|
Groupes de permutations Cycles Notation des permutations:
complète ou abrégée. Exemples d'établissement de la table
de Cayley pour le groupe
des permutations
d'ordre 3. Groupe de permutations Un groupe de permutations G est un groupe fini dont les éléments sont
les permutations d'un ensemble donné et dont les opérations sur le groupe est
la composition des permutations dans G. Exemple: le groupe
des symétries Sn est un groupe de permutations d'ordre n!. |
Ne pas confondre avec groupes cycliques
Voir Arthur Cayley
– Biographie
|
||
Les six permutations des
chiffres de 1 à 3: |
1 3 2, 2 1 3, 3 2 1 |
|
Analogie avec le numéro des
sommets d'un triangle
équilatéral.
On note la permutation (en
chiffres rouges) en partant du haut et en tournant comme sur l'horloge (on aurait pu tourner dans l'autre sens ou prendre un autre sommet
pour démarrer). |
||
|
|
But: que devient une
permutation si on lui applique une permutation?
La table ci –contre montre
toutes les possibilités.
C'est la table de Cayley
pour le groupe des permutations d'ordre 3. Lecture On prend une permutation dans la colonne de gauche (bleue) et on
lui applique une permutation de la ligne du haut. Le signe signifie loi de composition entre les deux entrées. Exemple: 231 231 = 312 une rotation
d'un cran puis une rotation d'un cran = une rotation de deux crans (se reporter aux figures ci-dessus). Construction Colonne 2 à partir de la gauche: on applique 123 qui l'identité,
cette colonne est égale à la colonne1 Colonne 3: on applique une rotation d'un cran; le
premier chiffre passe en queue. 123 devienst 231. Colonne 4: on applique une rotation de deux crans ou
une rotation inverse d'un cran; le dernier chiffre passe en tête. 123
devienst 312. Colonne 5: on conserve le premier chiffre en place.
123 devient 132. Colonne 6: on conserve le deuxième chiffre en place.
123 devient 321. Colonne 6: on conserve le troisième chiffre en place.
123 devient 213. Propriétés Notez les blocs 3 x 3 en rose et en blanc qui
montrent que:
rotation
par rotation = rotation
réfexion
par réflexion = rotation
réflexion
par rotation = réflexion
rotation
par réflexion = réflexion; attention pas les mêmes.
Vous avez
bien noté que la table n'est pas symétrique.
Deux réflexions de suite donnent un résultat dépendant de l'ordre
d'éxecution. |
Voir Morphisme avec S3
|
|
La notation abrégée vise à
simplifier la lecture de la table. Elle repose sur deux règles:
on ne note pas les positions
inchangées: 123 132 est
noté (23) qui signifie inversez les positions
2 et 3; et
on indique les transferts à
effectuer: (321) veut dire que le troisième élément est remplacé par le 2e;
le deuxième par le 1er; et, le premier par le 3e. On
pourrait être plus explicite en notant:
.
Voici la nouvelle forme de
la table de Cayley:
La permutation identité
(sans changement) est notée (1). Ou (2) ou (3).
L'ordre des transferts est
lui-même permutable: (321) = (132).
Il peut exister des plusieurs
cycles pour une permutation: (12) (34) qui signifie intervertir 1 et 2, et
intervertir 3 et4.
Dans l'indication des cycles
il n'y a pas de doublons: (13) et incompatible avec (12).
Par convention, on a pris
l'habitude de mettre les indications par ordre croissant autant que possible:
(132) plutôt que (321) ou (231). |
|
|
Le principe consiste à
écrire deux lignes avec la configuration de départ et dessous la
configuration d'arrivée: f(1) = 2, f(2) = 3 et f(3) = 1 devient:
Principal avantage de cette
notation: les puissances se calculent facilement par décalage (permutation
circulaire). |
|
|
Généralement, une
permutation peut être décomposée en plusieurs permutations. Exemple
Ici, la permutation a été
décomposée en deux transpositions. La quantité de transpositions
nécessaires pour décomposer une permutation donnée est toujours de même parité. Selon cette parité, la permutation est paire ou impaire.
Le groupe
alterné de degré n, noté An, est le sous-groupe des permutations
paires de degré n. >>> |
|
|
(143): this indicates that the contents of box 1 moves to box 4, the
contents of box 4 to box 3, and the contents of box 3 moves back into box 1.
The system is called cycle notation since the
contents of the boxes in parentheses move in a cycle: 1 to 4, 4 to 3, and 3
back to 1.
(1 3)(2 4): there are two cycles. 1 moves to 3 and 3 moves back to 1.
At the same time, 2 moves to 4, and 4 back to 2. In other words, the contents
of boxes 1 and 3 are cycled, and at the same time, the contents of boxes 2
and 4 are cycled. |
Suite |
|
Voir |
Permutations
– Index |
Sites |
Cayley table – Wikipedia
– Détails sur la table de Cayley
Symetry Group S4
– Exemples de grandes tables ! |
Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Cayley.htm
|