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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Résolution

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

 

Résolution

Formules

Hauteur

Aire (Héron)

Hypoténuse

Projection

T 13 14 15

 

Sommaire de cette page

>>> Quelques triangles rectangles typiques

>>> Théorème de Pythagore

>>> Résolution du triangle rectangle

>>> Méthode tamoule

>>> Exemples

>>> Pertinence

>>> Triplets élus

>>> Bilan

 

 

 

 

 

TRIANGLES RECTANGLES

LONGUEUR de l'HYPOTÉNUSE

Méthode TAMOULE

Nous allons voir trois méthodes de calcul avec:

*    le théorème de Pythagore,

*    la trigonométrie, ou

*    une approximation tamoule.

Tu as sans doute raison, Pythagore. Mais, tout le monde va rire si tu l'appelles hypoténuse.

Hypoténuse: du grec hypo, préfixe signifiant: sous;  et teinousa, participe présent de tendant.

Anglais: hypotenuse; Italien: ipotenuzo

 

Quelques triangles rectangles typiques et leur hypoténuse

Voir Triangles rectangles typiques

 

 

Théorème de Pythagore

La longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est calculée facilement si on connait la longueur des deux autres côtés (dits base et hauteur). Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore.

Ce calcul implique le calcul d'une racine carrée. Simple avec les moyens actuels (calculette); plus compliqué autrefois.

 

Il se trouve qu'avec les nombres de la figure (3 et 4), l'hypoténuse est mesurée par un nombre entier.

De telles situations sont fréquentes; il s'agit des triplets de Pythagore.

Évidemment, le calcul est tout aussi faisable avec des longueurs non entières.

 

Les mesures notées à droite sont celles relevées sur un dessin réalisé avec le logiciel gratuit Geogebra.

 

 

Résolution du triangle rectangle

La définition du sinus est appliquée.

 

On aurait pu faire la même chose avec les cosinus

 

Résolution générale du triangle dans le cas particulier où il est rectangle.

Voir pages spéciales >>>

 

 

Méthode sans calcul de racine carrée (approximation)

 

 

Méthode tamoule – Principe

 

Texte Tamoul

Odum Neelam Thanai Ore Ettu Kooru thaaki Koorilae Ondrai Thalli Kundrathil Paadhiyai Saerthal Varuvathu Karnam Thane.

Le texte est un quatrain rédigé par Bothainayanar, sage et mathématicien tamoul (information à vérifier).

Tamouls: peuple de l'Inde du sud et Sri Lanka.

La langue tamoule, apparue il y a plus de 2500 ans, est l'une des plus anciennes langues du monde encore parlées aujourd'hui.

 

Traduction

*    Soustraire un huitième de la longueur du côté le plus long.

*    Ajouter la moitié de l'autre pour obtenir l'hypoténuse.

 

Avec les notations classiques

 

 

Théorème de Pythagore

La valeur exacte est obtenue avec cette formule attribuée à l'école de Pythagore, mais connue des Babyloniens.

 

 

Méthode tamoule – Exemples de calcul

Triangle rectangle (8, 6)

 

La formule Tamoule donne 10 cm alors que la valeur exacte obtenue avec le théorème de Pythagore est 10 cm.

 

Avec ce triplet de Pythagore classique (3,4, 5 multiplié par 2), la formule Tamoule évalue exactement la longueur de l'hypoténuse.

 

Le rapport entre longueurs des côtés: 6/8 = 3/4.

Nous verrons que ce rapport est important pour caractériser la précision de la formule.

 

Triangle rectangle (16, 8)

 

La formule tamoule donne 18 cm alors que la valeur exacte obtenue avec le théorème de Pythagore est 17,88 cm.

 

Erreur relative de:

 

Le rapport entre longueurs des côtés: 16/8 = 2.

 

 

Méthode tamoule – Pertinence 

 

Pertinence de la formule

Une formule qui a le mérite d'exister à deux titres:

*      Elle est très antérieure à l'époque de Pythagore

*    Elle n'utilise pas de radicaux (racine) et permet ainsi un calcul mental d'ordre de grandeur.

 

La méthode semble adaptée aux cas de triangles rectangle dont base (a) et hauteur (b) ont des longueurs non égales. Est-ce là la seule et bonne conclusion ? Non! Il faut chercher ailleurs …

 

En effet, le graphique ci-dessous montre qu'avec b = 100, la formule est une bonne approximation à 7% prés dans la plage de a = 125 à 268 (cadre pointillé rouge).

 

Note importante: on observe deux régions de grande précision autour de 135 et de 240.  Les ratios a/b sont alors: 1,35 et 2,4 ou en fractions: 4/3 et 12/5.

On note alors des triplets de Pythagore

3² + 4² = 5²

5² + 12² = 13²

Affaire à suivre …

 

Précision relative en % en fonction de a et selon diverses valeurs de b (de 10 en 10)

Abscisse a; réseau de courbes pour b et rapport en ordonnées

 

 

Méthode tamoule – Triplets élus

Calcul

Prenons a comme proportion de b: a = kb avec k > 1.

On calcule le rapport R entre les deux évaluations de la longueur de l'hypoténuse.

 

 

Cas où a = b

En cas de triangle rectangle isocèle (a = b), la précision de la formule tamoule n'est que de 2,8%. Cela revient à prendre une approximation de racine de 2 valant 11/8.

 

Développement en série de R

Avec ce développement, il est curieux d'y retrouver les deux fractions de la formule tamoule.

 

Résolution de l'équation

Quelle est la relation entre a et b pour que le rapport soit exactement égal à 1. Autrement-dit: que la formule tamoule donne la valeur exacte de la longueur de l'hypoténuse.

Par le calcul, nous retrouvons les valeurs expérimentales que nous avons observées plus haut.

Et ce sont les paires engendrant deux triplets de Pythagore

 

 

Conclusion

 

La méthode tamoule donne la longuer exacte de l'hypoténuse pour toutes les longueurs du type: b = 3/4 a et b = 5/12 a.

 

 

Justification

Triplets de Pythagore génériques exprimés avec la formule tamoule.

 

Selon ce calcul

La méthode tamoule est rigoureuse pour les triplets de Pythagore en

m = 3n et  m = 5n

 

m² + n², m² – n²  et 2mn

 

m² + n² = 7/8 (m² – n²) + mn

m² – 8mn + 15n² = 0

(m – 3n)(m – 5n) = 0

 

On trouve bien nos deux triplets en calculant a, b et c avec les valeur de m et n:

 

 

Bilan

La méthode est astucieuse et assez précise surtout au voisinage des deux rapports a/b = 4/3 ou 12/5.

Le graphe du rapport en fonction de k montre les deux coupures à 100 à 4/3 et 12/5. Le rectangle en pointillés rouges montre la plage de précision à 0,5%. 

 

Graphe rapport entre les longueurs en fonction de k = a/b

Exemples proches des racines et valeurs de plus de plus éloignées

La formule tamoule est efficace pour des triangles rectangles bien proportionnés (a et b peu différents)

 

 

 

Merci à Jean-Paul Mercier pour sa contribution

 

 

 

Suite

*    Triangle rectangle

*    Triangles – Formules 

*    Triangle – Résolution

*    Rayon du cercle inscrit

Voir

*    Triangles héroniens

*    Triangle – Introduction

*    TriangleIndex

*    Volume du tétraèdre

*    Formule de Héron pour le trapèze

Sites

*       Pythagoras vs Bothaināyaṉār – Antony Raj

*       Pythagorean theorem expressed without roots in an old Tamilian (Indian) statement

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/Hypotenu.htm