NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Anniversaire 3

 

Sommaire de cette page

>>> ANNIVERSAIRES

>>> CALCUL pour deux personnes

>>> CALCUL pour   n       personnes

>>> Calcul général et approximations

>>> CALCUL pour une date donnée

>>> DEUX personnes et DEUX anniversaires

 

 

 

 

 

ANNIVERSAIRES

Le paradoxe des anniversaires

 

Combien de personnes ont le même anniversaire parmi:

-          les élèves d'une classe,

-          les présidents de la République,

-          les députés,

-          les rois de France,

-          les cosmonautes,

-          les moines de telle abbaye,

-         

 

Dès l'instant où une communauté dépasse 23 personnes,

on a plus d'une chance sur 2 de trouver deux personnes nées le même jour.

(pas forcément la même année).

 

Anniversaires identiques

 

*      29 Rois de France

Charles IX est né le 27 juin.

Louis XII  est né le 27 juin.

*      36 Présidents des États-Unis

Harding est né le 2 novembre.

Polk      est né le 2 novembre.

*      28 Empereurs

Albert IV    est né le 21 septembre.

Frédéric IV est né le 21 septembre.

Charles V   est né le 24 février.

Matias        est né le 24 février.

*      32 Rois d'Angleterre

Aucun n'a le même anniversaire.

 

Selon Albert Jacquard

Anglais: the birthday problem 

Voir Paradoxes

 

 

 

 

Premier cours introduction aux probabilités

Dans une classe d'une trentaine de personnes, le prof demande la date de naissance au premier élève et questionne les autres pour savoir si l'un d'entre eux est né ce jour là de l'année. Sinon, il continue avec les élèves suivants. Il est pratiquement sûr de réussir ce qu'il cherche: trouver deux élèves ayant la même date de naissance. Les élèves sont étonnés et le prof ravi de son coup.

 

Quelques probabilités avec les anniversaires

  0,27 % = 1/365 : P. que deux personnes soient nées le même jour.

  0,27 % = 1/365 : P. que mère et fils soient nés le même jour.

  0,27 % = 1/365 : P. que quelqu’un soit né le même jour que moi.

99,73 % = 1 – 1/365 : P. que quelqu’un ne soit pas né le même jour que moi.

  0,82 % = 364x365/3562 : P. que trois personnes soient nés le même jour.

  1,64 % = 364x365x362/3563 : P. que quatre personnes soient nés le même jour.

50      % : P. que deux personnes parmi 23 partagent la même date d’anniversaire. Il en faut 366 (ou 367 pour les années bissextiles) pour être sûr que deux personnes soient nées le même jour.

50      % : P. que deux personnes parmi 253 aient le même anniversaire un jour donné.

 

 

Anniversaire le même jour

 

Une chance sur deux de trouver au moins* deux personnes ayant le même anniversaire parmi 23 personnes.

* Au moins deux, mais la probabilité d’en avoir trois ou plus est très faible.

 

*    En demandant aux gens de l'estimer, ils donnent une probabilité maximum de 10%. Personne n'imagine a priori que cette probabilité est aussi élevée que 1 chance sur 2.

*    La raison d'une si forte probabilité est liée au nombre de paires possibles. Il y a un total de  253 paires différentes. Quantité beaucoup plus grande que le nombre d'individus (23).

*    En effet:

*       la première personne peut faire 22 paires.

*       la deuxième : 21 autres paires.

*       etc.

*       Total:    22 + 21+ 20 + … + 2 + 1

*       Calcul:   22 x 23 / 2 = 253

 

*    Il faut 366 (365 jours d'une année normale plus un) personnes pour en obtenir à coup sûr deux nées le même jour de l'année (pas forcément la même année)   >>>

*    Il en faut 367 pour une année bissextile.

*    Il n'en faut que 23 pour avoir une chance sur deux.

 

 

Calculs pour deux personnes

 

Anniversaire de mon copain

*    On suppose que les années ne sont pas bissextiles. On admet que les naissances sont réparties régulièrement dans l'année.

 

*    Probabilité que mon anniversaire tombe le 14 juillet.

1 possibilité sur 365

*    Quelle est la probabilité pour que mon copain soit né un autre jour que moi.

?

*    Il doit avoir son anniversaire un des 364 autres jours.

364 possibilités sur 365

P2différents = 364/365

*    Quelle est la probabilité qu'il ait le même anniversaire que le mien.

?

*    C'est la probabilité d'avoir certainement notre anniversaire le même jour (probabilité = 1), sauf s'il tombe un jour différent.

P2identiques = 1 – P2différents

= 1 – 364/365 = 0,003

=> 0,3 %

 

*    Pour calculer la probabilité d'un événement, il est très souvent plus simple de calcul la probabilité de l'événement contraire.

 

 

Calculs pour n personnes

*    Deux copains nés le même jour

1 – (364/365) = 0,003

=> 0,3 %

*    Pour 3

1 – (364/365) (363/365) = 0,01

=> 1 %

*    Pour 9

1 – (364/365)...(357/365) => 0,09

=> 9 %

*    Etc.

Note pour l'établissement de la formule

Voir Factorielle

 

Formule

 

Tableau

Graphe

Environ: 50 % de probabilité pour 23 personnes / 80 % avec 35 personnes

Note: il faut seulement 14 personnes pour avoir le même anniversaire à un jour près avec une probabilité de 50%. Avec 30 personnes, la probabilité est proche de l'ordre de 98%.

 

 

 

Calcul général et approximations

 

Le problème des anniversaires est un cas particulier du problème général suivant:

Soit n balles lâchées au hasard sur k cases ( ).

La probabilité qu'il n'y ait pas plus d'une balle par case (pas deux balles ou plus par case) est (avec approximation pour n petit par rapport à c):

 

Probabilité pour avoir au moins une fois deux balles dans la même case:

P = 50% pour    et P = 95% pour

 

Avec k = 365 jours, on retrouve bien n = 22,92…  pour P = 50%.

 

Cas de balles dans plusieurs casiers (c1, c2, .. ck) ou de personnes ayant le même anniversaire ou ayant  le même jour de fête ou le même ticket gagnant à la loterie ...

Cas du même anniversaire ou de la même fête: il faut 16 personnes dans une assemblée pour obtenir un des événements avec 50% de chance, et 34 pour 95%.

Source: Methods for Studying Coincidences >>>

 

Remarque morbide …

Parmi 23 personnes, la probabilité de trouver deux personnes nées le même jour est de 50 %; c'est aussi la probabilité que deux personnes soient décédées le même jour, pas de la même année.

 

 

Calculs pour une date donnée

 

Il faut 253 personnes pour trouver parmi elles, une personne ayant le même anniversaire que vous avec une chance sur deux.

 

Exemple avec le 14 juillet (vrai pour toute autre date)

*    Probabilité pour que la date d'anniversaire de quelqu'un ne soit pas le 14 juillet, mais un autre des 364 jours.

364/365

*    Probabilité pour qu'une personne ait son anniversaire le 14 juillet.

1– 364/365 = 0,003 => 0,3%

*    Pour que deux autres personnes aient leur anniversaire le 14 juillet.

1 – (364/365)² = 0,005 => 0,5%

*    Pour 23 personnes autres.

1 – (364/365)23 = 0,061 => 6,1%

*    Pour 253 personnes autres.

1 – (364/365)253 = 0,5 => 50%

*    Probabilité de trouver une personne ayant votre anniversaire parmi n autres personnes (pour une année de 365 jours).

*    Pour n personnes pour K jours

 

 

Deux personnes et deux anniversaires

Question

Ma mère et mon père ont le même jour anniversaire:

*    de naissance, et également

*    de décès.

 

Quelle est la probabilité d'une telle coïncidence?

 

 

Théorie et réalité

D'une manière générale, quelle est la probabilité de deux anniversaires le même jour pour deux personnes données ?

Calcul théorique, hors phénomènes sociaux.

*      Les variations saisonnières des naissances s'estompent depuis quelques décennies, notamment le pic de septembre dû aux conceptions du Nouvel An.

*      En revanche, le pic de mortalité le jour anniversaire de la naissance est toujours bien marqué >>>

 

 

Naissance le même jour

La probabilité que mon père soit né le jour anniversaire de ma mère est:

P1 = 1 – (364/365) = 1/ 365

Décès le même jour

La probabilité que mon père soit décédé le jour anniversaire du décès de ma mère est:

P2 = 1 – (364/365) = 1/ 365

 

Nature des événements

La naissance et la mort étant des événements qui se succèdent mais qui surviennent n'importe quand (sans que l'un soit lié à l'autre), les probabilités sont indépendantes et se multiplient:

P = (1/365)² = 1/ 133 225
soit 0,00000750 = 7, 5 10-6
= 7, 5 pour un million.

 

Commentaire

Cette probabilité s'applique à quiconque partage le même jour anniversaire que moi. La probabilité que ce soit le cas est bien 1/365. Et, alors, la probabilité, ayant trouvé cette personne, qu'elle décède le même jour que moi est à nouveau 1/365. Ce peut être ma mère, ma sœur ou un quidam.

 

Il se trouve que cette infime chance s'est matérialisée avec mon père et ma mère, comme s'ils avaient tous deux gagnés au loto sans qu'ils se soient concertés.

 

Analogie

Le destin a pris une route sur 365 pour faire que mon père partage le même anniversaire que ma mère. Puis, le destin a poursuivi sa route et a pris un chemin sur 365 pour fixer la date finale. Soit sur le parcours, un chemin parmi 365 x 365.

Cas de trois personnes partageant deux dates anniversaires

P = (1/365)4

    = 5,6 10-11

 

Cas d'une personne décédée le jour de son anniversaire

La probabilité théorique de mourir le jour de son anniversaire est 1/365. Mais …

Il semble que la mortalité est plus importante le jour de son anniversaire que n'importe quel autre jour (14%). Le stress de l'année en plus ? L'effort de tenir jusque là ? Suicides dus au blues de l'anniversaire ?

Personnages célèbres morts le jour de leur anniversaire : William Shakespeare, Raphael, Franklin Roosevelt, Ingrid Bergman, Sidney Bechet, Mike Douglas …

 

Anglais: Probability that two given people share the same birthday and the same date of death

 

 

 

 

 

Suite

*         Anniversaires : trois le même jour

*         Calcul anniversaire avec le principe des tiroirs

*         Amis

*         Anniversaire le même jour de la semaine

*         Coïncidences

Voir

*         Aïeuls

*         Dates de naissance produit

*         Dates de naissance en carrés magiques

*         Dénombrement

*         Jeux avec les âges

*         Oncles

*         Paradoxes

*         Probabilités

DicoNombre

*         Nombre 0,5

Sites

*           Paradoxe des anniversaires – Wikipédia

*           Le paradoxe des anniversaires –Science étonnante

*           Évolution de la saisonnalité des naissances en France de 1975 à nos jours – Arnaud Régnier-Loilier – 2010

*           Birthday problem – Wikipedia

*           Birthday problem – Wolfram Mathworld

*           Birthday paradox – GeeksforGeeks 

*         OEIS A014088 - Minimal number of people to give a 50% probability of having at least n coincident birthdays in one year

*         Methods for Studying Coincidences – Persl Diaconls and Frederick Mostelle

*         Coincidences: Remarkable or Random? – Bruce Martin – 1998 – Analyse notamment avec les Présidents des États-Unis

*         Probability of 3 people in a room of 30 having the same birthday – Mathematics (forum)

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