NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

 

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Sommaire de cette page

>>> Polygone

>>> SEGMENTS – Dénombrement

>>> SEGMENTS – Total

>>> SEGMENTS – Formule

>>> Diagonales

>>> Conclusion

>>> Cube

 

 

 

 

COMPTER les SEGMENTS

 

Compter les diagonales d'un pentagone ou d'un polygone.

Compter les segments dans un cube ou dans un polyèdre.

Etc.

 

Quantité de segments (s) pour n points ou n sommets

 

 

  

POLYGONE

Exemple du pentagone

 

 

Partons d'un polygone de n côtés.

 

On note qu'il a aussi n sommets.

Propriétés

 

Quantité totale de segments (s)

égale

Quantité de côtés (n)

plus

Quantité de diagonales (d)

 

s = n + d

n + d = 5 + 5 = 10 segments

 

 

 SEGMENTS – Dénombrement

Prenons le premier point: on peut joindre tous les points (n), sauf  le  point considéré (-1);

 

soit la formation de n – 1 segments.

n – 1  = 4 segments

Avec le deuxième point: on peut aussi joindre tous les points (n), sauf  le  point considéré (-1) et SAUF le premier point déjà vu (-1);

 

soit la formation de n – 2 segments.

n – 2 = 3 segments

Avec le troisième point: on peut aussi joindre tous les points (n), sauf  le  point considéré (-1) et SAUF les deux points déjà vu (-2);

 

soit la formation de n – 3 segments.

n – 3 = 2 segments

 

On continue avec les autres points:
Le 4e  qui donne n - 4 segments;
Le 5e  qui donne n - 5 segments;

 

Le (n - 2)e , ou avant avant-dernier

qui donne n - (n-2) segments.

 

Avec l'avant dernier point, le (n-1)e : on peut joindre tous les points (n), sauf  le  point considéré (-1) et SAUF les n-2 points déjà vu (-(n-2));

 

soit la formation de n – 1 – (n – 2) segments. Ce qui donne 1.

Le quatrième point, l'avant-dernier, donne 1 segment.

Le cinquième, le dernier, donne zéro, bien sûr.

 

 

SEGMENTS – Total et formule

 

Calcul de la quantité totale de segments

 

Formule de calcul

L'astuce consiste à les écrire DEUX fois: une fois en décroissant et une fois en croissant.

Et alors, la somme devient évidente comme par enchantement: chaque colonne donne une somme partielle égale à n et il y a n – 1 telles colonnes

 

Voici le calcul

 

 

DIAGONALES

 

Observation

Nous voici avec deux formules

s = n + d

s = n (n – 1) / 2

On peut calculer la quantité de diagonales

d = s – n

d = (n (n – 1) / 2) – n

d = n (n – 3) / 2

 

Conclusion

Exemples

Polygone

Côtés

Segments

Diagonales

 

n

s = n (n – 1) / 2

d = n (n – 3) / 2

Triangle

3

3

0

Carré

4

6

2

Pentagone

5

10

5

Hexagone

6

15

9

Heptagone

7

21

14

Myriagone

1 000

499 500

498 500

 

 

 

Conclusion

 

Cette page a été écrite suite à vos nombreuses questions sur ce sujet

 

S'il a quelque chose de très IMPORTANT à retenir de tout cela c'est:

1)   Comment faire la somme des nombre successifs
Pour compléter:

Voir Sommes des nombres de 1 à 100

Voir Nombres triangulaires

Voir Sommes des entiers, carrés, cubes …

 

 

2)   Comment compter le nombre de segments joignant n points
Pour compléter:

Voir Quantité de segments joignant n points


 

 

 

CUBE

Avec 8 sommets le cube

compte 28 segments.

 

Huit sommets:

 

n (n – 1)/2 = 8 x 7 /2
               = 28 segments dans un cube
 dont:

            12 arêtes

6 x 2 = 12 diagonales de face

8 / 2 =    4 diagonales de cube

 

 

 

 

 

Suite

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