NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ALGÈBRE

 

Débutants

Structure

Structures algébriques

 

Glossaire

Ensemble

 

 

INDEX

 

Structures algébriques

Débutant

Loi de composition

Relation binaire

Cycle

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Symétrie S3

>>> Notation abrégée

>>> Notation matricielle

>>> Décomposition d'une permutation

>>> Anglais

 

 

 

 

Groupes de permutations

Cycles

 

Notation des permutations: complète ou abrégée. Exemples d'établissement de la table de Cayley pour le  groupe des permutations d'ordre 3.

Ne pas confondre avec groupes cycliques

 

 

Approche

*    Les six permutations des chiffres de 1 à 3: 


1 2 3,    2 3 1,     3 1 2

1 3 2,    2 1 3,     3 2 1

 

 

*    Analogie avec le numéro des sommets d'un triangle équilatéral.

 

*    On note la permutation (en chiffres rouges) en partant du haut et en tournant comme sur l'horloge (on aurait pu tourner dans l'autre sens ou prendre un autre sommet pour démarrer).
 

 

 

Symétries S3

 

*    But: que devient une permutation si on lui applique une permutation?

*    La table ci –contre montre toutes les possibilités.

*    C'est la table de Cayley pour le groupe des permutations d'ordre 3.

 

Lecture

 

*    On prend une permutation dans la colonne de gauche (bleue) et on lui applique une permutation de la ligne du haut. Le signe  signifie loi de composition entre les deux entrées.

 

Exemple: 231  231 = 312 une rotation d'un cran puis une rotation d'un cran = une rotation de deux crans (se reporter aux figures ci-dessus).

 

 

Construction

 

*    Colonne 2 à partir de la gauche: on applique 123 qui l'identité, cette colonne est égale à la colonne1

*    Colonne 3: on applique une rotation d'un cran; le premier chiffre passe en queue. 123 devienst 231.

*    Colonne 4: on applique une rotation de deux crans ou une rotation inverse d'un cran; le dernier chiffre passe en tête. 123 devienst 312.

*    Colonne 5: on conserve le premier chiffre en place. 123 devient 132.

*    Colonne 6: on conserve le deuxième chiffre en place. 123 devient 321.

*    Colonne 6: on conserve le troisième chiffre en place. 123 devient 213.

 

Propriétés

 

*    Notez les blocs 3 x 3 en rose et en blanc qui montrent que:

*    rotation par rotation = rotation

*    réfexion par réflexion = rotation

*    réflexion par rotation = réflexion

*    rotation par réflexion = réflexion; attention pas les mêmes.

*    Vous avez bien noté que la table n'est pas symétrique. Deux réflexions de suite donnent un résultat dépendant de l'ordre d'éxecution.

 

Voir Morphisme avec S3

 

Notation abrégée – Notation des cycles

 

*    La notation abrégée vise à simplifier la lecture de la table. Elle repose sur deux règles:

*    on ne note pas les positions inchangées: 123  132  est noté (23) qui signifie inversez les positions 2 et 3; et

*    on indique les transferts à effectuer: (321) veut dire que le troisième élément est remplacé par le 2e; le deuxième par le 1er; et, le premier par le 3e. On pourrait être plus explicite en notant:  .
 

*    Voici la nouvelle forme de la table de Cayley:

 

 

*    La permutation identité (sans changement) est notée (1). Ou (2) ou (3).

*    L'ordre des transferts est lui-même permutable: (321) = (132).

*    Il peut exister des plusieurs cycles pour une permutation: (12) (34) qui signifie intervertir 1 et 2, et intervertir 3 et4.

*    Dans l'indication des cycles il n'y a pas de doublons: (13) et incompatible avec (12).

*    Par convention, on a pris l'habitude de mettre les indications par ordre croissant autant que possible: (132) plutôt que (321) ou (231).

 

 

 

Notation matricielle ou sur deux lignes

 

*    Le principe consiste à écrire deux lignes avec la configuration de départ et dessous la configuration d'arrivée:

 

f(1) = 2, f(2) = 3 et f(3) = 1

devient:

 

*    Principal avantage de cette notation: les puissances se calculent facilement par décalage (permutation circulaire).

 

 

 

 

Transpositions pour décomposition

 

*    Généralement, une permutation peut être décomposée en plusieurs permutations.

Exemple

 

*    Ici, la permutation a été décomposée en deux transpositions.

 

La quantité de transpositions nécessaires pour décomposer une permutation donnée est toujours de même parité. Selon cette parité, la permutation est paire ou impaire.

 

Groupe alterné

 

*    Le groupe alterné de degré n, noté An, est le sous-groupe des permutations paires de degré n. >>>

 

 

 

 

English corner

 

*    (143): this indicates that the contents of box 1 moves to box 4, the contents of box 4 to box 3, and the contents of box 3 moves back into box 1. The system is called cycle notation since the contents of the boxes in parentheses move in a cycle: 1 to 4, 4 to 3, and 3 back to 1.

*    (1 3)(2 4): there are two cycles. 1 moves to 3 and 3 moves back to 1. At the same time, 2 moves to 4, and 4 back to 2. In other words, the contents of boxes 1 and 3 are cycled, and at the same time, the contents of boxes 2 and 4 are cycled.

 

 

 

 

Suite

*         Relation binaire

*           Morphisme par observation du résultat

Voir

*         PermutationsIndex

*         Logique de Boole

Sites

*         Cayley tableWikipedia – Détails sur la table de Cayley

*         Symetry Group S4 – Exemples de grandes tables !

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Cayley.htm