NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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OBJETS 3D

 

Débutants

Général

CÔNE, CALOTTE

& CYLINDRE

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

Géométrie

  

Cône

Sphère

Archimède

Ratio 123

Cylindre

 

Sommaire de cette page

>>> Comparaison

>>> Vu par Archimède

>>> Calculs

 

 

 

 

Comparaison entre ces trois volumes

 

Les trois volumes: cylindre, sablier et sphère

 

Voir Cylindre / Cône / Sphère

 

Formulation des volumes

 

Comparaison des trois volumes

 

 

 

 

Vu par Archimède

 

*    La sphère, ou plus exactement la boule, est équivalente en volume au "double-cône en creux", laissé libre lorsqu'on évide le cylindre par un double-cône.

 

 

 

*    Vers 300 av. J-C., Euclide montre que le volume d'une sphère est proportionnel au cube de son diamètre. Il utilise la méthode d'exhaustion, en encadrant la sphère par des polyèdres.      Proposition 18 du livre XII de ses Éléments.

 

 

*    Vers 220 av. J.-C., Archimède a écrit  dans De la sphère et du cylindre:

 

Un cylindre qui a une base égale à un grand cercle d'une sphère, et une hauteur égale au diamètre de cette sphère, est égal à trois fois la moitié de cette sphère, et la surface de ce cylindre est aussi égale à trois fois la moitié de la surface de cette même sphère.

 

Archimède est si fier de cette découverte qu'il donne des instructions pour que sa tombe soit gravée d'une sphère inscrite dans un cylindre. Voir Médaille Fields - Revers

 

*    Cicéron (–106 à –43)  a écrit Les Tusculanes. Il y indique avoir retrouvé la tombe d'Archimède marquée d'une sphère inscrite dans un cylindre.

Plutarque (46–125) penseur et écrivain romain a écrit La vie des hommes illustres. Il y indique que l'inscription sur la tombe était une volonté d'Archimède.

 

*    Anglais: The volume of a sphere is two-thirds the volume of its circumscribing cylinder.

 

 

 

Calculs

 

*    Le principe utilisé par Archimède pour déterminer le volume de la sphère est équivalent à ceci:

*      Chaque volume est découpé en fines tranches horizontales d'épaisseur e.

*      Le rayon des tranches de cylindre reste constamment égal à R.

*      Celui des tranches de cône (c)  passe de R à 0 pour remonter vers R selon la distance h du centre du sablier au centre de la tranche.

*      Le rayon des tranches de sphère (r) varie continument de 0 à R, puis de R à 0 selon la distance h du centre de la sphère au centre de la tranche.

 

*    Il s'agit maintenant de comparer les volumes de chacune des tranches.

 

 

*    Remarquons tout de suite que l'angle au centre du cône est un angle de 90° du fait que le cône a un rayon R et que sa hauteur est également égale à R.
De sorte que le rayon de la tranche circulaire est égal à h.

 

 

*    Volume de la tranche du cylindre:

 

*    Volume de la tranche du sablier:

*    Volume de la tranche de la sphère:

*    Pythagore en action

R² = r² + h²

 

*    Conclusion:

 

 

 

*    La propriété est vraie pour chaque tranche; elle est vraie pour les volumes entiers.

*    Les volumes décomposés en tranches restent encore formés de marches d'escalier. Mais, il est possible de passer à des tranches d'épaisseur aussi fine que l'on veut. Si bien qu'à la limite la propriété reste vraie pour les volumes parfaits.

 

 

 

 

Suite / Retour

*    Sphère

*    Ratio 123

*    Calcul par tranches

Aussi

*    Archimède

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*    Pythagore

*    Vocabulaire de la géométrie

DicoNombre

*    Nombre 0,666…

Sites

*    De la sphère et du cylindre (vers 225 av.J.-C.) par Archimède – Wikipédia

*    Archimedes on Spheres and Cylinders – Math Pages

*    The illustrated Method of Archimedes – Andre Koch Torres Assis and Ceno Pietro Magnaghi – pdf 49 pages

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/CoArchim.htm