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Édition du: 22/05/2022

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PARTAGE du CERCLE* en parts égales

avec des parallèles à un diamètre

 

Partager le cercle en parts égales (secteurs de même aire) est un problème connu. Ce n'est pas toujours possible de construire cette partition à la règle et au compas.

 

Ici, nous nous imaginons un autre type de partage: partitionner le cercle par des parallèles à un diamètre de manière à obtenir des zones de même aire.

 

Impossible à la règle et au compas; et, même, le calcul des dimensions consiste à résoudre numériquement des équations transcendantales. 

 

Exemple de partition en trois. Pour un cercle de rayon unité,

 la larguer de la bande centrale  est proche de 0,53.

L'aire de chaque zone vaut Pi/3 soit environ 1,047.

   

 

Sommaire de cette page

>>> Partage du quart de cercle en deux

>>> Partage du cercle complet en trois

>>> Bilan

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

* Plus exactement du disque.

 

 

Partage du quart de cercle en deux

haut

 

Objectif

Dans ce quart de cercle, calculer la valeur de x telle que la zone jaune ait la même aire que la zone bleue:      C1 = C2 = Pi / 8 =  0,39269908…

 

Approche

Calcul de chaque aire à partir des secteurs S1 et S2 qui les interceptent avec ajout ou suppression du triangle rectangle noté T.

Les dimensions x et y de ce triangle sont le cosinus et le sinus de l'angle alpha (avec le rayon unité).

Il est alors possible de résumer l'égalité des aires par une équation en alpha dont la résolution se fera par approche numérique (ou avec un logiciel de calcul).

En l'occurrence, x = 0,4039 …, voisin de 2/5.

 

Calculs

 

 

Graphique (deux solutions car x et y peuvent être inversés, soit une rotation de 90°)

 

 

Pour ceux qui préféreraient le calcul par intégration
Sachant que pour chaque x, la valeur de y² est 1 – x²

L'inconnue est une borne d'intégration.

 

 

Partage du cercle complet en trois

haut

 

Objectif

Dans ce demi-cercle (ou dans le cercle), calculer la valeur de x telle que la zone jaune ait la même aire que chaque zone bleue:      C1 = C2 = Pi / 6 =  0,5235977…

 

Approche

Même chose que pour le quart de cercle

En l'occurrence, x = 0,2649… …, voisin de 1/4.

 

 

 

Calculs

La largeur de la bande est égale à: 0,529864168…

Partage approximativement de la façon suivante: 1,25 / 0,5, / 1,25.

 

 

Graphique (deux solutions car x et y peuvent être inversés, soit une rotation de 90°)

 

 

 

Résolution de l'équation en alpha par tableur (passage de la fonction par zéro)

 

 

 

Bilan

Il n'existe pas de construction à la règle et au compas pour réaliser le partage du cercle par des lignes parallèles à un diamètre.

La solution passe par la résolution d'une équation impliquant l'angle et ses lignes trigonométriques. Il n'existe pas de solution analytique (en formule).

La résolution est possible:

*      par approximations successives à l'aide d'un tableur ou

*      avec un logiciel de calcul comme Maple ou

*      avec un logiciel comme GeoGebra qui montre le graphe de la fonction et donne instantanément l'abscisse au passage par zéro;

*      sinon, il faut recourir aux méthodes itératives de Newton ou de Halley.

Cette page traite de la division par 2 et 3. Le même raisonnement peut être appliqué pour d'autres partages.

 

Page réalisée sur une idée de Jean-Pierre Sanguin

 

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Suite

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*    Partage de la tarte en un maximum de parts

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*    Partage du triangle en sept

*    Partage par parallèles à un diamètre

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