NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Débutants

Géométrie

CÔNE de RÉVOLUTION

 

Glossaire Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

Présentation

Calculs – Cône

Calculs – Tronc de Cône

Équations

Cône elliptique

 

Sommaire de cette page

>>> Volume de jus de fruit dans verre conique

>>> Volume du cône de crème glacée

>>> Cône maximum

>>> Patron du cône

 

 

 

 

 

 

 

Cônes – Calculs

 

Quelques exercices qui montrent comment calculer le volume du cône.

Le premier exemple montre un calcul pas à pas de niveau collège.

 

 

 

Volume de jus de fruit dans verre conique

 

Verre conique dans lequel on verse un jus de fruit à une certaine hauteur.

La figure donne les paramètres.


Quel est le volume en centilitre du jus de fruit dans le verre?

 

Voir Théorème de Pythagore / Théorème de Thalès

 

 

 

 

 

VOLUME du CÔNE de crème glacées

 

Un cornet de glace à partager entre toi et moi. Je déguste la première moitié du cône et te laisse la seconde. Est-ce bien équitable? J'en déguste combien en plus?

 

En fait, le volume varie comme le cube de la hauteur.

 

Calcul

 

 

Résultats numériques

 

 

Cône hypothètique sans la boule qui dépasse et en supposant que le fond est bien rempli.

 

 

Il faut laisser les 8/10  de la hauteur pour être équitable: moitié, moitié.

En consommant la moitié supérieure de la hauteur, on absorbe les 7/8 de la glace contenue dans le cône. Il n'en reste qu'un huitième (0,125) pour son ami.

 

 

 

Cône maximum avec une surface donnée

 

Question

Avec une surface donnée (un morceau de tissu, par exemple), je souhaite former le cône de volume maximum. Que faire? Quelle hauteur? Quel rayon de base?

 

 

Courbe

La démonstration nécessite l'utilisation des dérivées à partir de l'expression de

 

V = 1/3 R (S² – p ² R4)

 

Tracé de la courbe

V = f(R) avec S = 10

 

Elle montre un maximum atteint pour

 2 = 1,414…

 

 

Les calculs donnent 

h = 2 R

 

 

 

 

Patron du cône

 

Patron

Pour construire un cône, rien de plus simple:

-         Découpez un disque;

-         Évidez un secteur;

Collez les deux segments.

 

Volume

Question! Quel est le volume de ce cône?

Périmètre du grand cercle

Circonférence du secteur

Périmètre de la base du cône

 

 

 

 

Pgc = 2 R

P    = 2 R - R  (Angle exprimé en radians)

P    = 2 r

 

-         Le bord du secteur sert de base au cône: les périmètres (P) sont égaux (comme le montre la figure)

Ce qui permet de calculer le rayon de la base

 

 

P    = 2 R - R =  2 r

 

r = R - R / 2 = R (1 -  / 2) = k . R

                                avec k = 1 -  / 2

-         Passons à la hauteur, nécessaire pour calculer le volume

 

h² = R² - r² = = R² - k²R² = R² (1 – k²)

h = R  (1 – k²)

 

-         Le volume

Une formule bien compliquée

Surtout lorsqu'on remplace k par sa valeur

 

V = 1/3  h . r²

   = 1/3   R  (1 – k²)  (k . R)²

   =  1/3   R3 . k² .  (1 – k²)

 

   =  1/3   R3 . (1 -  / 2))² .
                                
{ 1 – (1 -  / 2)² }

 

 

Exemple

Pour R = 1 mètre, par exemple

 

 

 

Courbe

 

Courbe V = f ( ); calcul avec R = 1

 

Maximum atteint pour
66,1° (1,1536 radian)
avec V = 0,403066…

 

 = 90° =  1,57 radian

V = 0,3896… m3

 

 

 

 

 

Suite

*         Tronc de cône – Exemple de calcul

*         Équations du cône

*         Coniques

Voir

*         Cercle

*         Cône, demi-sphère et cylindre

*         Cylindre – double-cône = sphère

*         Coniques

*         Coniques – Théorème de Pascal

*         Cône et triangle rectangle

*         Cylindre

*         Pyramides

*         Vocabulaire de la géométrie

Sites

*         Cône de révolution (et plus)

*         Cône – Homeomath

*         Surfaces coniques

*         Cone – from Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/Cone1.htm