NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Polygones

 

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Géométrie

PENTAGONES

 

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Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

Pentagone

Construction

Nombre d'or

Pentacle

Angles

Mesures

 

Sommaire de cette page

>>> Étoile a cinq branches – Pas à pas

>>> Construction en bref

>>> Justification

>>> Méthode des tangentes

>>> Construction de l'œuf

 

 

 

 

 

 

 

PENTAGONE – Construction

  

Le pentagone est l'un des polygones constructible à la règle et au compas (Ils ne le sont pas tous).

En général, on se souvient que la construction du pentagone ou de l'étoile à cinq branches est faisable, mais on ne retrouve jamais la méthode. La voici, pas à pas ou en bref.

Voir Constructions élémentaires: pentagone

 

 

 

 

CONSTRUCTION – Méthode 1

1 – Ligne horizontale et point O.

2 – Cercle de centre 0 et de rayon selon la taille du pentagone désiré. Points M et M'.

3 – Cercle de centre M et de même rayon. Points P1 et P2.

4 – Droite verticale passant par P1 et P2. Point P (milieu de OM).

5 – Médiatrice de MM' (c'est la perpendiculaire en O). Point A.

6 – Cercle de centre P et de rayon PA. Point Q.

7 – Cercle de centre A et de rayon AQ. Points E et B.

8 - Cercle de centre E et de rayon AQ. Point D.

9 - Cercle de centre B et de rayon AQ. Point C.

 

Dans cette figure, étoile plus pentagone, il y a 25 triangles d’or et 20 sections d’or. Le petit pentagone au centre et le grand sont homothétiques: rapport, le nombre d’or au carré.

 

 

 

 

En Résumé

 

*      On dispose

*    d'un cercle et de deux diamètres perpendiculaires qui positionne le point A, l'un des sommets du pentagone, et

*    du milieu P du rayon OM.

 

*      Deux étapes simples pour trouver le sommet E:

*    cercle AP => point Q, et

*    cercle AQ => point E

 

Note

*      Côté du pentagone: AQ

*      Côté du décagone:  OQ

Il suffit d'écarter le compas de la longueur OQ et de reporter cet écart sur le cercle pour construire le décagone.

 

 

 

 

Justification

 

*    Ce graphique montre le calcul des longueurs des traits bleus, puis des verts, ces derniers représentant le côté du pentagone. Calculs par application du théorème de Pythagore et en considérant le rayon du cercle égal à une unité.

*    L'expression de la longueur du côté (c) en fonction du rayon (R) du cercle inscrivant le pentagone est donnée par la relation:


 

 

 

 

 

Méthode des cercles tangents

 

*      On dispose

*    d'un cercle et de deux diamètres perpendiculaires qui positionne le point A, l'un des sommets du pentagone, et

*    du milieu P du rayon OM.

*      Trois étapes pour trouver les quatre sommets B, C, D et E:

*    cercle de rayon PO;

*    cercle A'P2 tangent au petit cercle rouge; et

*    cercle A'P1 tangent au petit cercle rouge.

 

 

 

Construction de l'œuf

 

*    Construire d'abord deux pentagones et deux étoiles emboitées.

*    Construire les arcs de cercle à partir des quatre centres indiqués.
 

 

 

Pour mémoire construction plus classique de l'œuf

 

*    Cercle (rose) de centre O de rayon R, puis de centre A et B avec un rayon 2R. 
Puis cercle (bleu) de centre P qui réunit les deux arcs.

 

 

 

 

 

 

 

Suite

Pentagone et nombre d'or

Pentacle
Pentagone sous toutes les coutures

Voir

Constructible

Étoile à  6 branches

Étoile et nombre d'orApproche

Fleurs à 5 pétales

GéométrieBases

GéométrieIndex

Nombre d'Or

Polygones

DicoNombre

Nombre CINQ

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