NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 24/02/2020

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths                      

               

Polygones

 

Débutants

Géométrie

PENTAGONES

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Méthodes

 

Constructions

 

Polygones

Géométrie

Général

Données

 

Constructions

Pentagone

Mesures

 

Méthodes générales 

Cercles – Mascheroni

Nombre d'or

Angles

 

Avec Racine de 5

Approchée de Dürer

Pentacle

Segments

 

Avec bissectrices

Approchée originale

 

Méthode Euclide

Dissection

 

Sommaire de cette page

>>> Construction à la main - Rapporteur

>>> Construction avec GeoGebra et autres outils

>>> Construction règle et compas, la plus connue

>>> Cercle circonscrit et cercle inscrit

>>> Construction: deux propriétés à connaitre

>>> Méthodes de constructions – Nomenclature

>>> Construction de l'œuf

 

 

 

 

PENTAGONE RÉGULIER – Constructions

  

Première page consacrée à la construction du pentagone régulier avec des outils informatiques. Les pages suivantes aborderont les différentes méthodes de constructions à la règle et au compas.

 

Construction à la main - Rapporteur

Dessiner un côté AB du pentagone à la longueur désirée.

Avec un rapporteur centré sur le point A, dessinez une droite passant par la graduation 108.

Faites la même chose à partir du point B.

 

 

Ouvrir un compas d'un écartement égal à AB

Dessinez le cercle de centre A qui coupe la droite bleue en E; dessinez le cercle de centre B qui coupe l'autre droite bleue en C. Intersection en D.

 

Pentagone régulier: ABCDE

 

 

 

 

 

 

Construction avec GeoGebra et autres outils

Je rappelle que GeoGebra est un outil gratuit et simple à  utiliser.

 

Vous pouvez construire le pentagone comme pour la méthode manuelle à titre d'exercice.

Mais, heureusement un tel logiciel permet la construction automatique de tout polygone régulier. L'illustration ci-dessous montre l'outil à utiliser:

 

 

Note: la plupart des logiciels comme Word offre la possibilité de tracer directement le pentagone.

    

 

Construction "règle et compas", la plus connue

 

Méthode dite de Ptolémée

Un segment MN. Son milieu P et Q le milieu de PN.

Cercle de centre P et de rayon PN.

Un diamètre perpendiculaire à MN.

Intersection avec le cercle en D.

Cercle de centre Q et de rayon QD.

Intersection en R avec MN.

 

La longueur du segment DR est celle du côté du pentagone.

Ouvrir le compas avec cet écartement et reporter cinq fois (quatre suffisent) cette longueur sur la circonférence du cercle.

 

Pentagone régulier: ABCDE.

 

Voir Méthode expliquée, justifiée et variantes

 

Cercle circonscrit et cercle inscrit

Les perpendiculaires aux côtés issues des sommets se coupent toutes au centre.

Il suffit d'en tracer deux pour désigner le point central.

 

Notez que le point P est le même que celui utilisé pour la construction (ligne pointillée rose).

 

 

 

 

Le point P est le centre du cercle circonscrit et également du cercle inscrit.

 

Voir formules de calcul des rayons

 

 

Construction: deux propriétés

clés de la construction du pentagone régulier

 

 

Construire la racine de 5, puis le nombre d'or

 

Le nombre d'or (phi) est niché dans le pentagone: les diagonales mesurent phi fois la longueur du côté.

 

Voir Construction géométrie des nombres /

Construction dorée par Euclide

 

 

 

Théorème de Pythagore: (1 + 1)² + 1²  = 5

 

Bissectrice des triangles isocèles

 

Les diagonales trisèquent les angles au sommet: trois angles de 36°.

 

Le pentagramme présente trois triangles isocèles d'or dont l'angle à la base (72°) est le double de l'angle au sommet (36°).

Conséquence: une des diagonales bissecte l'angle à la base des triangles isocèles.

 

 

 

Voir Lignes trigonométriques de Pi/5

                                                                                                                                                       

 

Méthodes de constructions – Nomenclature

Méthodes

Consignes

Racine de 5*

Bissectrices

Cercles

Approchées

Inscrire le pentagone dans un cercle

 

1 – Ptolémée

 

2 – Deux carrés

 

3 – Nombre d'or

 

5 – Richmond

 

8 – Euclide

 

6 – Cercle tangent
et droites

 

7 – Cercle tangent
et cercles

 

8 – À partir d'un cercle

 

9 – Avec des cercles
Mascheroni

 

Bion

(Partage du cercle)

Côté du pentagone imposé**

4 – Carré central

 

 

 

A1) Dürer

 

A2) Avec triangle

 

A3) Étude originale

 

* Les autres méthodes utilisent souvent une construction de la racine de 5

**D'autres méthodes sont décrites sur la page de Patrice Debart en imposant la diagonale ou autres

Voir Une méthode originale par coïncidence de points

Voir Constructions élémentaires / Construction de l'icosagone

 

Construction de l'œuf

 

Construire d'abord deux pentagones et deux étoiles emboitées.

Construire les arcs de cercle à partir des quatre centres indiqués.

 

Pour info construction plus classique de l'œuf

Cercle (rose) de centre O de rayon R, puis de centre A et B avec un rayon 2R. 
Puis cercle (bleu) de centre P qui réunit les deux arcs.

 

 

 

 

Retour

*    Pentagone

Suite

*    Méthodes de constructions avec la racine de 5

*    Construction étonnante du pentagone

*    Pentagone et nombre d'or

*    Pentacle
Pentagone sous toutes les coutures

*    Construction approchée du pentagone par la méthode Bion

Voir

*    Constructible ?

*   Construction de l'icosagone

*    Étoile à  6 branches

*    Étoile et nombre d'orApproche

*    Fleurs à 5 pétales

*    GéométrieBases

*    GéométrieIndex

*    Nombre d'Or

*    Polygones

DicoNombre

*    Nombre CINQ

Sites

*      Construire un pentagone régulier – Treize méthodes – Descartes et les Mathématiques – Patrice Debart

*      Construction du pentagone régulier à la règle et au compas – Wikipédia

*      Construction of Regular Pentagon by H. W. Richmond – Cut-the-knot – Alexander Bogomolny

*      The construction, by Euclid, of the regular pentagon – Joao Bosco Pitombeira de Carvalho

*    Approximate Construction of Regular Pentagon by A. Dürer – Cut-the-knot – Alexander Bogomolny

*    Regular Pentagon Construction by K. Knop – Cut-the-knot – Alexander Bogomolny – Pas à pas sur GeoGebra

*    Constructions of regular polygons

*    A Study of the Regular Pentagon with a ClassicGeometric Approach – Amelia Carolina Sparavigna, Mauro Maria Baldi

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PentaCon.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Renvois de liens

ANGLES