NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Puissances

 

Sommes des carrés de nombres consécutifs

 

 

Sommaire de cette page

>>> Toutes les sommes jusqu'à 510

>>> Table n de 1 à 20 et k de 1 à 20

>>>  Égalité jusqu'à 10 000

 

 

 

 

 

TABLE: Somme des carrés de

k nombres consécutifs

à partir de n

 

Sn = n² + (n+1)² + … (n+k

 

Exemples:   S = 10² + 11² + 12² = 365

                        S = 13² + 14²          = 365

Voir Somme des carrés de nombres consécutifs

 

 

Quelques sommes de deux et de trois carrés consécutifs

5 =

12 + 22 =

02 + 12 + 22

365 =

132 + 142 =

102 + 112 + 122

35 645 =

1332 + 1342 =

1082 + 1092 + 1102

3 492 725 =

1 3212 + 1 3222 =

1 0782 + 1 0792 + 1 0802

342 251 285 =

13 0812 + 13 0822 =

10 6802 + 10 6812 + 10 6822

 

 

TABLE - Toutes les sommes < 510 par ordre croissant

 

 

 

 

 

 

Table pour n de 1 à 20 et k de 1 à 20

 

Exemple de lecture:

n = 2 et k = 3, on lit 29

car c'est la somme de trois (k = 3) carrés consécutifs en commençant par 2 (n = 2) :  2² + 3² + 4² = 29.

 

 

Notes

La première colonne donne le carré simple.

La première ligne donne les nombres pyramidaux carrés.

Les nombres entourés sont les seuls à être répétés: quatre couples;

Dont 365, le seul avec tous ses nombres consécutifs: 10² + 11² + 12² = 13² = 14² = 365.

 

 

Observations

La colonne de vingt termes de suite se termine par un 0..

La colonne de dix termes de suite se termine par un 5.

Normal! Sur dix termes la somme des unités des carrés est toujours: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 dont la somme vaut 45; et voilà notre 5 pour dix  termes. Et une somme de 90 pour vingt termes; et voilà notre 0 systématique en dernière colonne à droite.
Notez la symétrie des chiffres des unités; elle explique l'alternance des 0 et des 5 dans les colonnes de cinq et de quinze termes.

 

 

 

 

ÉGALITÉS jusqu'à S < 10 000

 

Les premières égalités se lisent:

 

*      5² = 3² + 2² = 25, célèbre triplet de Pythagore

*      10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365, pépite car unique somme de carrés purement consécutifs de part et d'autre du signe égal.

*      29² = 20² + 21² = 841, fait partie des nombreux triplets de Pythagore dont deux nombres sont consécutifs.

*      26² + 27² = 7² + 8² + … + 29² = 1 405.

*      Etc.

 

Au-delà, les égalités se multiplient. Comme celle-ci:

110 110

      = 18² + … +   69²

      = 95² + … + 105²

 

 

 

 

 

Suite

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