NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Limite asymptotique

>>> Paradoxe

>>> Les grecs

>>> Solution

 

 

 

ACHILLE & LA TORTUE

 

Achille ne peut jamais atteindre la tortue! À moins que …

Il faut avoir assimilé les concepts de l'infini, du zéro et, en résumé, des limites pour résoudre ce paradoxe.

 

 

 

 

LIMITE ASYMPTOTIQUE

 

Atterrissage

 

Principe d'encadrement par dichotomie.

Comme l'avion qui atterrit, la courbe asymptotique se rapproche sans cesse d'une ligne droite. À mesure que cette courbe et la ligne convergent, la distance qui les sépare est continuellement divisée de moitié. Mais quel que soit le point atteint, il restera toujours une moitié à faire, et ceci, même à l'infini. Paradoxe de la ligne asymptotique ou Paradoxe d'Achille et la tortue.

 

 

Antinomies de Zénon d'Élée    Grec, vers 500 avant J.-C.

 

La flèche n'atteint jamais sa cible

 

Chaque fois que la flèche a parcouru la moitié de son chemin,

il lui en reste une autre moitié à parcourir.

 

Achille ne rattrape jamais  la tortue

 

La  tortue est partie en avance (eh, oui!).

Elle est déjà loin lorsqu'Achille se met à courir.

Au moment où Achille atteint le point où elle se trouvait, la tortue a fait du chemin.

Chaque fois qu'Achille passe par le point où se trouvait la tortue celle-ci, pendant ce temps, progresse …

 

Voir Nombre 0,5 / Zénon d'Élée

 

 

 

Paradoxe d'Achille et la tortue – Détails

 

*         La tortue est déjà en position 1 au départ.

*         Achille va-t-il remonter le handicap ?

*         Achille progresse vers la position 1 et pendant ce temps, la tortue continue son bonhomme de chemin et se trouve en 1 + ½.

 

Illustration

 

*         Les positions successives de la tortue sont les suivantes

 

*         La tortue progresse; certes de moins en moins, mais elle progresse.
Achille est toujours un coup derrière; certes de moins en moins loin, mais derrière.

 

Voir  Somme des inverses des puissances de 2

 

 

LES GRECS

 

Les Grecs n'avaient pas d'explication à ce paradoxe.
La  marche continue de la tortue, découpée ainsi en une infinité d'étapes, devait durer toujours.
Ou, dit autrement:
en un temps fini, Achille ne rattrape jamais la tortue.
C'est l'infini qui est la cause du paradoxe.
Les Grecs n'avaient pas le zéro pour le résoudre.

 

 

 

Chaque terme est comme un voyage

dont la destination serait zéro

 

Zéro - La biographie d'une idée dangereuse – Charles SEIFE

 

 

SOLUTION

 

*         Le premier à formaliser les choses pour éviter le paradoxe est d'Alembert, puis vinrent Cauchy, Bolzano et Weierstrass.

*         L'idée consiste à dire que:

 

Quel que soit l'écart que l'on décide entre Achille et la tortue, il existe une étape pour laquelle Achille et la tortue sont assez proches pour tenir dans cet écart.

 

*         À l'étape 10, par exemple, il y a 1/1000 d'écart seulement. Mais, en étant encore plus exigeant, il est possible de penser à l'étape 10100, et même davantage …

*         Le paradoxe disparaît en faisant appel à la notion de limite.

*         Une étape quelconque représente une série de pas. Elle représente une distance finie pour exprimer le devenir de cette série, ces mathématiciens ont eu recours à une notation particulière: la limite

 

Voir Nombre 2

 

*         C'est une manière de calculer qui évite de manipuler les dangereux infinis et zéro.
 

Suite en Infinitésimaux

 

 

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