NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ALGÈBRE

 

Débutants

Général

Structures algébriques

 

Glossaire

Ensemble

 

 

INDEX

 

Structures algébriques

Introduction

Définition

Groupe cyclique

Nombres

Types de groupes

 

Sommaire de cette page

>>> Groupe cyclique

 

 

 

 

Groupes cycliques

Ou groupes monogènes

 

Un élément générateur; tous les autres sont des multiples.

Anglais: A cyclic group is a group that is generated by a single element.

 

 

Groupe cyclique

 

*    Groupe dont les éléments sont a et ses multiples.

*      multiple classiques (loi +)

*      multiple en puissance (loi x)

 

*    L'élément a est le générateur.

*    L'ordre du groupe est sa quantité d'éléments.

 

*    L'adjectif cyclique fait allusion au fait que ces groupes sont des outils de l'arithmétique modulaire: congruence sur l'anneau des entiers.

Si G = {a0, a1, a2, a3 }, l'élément suivant est a4 qui repasse à a0.

Ce groupe est isomorphe à N = {0, 1, 2, 3} avec l'addition modulo 4.

Propriétés

 

*    Un groupe cyclique est toujours commutatif (abélien).

*    Un groupe cyclique est  toujours dénombrable (fini ou infini)

 

*    Tout groupe cyclique fini est isomorphe à (Z/nZ, +). Groupe quotient, utilisant la congruence modulo n.

*    Tout groupe cyclique infini est isomorphe à (Z,+)

 

*    Il existe autant de groupes cycliques que de n et un seul groupe cyclique infini.

*    Les groupes cycliques sont les plus simples et sont totalement identifiés.

 

*    Tous sous-groupe d'un groupe cyclique d'ordre n est un groupe cyclique.

 

 

Vocabualire:

Groupe monogène: engendré par un singleton.

 

Singleton: ensemble qui ne contient qu'un seul élément. E = {a}.

 

Isomorphe: en gros, qui revient au même. >>>

 

Exemples de groupes cycliques:

*      Le groupe des racines complexes énièmes de l'unité.

*      La symétrie de rotation des polygones réguliers, y compris le triangle équilatéral

 

Notations:

 

*      Additif:

Dans Z/5Z : 2 + 4 = 1

*      Multiplicatif:

Dans C5 : a2a4 = a1

 

 

Théorème:

Un groupe d'ordre n est cyclique si et seulement si, pour chaque diviseur d de n, le groupe possède exactement un sous-groupe d'ordre d.

 

 

 

Voir Symboles

 

 

Suite

*         Exemple de groupe cyclique

*         Ensembles des nombres

*         Groupe cyclique comme groupe fini

Voir

*         Nombres cycliques ou périodiques

*         Permutations et notation des cycles

*         Polynômes cyclotomiques

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