NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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INDEX PUISSANCES

 

Th de Pythagore

Triplets

Démonstration du théorème

Exemples de calculs

 

Sommaire de cette page

>>> Problème de Fibonacci

>>>

 Problème de Brahmagupta

>>> Avec l'aire

>>> Avec le périmètre

>>> Les deux tours

 

 

 

 

 

 

THÉORÈME DE PYTHAGORE

 Exemples de calculs

 

Quelques exemples typiques de calcul.

 

 

Problème de Fibonacci

*    Vers 1200, Léonard de Pise dit Fibonacci pose le problème suivant:

 

Une lance de 20 pieds est posée verticalement le long d'un mur. Si on écarte le bout au sol de 12 pieds de combien descend le bout le long du mur?

 

*    Le théorème de Pythagore:

 BC² = BD² – CD² = 20² – 12²

= 400 – 144 = 256 = 16²

*    Soit la longueur du segment AB

h = AB = AC – BC = 20 – 16 = 4

 

Le pied vaut environ 30 cm.

 

 

Variante – L'arbre coupé

*    Vers 1200, Léonard de Pise dit Fibonacci pose le problème suivant:

 

Une lance de 20 pieds est posée verticalement le long d'un mur. Si on écarte le bout au sol de 12 pieds de combien descend le bout le long du mur?

 

*    Le théorème de Pythagore:

 BC² = BD² – CD² = 20² – 12²

= 400 – 144 = 256 = 16²

*    Soit la longueur du segment AB

h = AB = AC – BC = 20 – 16 = 4

 

Le pied vaut environ 30 cm.

 

 

Problème de Brahmagupta

 

Vers 600, Brahmagupta, mathématicien indien, pose le problème suivant:

 

Deux sorcières* en haut d'un mur décident de rejoindre le village. L'une prend le chemin normal. L'autre choisit la magie: elle prend de la hauteur et se laisse voler en ligne droite vers le village. Quelle est la hauteur d'envol pour égaliser les trajets?

* l'original parle d'ascètes.

 

Égalité des trajets:

En développant:

 

Exemple numérique:   h = 100, d = 800 =>
Plus petite solution entière: h = 2, d = 4 =>
La suivante:                          h = 3, d = 3 =>

e = 80

e =   1

e =   1

 

 

Avec l'aire

 

*    Dans ce triangle rectangle, l'aire est connue de même que l'un des côtés.

 

*    Trouvez la mesure des deux autres côtés.

 

 

 

 

 

Théorème de Pythagore

a² + b² = c²

120² + b² = c²

Aire du triangle

A = 1/2 a . b

b = 2A / a

5 400 = 1/2  x 120b

b = 10 800 / 120 =  90

Calcul de c

c² = a² + (2A/a)²

c² = 120² + 90² = 14 400 + 8 100 = 22 500

c = 150

 

 

 

Avec le périmètre

 

*    Dans ce triangle rectangle, le périmètre est connu de même que l'un des côtés.

 

*    Trouvez la mesure des deux autres côtés.

 

 

 

 

 

Théorème de Pythagore

a² + b² = c²

100² + b² = c²

Périmètre du triangle

P = a + b + c

b = P – a – c

300 = 100 + b + c

b = 200 – c

Substitution de b

a² + ((P – a) – c)² = c²

100² + (200 – c)² = c²

Développement

a² + (P – a)² – 2(P – a)c + c² = c²

100² + 200² – 400c + c² = c²

Soustraction de c²

a² + (P – a)² – 2(P – a)c = 0

50 000 – 400c = 0

Calcul de c

c = 50 000 / 400 = 125

Calcul de b

b = P – a – c

b = 300 – 100 – 125 = 75

 

Exercice

Faire le calcul avec a  = 52 et P = 156

Solution: c = 65 et b = 39

En effet: 52² + 39² = 2 704 + 1 521 = 4 225 = 65²

Et P = 52 + 39 + 65 = 156

 

 

Les deux tours

*      Sur la figure, calculez la valeur de x pour que, A, B et l étant donné, les deux obliques soient de même longueur (H).

*      Ce problème est souvent présenté comme le problème de deux oiseaux s'envolant chacun d'une tour et piquant vers le sol à la même vitesse. Quelle est la position du point au sol visé par es oiseaux?

 

*    Calcul littéral, avec le théorème de Pythagore s'appliquant dans les deux triangles rectangles.

 

 

*    En fixant A = 100 et L  = 100, comment varie x en fonction de B?

 

x  = B² / 2L = B² / 200

 

Exemples: B = 60, alors x = 18

 et pour B  = 100, alors x = 50

 

 

 

 

 

SUITE

*    Démonstration chinoise

*    Toutes les relations dans le triangle quelconque

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    ÉnigmesIndex

*    Pythagore - Biographie

*    Toutes les relations dans le triangle quelconque

Aussi

*    Bi, tripartitions

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