NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

 

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Géométrie 

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Prisme

Deltaèdre

 

Sommaire de cette page

>>> Forme

>>> Caractéristiques

>>> Pyramide à base carrée

>>> Pyramide à base triangle : tétraèdre

>>> Pyramide triangulaire trirectangle – Pythagore ?

>>> Vente pyramidale et système de Ponzi

 

 

 

 

 

 

La forme même des pyramides d'Égypte,

nous apprend que dès la plus haute antiquité,

les ouvriers avaient tendance à en faire de moins en moins.

Voir Pensées & humour

 

 

PYRAMIDE

 

Analogie avec le cône.

Ne pas confondre avec le prisme, sorte de cylindre à facettes.

 

 

 

FORME

 

 

 

CARACTÉRISTIQUES

Nom

Pyramide

Famille

Polyèdre

Cousin

Cône

Définition

Polyèdre ayant

une base polygonale et

un sommet.

Base

Polygone, régulier ou non.

Sommet

Un seul, appelé LE sommet

(plus les sommets de la base polygonale).

Arêtes

Deux fois la quantité de côtés du polygone.

Faces

Il y en a autant que la quantité de côtés du polygone plus un.

 

 

 

 

PYRAMIDE régulière à BASE CARRÉE

 

 

Nom

Pyramide régulière à base carrée

Base

Carré

Faces latérales

Triangles équilatéraux

 

Calcul du volume

h

= 3/2 c

Calcul

d

= c / 2

 

H ²

= h ² - d ²

= (3/2 c) ² - (c / 2) ²

= 3/4 c ² - 1/4 c ²

= 1/2 c ²

 

H

= 2/2 c

 

c

= 2 H

 

V

= 1/3 Aire de la base x Hauteur

= 1/3 c ² x H

= 1/3 x c ² x 2/2 c

 

V

= 2/6 c 3

= 2/3   h3

 

 

Dans le cas où les faces sont simplement isocèles, le volume des pyramides est dans le rapport du cube de leur hauteur ou de leur côté.

 

 

 

 

PYRAMIDE À BASE TRIANGLE : Tétraèdre

 

 

Nom

Tétraèdre régulier

Base

Triangle équilatéral

Faces latérales

Triangles équilatéraux

 

Calcul du volume

h

= 3/2 c

Calcul

e

= h / 3

= 1/3 (3/2 c)

= 3/6 c

Médiane

K ²

= h ² - e ²

= (3/2 c) ² - (3/6 c) ²

= 3/4 c ² - 3/36 c ²

= ( 9/12 - 1/12 ) c ²

= 8/12 c ²

= 2/3 c ²

 

K

= 2 / 3 c

 

Aire base

= 3/4 c 2

Calcul

V

= 1/3 Aire de la base x Hauteur

= 1/3 (3/4 c ² ) x (2 / 3 c )

 

V

= 2 / 12 c 3 = 0,1179… c3

 

V

= f (des longueurs des côtés)

 

 

Surface

S

= 3 c3 = 1,7321… c3

 

 

 

 

 

 

Pyramide triangulaire trirectangle – Pythagore?

 

Nous nous propososns d'évaluer l'aire de la face ABC par rapport aux trois autres faces.

 

La face ABC est dite face "hypoténuse" et les trois autres, faces latérales.

 

Le point D peut être considéré comme la projection orthogonale de C sur le plan ABD.

CH et DH sont hauteurs dans les triangles ABC et ABD.

 

 

Aire du triangle ABC

AABC = ½ AB x CH = ½ c . h

Aire des autres triangles

AACD  = ½  i . b'

ABCD  = ½  i . a'

AABD  = ½  j . c

Carrés des aires des deux triangles du fond

AACD2 + ABCD2 = ¼  i² (a'² + b'²)

                       = ¼  i² .

En ajoutant le troisième

AACD2 + ABCD2 + AABD2

= ¼   c² (i² + j²)

= ¼   c² .

= AABC2

Dans une pyramide triangulaire trirectangle, le carré de l'aire du triangle "hypoténuse" est égal à la somme des carrés des aires des trois autres triangles latéraux.

Voir Théorème de Pythagore / Application aux projections

 

BONUS sur les angles

Alpha est l'angle dièdre entre les plans de ABC et ABD (angle jaune en H sur la figure);

Beta, idem pour le dièdre ABC et ADC;

Gamma, idem pour le dièdre ABC et BDC.

Aire des triangles projetés, avec S aire du triangle ABC

AACD  =  S cos

ABCD  =  S cos

AABD  =  S cos

La somme des carrés des aires 

est égale à S² selon ci-dessus =>

S² = S² (cos²  + cos²  + cos² )

Conséquence

cos²  + cos²  + cos²  = 1

La somme des carrés des cosinus des angles que fait un plan avec trois plans rectangulaires est toujours égale à l'unité.

Dans le triangle jaune on trace la hauteur issue de D: DE

Les angles de cette droite avec chacune des droites du trièdre rectangle sont également alpha, bêta et gamma.

Le triangle ABC étant choisi à volonté sur les trois droites du trièdre, il est possible de généraliser

La somme des carrés des cosinus des angles que fait une droite avec trois droites orthogonales est égale à 1.

Voir Sin² + Cos² = 1

 

 

 

Vente pyramidale et système de Ponzi

 

Vente pyramidale

 

*    Opération telle que le profit ne provient pas vraiment d'une activité de vente comme annoncé, mais surtout du recrutement de nouveaux membres.

*    Le terme "pyramidal" témoigne du fait que les initiateurs du système (au sommet de la pyramide) profitent en profitant des membres de base, en les grugeant.

*    Escroquerie de plus en plus sophistiquée, camouflée sous des termes attractifs pour le gogo: ventes multi-niveaux, multi-level marketing, make money fast, etc.

 

En commençant avec 6 initiateurs, les suivants onst 36 (6 x 6); et au dixième niveau, on trouve déjà plus de 60 millions de personnes (610 = 60 466 176), en gros, la population française.

 

Système de Ponzi

 

*    Montage financier par lequel ce sont les investissements des  nouveaux souscripteurs qui financent les gains des anciens.

*    Une escroquerie qui s'écroule lorsque les nouveaux n'arrivent plus à alimenter l'immense masse des anciens. Le qualificatif de pyramidal vient de cette croissance

*    En 1920, Charles Ponzi a mis en place une opération basée sur ce principe à Boston. Depuis, les cas sont nombreux dont un récent (2012) et français avec Bernard Madoff.
 

Anglais: Ponzi scheme

 

 

 

 

 

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Suite

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