne horizontale et point O.

2 – Cercle rouge de centre 0 et de rayon selon la taille du pentagone désiré. Points M et M'.

3 – Cercle de centre M et de même rayon. Points P1 et P2.

4 – Droite verticale passant par P1 et P2. Point P (milieu de OM).

5 – Médiatrice de MM' (c'est la perpendiculaire en O). Point A.

6 – Cercle de centre P et de rayon PA. Point Q.

7 – Cercle de centre A et de rayon AQ. Points E et B.

8 - Cercle de centre E et de rayon AQ. Point D.

9 - Cercle de centre B et de rayon AQ. Point C.

 

Dans cette figure, étoile plus pentagone, il y a 25 triangles d’or et 20 sections d’or. Le petit pentagone au centre et le grand sont homothétiques: rapport, le nombre d’or au carré.

 

Autre possibilité pour déterminer les points C et D

Le cercle (vert) de centre P et de rayon AP coupe la droite MM’ en Q et Q’.

Le cercle de centre A et de rayon AQ’ (vert) coupe le cercle rouge en C et D, sommets du pentagone, en un seul coup de compas. (AQ est le côté du pentagone, donc AQ’ est la longueur de la diagonale, puisque QQ’= ).

Merci à Jean-Marc P. pour m'avoir indiqué cette élégante solution

 

 

 

 

En Résumé

 

*      On dispose

*    d'un cercle et de deux diamètres perpendiculaires qui positionne le point A, l'un des sommets du pentagone, et

*    du milieu P du rayon OM.

 

*      Deux étapes simples pour trouver le sommet E:

*    1) cercle PA => point Q, et

*    2) cercle AQ => point E

 

Note

*      Côté du pentagone: AQ

*      Côté du décagone:  OQ

Il suffit d'écarter le compas de la longueur OQ et de reporter cet écart sur le cercle pour construire le décagone.

 

 

 

 

Justification

 

*    Ce graphique montre le calcul des longueurs des traits bleus, puis des verts, ces derniers représentant le côté du pentagone. Calculs par application du théorème de Pythagore et en considérant le rayon du cercle égal à une unité.

*    L'expression de la longueur du côté (c) en fonction du rayon (R) du cercle inscrivant le pentagone est donnée par la relation:


 

 

 

 

 

Méthode des cercles tangents

 

*      On dispose

*    d'un cercle et de deux diamètres perpendiculaires qui positionne le point A, l'un des sommets du pentagone, et

*    du milieu P du rayon OM.

*      Trois étapes pour trouver les quatre sommets B, C, D et E:

*    cercle de rayon PO;

*    cercle A'P2 tangent au petit cercle rouge; et

*    cercle A'P1 tangent au petit cercle rouge.

 

 

Encore une construction originale

On construit le nombre d'or puis les côtés du  pentagone

Merci à Jean-Marc P. pour avoir indiqué cette nouvelle élégante solution

 

 

Construction de l'œuf

 

*    Construire d'abord deux pentagones et deux étoiles emboitées.

*    Construire les arcs de cercle à partir des quatre centres indiqués.
 

 

 

Pour mémoire construction plus classique de l'œuf

 

*    Cercle (rose) de centre O de rayon R, puis de centre A et B avec un rayon 2R. 
Puis cercle (bleu) de centre P qui réunit les deux arcs.

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Construction étonnante du pentagone

*    Pentagone et nombre d'or

*    Pentacle
Pentagone sous toutes les coutures

*    Construction approchée du pentagone par la méthode Bion

Voir

*    Constructible

*   Construction de l'icosagone

*    Étoile à  6 branches

*    Étoile et nombre d'orApproche

*    Fleurs à 5 pétales

*    GéométrieBases

*    GéométrieIndex

*    Nombre d'Or

*    Polygones

DicoNombre

*    Nombre CINQ

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