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FORMES DES CARRÉS Quelques
propriétés et curiosités avec les carrés des nombres. |
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Un nombre au carré ne
change pas de parité. Exemples: 4² =
16; 5² = 25 Explications: Pair:
(2k)² = 4k², divisible par 2. Impair: (2k+1)² =
(4k² + 4k) + 1 = 4k(k + 1) + 1, reste un. Tous les carrés sont
de la forme 3k ou 3k + 1. Exemples: 3² =
15 = 3 x 5; 4² = 16= 3 x 5 + 1; 5² = 25 = 3 x 8 + 1 Explications: Avec n = 3h => n² = 9h² = 3 x 3h² Avec n = (3h – 1) => (3h –
1)² = 9h² – 6h + 1 = 3h (3h – 6) + 1 Avec n = (3h + 1) => (3h +
1)² = 9h² + 6h + 1 = 3h (3h + 6) + 1 Tous les carrés sont
de la forme 4k ou 4k + 1. Exemples: 4² =
16 = 4 x 4; 5² = 25 = 4 x 6 +
1; 6² = 36 = 4 x 8;
7² = 49 = 4 x 12 + 1 Explications: Avec n = 4h => n² = 16h² = 4 x 4h² Avec n = (4h – 2)
=> (4h – 2)² = 16h² – 16h + 4 = 4 (4h² – 4h + 1) Avec n = (4h – 1)
=> (4h – 1)² = 16h² – 8h + 1 = 4 (4h²
– 2h) + 1 Avec n = (4h + 1)
=> (4h + 1)² = 16h² + 8h + 1 = 4 (4h²
+ 2h) + 1 |
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Voir Identités
remarquables / Divisibilité par
3
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Tous les carrés sont
des multiples de 5 Exemples
Démonstration |
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Soit
la division de n
par 5 |
n = 5q + r |
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Au carré |
n² = 25q² + 10qr +
r² |
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n² = 5 (5q² + 2qr)
+ r² |
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Prenons
tous les restes possibles de la division par 5 |
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r = 0 |
n² = 5 (5q² + 2qr) |
divisible par 5, reste 0 |
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r = 1 |
n² = 5 (5q² + 2qr)
+ 1 |
reste 1 |
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r = 2 |
n² = 5 (5q² + 2qr)
+ 4 |
reste 4, soit 5 – 1 |
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r = 3 |
n² = 5 (5q² + 2qr)
+ 9 |
reste 9, soit 5 – 1 |
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r = 4 |
n² = 5 (5q² + 2qr)
+ 16 |
reste 16, soit 5 + 1 |
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On
trouve toujours un des cas
suivants: |
5k 5k – 1 5k + 1 |
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Tous les carrés sont
des multiples de 8 ou des multiples de 8
+ 1 ou des multiples de 8
+ 4 n² = {0, 1, 4} mod 8 Voir Modulo Tous les carrés de
nombres impairs sont des multiples de
8 + 1 Impair² = 1 mod 8 Exemples
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n² = 24 k + 1 pour tout n premier
> 3 et en général, pour tout n impair non multiple de 3. Exemples 5² =
24 + 1 7² =
48 + 1 11²
= 120 + 1
Etc. |
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Voir Démonstration
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Le carré d'un nombre
premier (> 5) se termine par 1 ou
9. En effet l'unité d'un nombre premier est 1, 3 7 ou 9; et l'unité de leur carré est, 1, 9, 9 ou 1. |
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Voir Fraction – Glossaire
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32 043 2 = |
1
026 753 849 |
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99 066 2 = |
9
814 072 356 |
Pannumérique |
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36 363 636 364 2 = |
13
223 140 496 13 223 140 496 |
Nombre
"jumeaux" |
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505 025 2 = |
255
050 250 625 |
Le
nombre est dans son carré |
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146 509 717 2 = |
21
465 097 175 420 089 |
'' |
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495 475 2 = |
245
495 475 625 |
Le
nombre est dans son carré, au centre |
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625 000 2 = |
390
625 000 000 |
'' |
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971 582 2 = |
943
971 582 724 |
'' |
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177 656 344 2 = |
31
561 776 563 446 336 |
'' |
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18 212 890 625 2 = |
331
709 384 918 212 890 625 |
Même
terminaison (automorphique) |
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5 = |
12 + 22
= |
02 + 12 + 22 |
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365 = |
132 + 142
= |
102 + 112 + 122 |
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35 645 = |
1332 + 1342
= |
1082 + 1092 + 1102 |
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3 492 725 = |
1 3212 + 1 3222
= |
1
0782 + 1 0792 + 1 0802 |
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342 251 285 = |
13 0812 + 13 0822
= |
10
6802 + 10 6812 + 10 6822 |
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Voir Suite
/ Nombres consécutifs
Voir Identité
d'Euler / Euler
/ Progressions géométriques
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Un nombre carré et
cube à la fois est de la forme 7k ou 7k + 1. Cette table donne toutes les valeurs pour n
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D'après Fermat,
il n'existerait que 5 nombres entiers dont le carré augmenté de 2 donnerait
un cube: Exemples 5² + 2 =
33 25 + 2 = 27 Il se trompait: il n'existe que cette seule
solution à l'équation: Y²
+ 2 = X3 |
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Suite |
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Voir |
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Dicinombre |
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Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/DeuxCarr.htm |
