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NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Puissances

 

Débutants

Logarithmes

Opérations sur les puissances

 

Glossaire

Puissances

 

 

Rubrique

PARTITION

 

INDEX PUISSANCES

 

Somme de puissances

Th de Pythagore

Th de Fermat-Wiles

Démonstration du théorème

Carré somme de cubes

 

Sommaire de cette page

>>> Tous les nombres

>>> Certains nombres

>>> Propriétés: résumons ce que nous savons

 

 

 

 

 

 

SOMME DE PUISSANCES

 

Introduction à la rubrique Pythagore et Fermat

où il est question de 3 nombres portés à une certaine puissance

 

Pour rubrique avancée sur la somme des puissances

Voir S'y retrouver

 

  

 

TOUT NOMBRE …

*    4P2: Tout nombre peut s'écrire comme une somme d'au plus 4 puissances 2 (carrés).

12 = 2² + 2² + 2²

  7 = 2² + 1² + 1² + 1²

*    9P3: Tout nombre peut s'écrire comme une somme d'au plus 9 puissances 3 (cubes).

36 = 33 + 23 + 13

10 = 23 + 13 + 13

*    19P4: Tout nombre peut s'écrire comme une somme d'au plus 19 puissances 4 (bicarrés).

434 = 24 + 34 + 34 + 44

*    Tout nombre peut s'écrire comme une somme d'au plus k puissances p.
                           Théorème de Waring

N = a1 p1 + a2 p2 + …

 

Résumons la situation en tableau. pout tout nombre:

Quantité de termes dans la somme

Carrés

Cubes

Bicarrés

3

 

 

 

4

4P2

Il existe de nombreux

5

 

cas

 

 

 

9

 

9P3

 

TOUS

 

 

19

Toujours

 

19P4

 

 

 

 

 

 

NOMBRES puissance,

somme de puissances

Certains nombres

peuvent s'écrire comme

Exemples

*    Carrés

somme de 2 carrés

5² = 4² + 3²

somme de 3 carrés

13² = 3² + 4² + 12²

*    Cubes

somme de 3 cubes

63 = 53 + 43 + 33

93 = 83 + 63 + 13

*    Bicarrés

somme de 4 bicarrés

3534 = 304 + 1204
                 + 2724 + 3154

somme de 3 bicarrés

Euler le pensait impossible

422 4814 = 95 8004  + 217

            + 5194  + 414 5604

Mais

*    Cube

somme de 2 cubes

IMPOSSIBLE

*    Bicarrés

somme de 2 bicarrés

IMPOSSIBLE

 

 

 

Résumons ce que nous savons

Quantité

de termes

 dans l'addition

Carrés

Cubes

Bicarrés

Puissance 5 et plus

2*

triplets

OUI

Une infinité

PYTHAGORE

IMPOSSIBLE

FERMAT

3

quadruplets

3² + 4² + 12²

= 13²

53 + 43 + 33

= 63

Existe

 EULER

?

On ne sait pas encore

4

quintuplets

 

Il existe des cas

Existe

 EULER

TOUS

WARING

 

 

9

 

 

 

 

* deux termes dans l'addition; trois termes dans la relation d'où le nom de triplet.

 

 

Principales propriétés

Pythagore

(théorème)

Infinité de triplets: carré = somme de 2 carrés.

De très nombreuses démonstrations.

Fermat

(théorème)

Aucune somme de deux mêmes puissances ne donne un nombre à cette puissance

sauf pour la puissance 2.

Démontré par Andrew Wiles en 1994.

Euler

(conjecture)

Aucune somme de k – 1 mêmes puissances k ne donne un nombre à cette puissance.

Conjecture fausse

Contre-exemple en 1966 par ordinateur

Waring

(théorème)

Tout nombre est décomposable en une quantité maximum de puissances k.

Démontré

 

 

 

 

Suite

*    Th de Pythagore

Voir

*    S'y retrouver

*    Pythagore - Biographie

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    Partitions

*    Nombre = sommes de puissances

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