NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCES

 

Débutants

Nombres géométriques

CARRÉS

 

Glossaire

Nombres géométriques

 

 

INDEX

Puissances

 

 

Carrés

Formes

Unités

Écarts

 

Sommaire de cette page

>>> Forme des carrés en 2, 3 et 4

>>> Forme des carrés en 5

>>> Forme des carrés en 8

>>> Forme des carrés en 24

>>> Forme des carrés des nombres premiers

 

>>> Fraction de carrés (curiosité)

>>> Carrés curieux

>>> Somme de deux et de trois carrés consécutifs

>>> Inverse des carrés

>>> Carré et cube à la fois

>>> Deux entre carré et cube

 

 

 

 

 

FORMES DES CARRÉS

Caractérisation

Divisibilité par k 

 

Quelques propriétés et curiosités avec les carrés des nombres.

 

Tout carré n² ou n² – 1  est divisible par 3.

Tout carré n² ou n² – 1  est divisible par 4. 

Tout carré n² ou n² – 1 ou n² + 1 est divisible par 5.

 

Le produit ou le quotient de deux carrés est un carré (entier ou fraction).

 

Tout nombre carré pair est la somme de quatre carrés identiques; impair, somme d'au plus trois carrés différents. >>>

 

Magie des nombres

111 111 1112 = 123 456 78 9 87 654 321

Voir Repunit / Pannumérique / Pépites

 

 

Devinette

Montrer qu'il n'existe aucun couple (x, y)

tel que x² + 4y et y² + 4x soient des carrés.

Solution

 

 

 

 

FORME en 2, 3 et en 4

 

Un nombre au carré ne change pas de parité.

 

Exemples:     4² = 16;     5² = 25

 

Explications: Pair:       (2k    = 4k², divisible par 2.

                          Impair: (2k+1)² = (4k² + 4k) + 1 = 4k(k + 1) + 1, reste un.

 

 

 

Tous les carrés sont de la forme 3k ou 3k + 1.

 

Exemples:     3² = 15 = 3 x 5;  4² = 16= 3 x 5 + 1;  5² = 25 = 3 x 8 + 1

 

Explications: Avec n = 3h => n² = 9h² = 3 x 3h²

                  Avec n = (3h – 1) => (3h – 1)² = 9h² – 6h + 1 = 3h (3h – 6) + 1

                  Avec n = (3h + 1) => (3h + 1)² = 9h² + 6h + 1 = 3h (3h + 6) + 1
 

 

Tous les carrés sont de la forme 4k ou 4k + 1.

 

Exemples:     4² = 16 = 4 x 4;  5² = 25 = 4 x   6 + 1;

                         6² = 36 = 4 x 9;  7² = 49 = 4 x 12 + 1

 

Explications: Avec n = 4h => n² = 16h² = 4 x 4h²

      Avec n = (4h – 2) => (4h – 2)² = 16h² – 16h + 4 = 4 (4h² – 4h + 1)

      Avec n = (4h – 1) => (4h – 1)² = 16h² –   8h + 1 = 4 (4h² – 2h) + 1

      Avec n = (4h + 1) => (4h + 1)² = 16h² +   8h + 1 = 4 (4h² + 2h) + 1

 

Voir Identités remarquables / Divisibilité par 3

 

 

FORME en 5

 

Tous les carrés sont des multiples de 5
ou des multiples de 5
 1

 

Exemples

 

Démonstration

Soit la division de n par 5

n = 5q + r

 

 Au carré

n² = 25q² + 10qr + r²

(Identité remarquable

 

n² = 5 (5q² + 2qr) + r²

 

Prenons tous les restes possibles de la division par 5

 

r = 0

n² = 5 (5q² + 2qr)

divisible par 5, reste 0

r = 1

n² = 5 (5q² + 2qr) + 1

reste 1

r = 2

n² = 5 (5q² + 2qr) + 4

reste 4, soit 5 – 1 

r = 3

n² = 5 (5q² + 2qr) + 9

reste 9, soit 5 – 1

r = 4

n² = 5 (5q² + 2qr) + 16

reste 16, soit 5 + 1

On trouve toujours

un des cas suivants:

5k

5k – 1

5k + 1

 

 

 

FORME en 8

  

Tous les carrés sont des multiples de 8

ou des multiples de 8 + 1

ou des multiples de 8 + 4

n² = {0, 1, 4} mod 8

Voir Modulo

 

Tous les carrés de nombres impairs

sont des multiples de 8 + 1

Impair² = 1 mod 8

Voir Démonstration et exemples

 

 Exemples

 

 

 

FORME en 24

 

n² = 24 k + 1

pour tout n premier > 3 et en général, pour tout n impair non multiple de 3.

 

 

Exemples

  5² =   24 + 1

  7² =   48 + 1

11² = 120 + 1

    Etc.

 

Voir Démonstration / Séquence en 24

 

 

CARRÉS des NOMBRES PREMIERS

 

Le carré d'un nombre premier (> 5)

se termine par 1 ou 9.

 

En effet l'unité d'un nombre premier est 1, 3 7 ou 9;

et l'unité de leur carré est, 1, 9, 9 ou 1.

 

 

 

 

FRACTION DE CARRÉS (curiosité)

DeuxCa13

Voir FractionGlossaire

 

   

CARRÉS CURIEUX

32 043 2 =

1 026 753 849

Pannumérique

99 066 2 =

9 814 072 356

Pannumérique

36 363 636 364 2 =

13 223 140 496 13 223 140 496

Nombre "jumeaux"

505 025 2 =

255 050 250 625

Le nombre est dans son carré

146 509 717 2 =

21 465 097 175 420 089

''

495 475 2 =

245 495 475 625

Le nombre est dans son carré, au centre

625 000 2 =

390 625 000 000

''

971 582 2 =

943 971 582 724

''

177 656 344 2 =

31 561 776 563 446 336

''

18 212 890 625 2 =

331 709 384 918 212 890 625

Même terminaison (automorphique)

 

 

 

Somme de deux et de trois carrés consécutifs

5 =

12 + 22 =

02 + 12 + 22

365 =

132 + 142 =

102 + 112 + 122

35 645 =

1332 + 1342 =

1082 + 1092 + 1102

3 492 725 =

1 3212 + 1 3222 =

1 0782 + 1 0792 + 1 0802

342 251 285 =

13 0812 + 13 0822 =

10 6802 + 10 6812 + 10 6822

Voir Suite  / Nombres consécutifs

 

 

INVERSE DES CARRÉS

 

 

Formules d'Euler

 

 

 

Autres

 

 

 

 

Voir Identité d'Euler  /  Euler / Progressions géométriques

 

 

CARRÉ ET CUBE à la fois

 

 

Un nombre carré et cube à la fois est de la forme 7k  ou 7k + 1.

 

Cette table donne toutes les valeurs pour n  1 million:

 

 

 

 

Voir Nombres 64 / 729  / 4 096

 

DEUX ENTRE CARRÉ ET CUBE

 

D'après Fermat, il n'existerait que 5 nombres entiers dont le carré augmenté de 2 donnerait un cube:

 

Exemples

  5² + 2 =   33

25  + 2 = 27

 

Il se trompait: il n'existe que cette seule solution à l'équation:

Y² + 2 = X3

 

Voir Équations diophantiennes

 

 

Devinette – Solution

Problème: Montrer qu'il n'existe aucun couple (x, y) tel que x² + 4y et y² + 4x soient des carrés; x et y sont des entiers positifs.

 

Exemple: x = 2  et y = 3.

Alors: x² + 4y = 16 = 4² et y² + 4y = 15 = 4² – 1.

Raté à une unité près (coquetterie: avec le même carré:4²).

C'est le seul exemple à 1 près.

Suivant, avec un écart de 3: x=3 et  y=4; x²+4y = 25 et y²+4x = 28.

 

Solution

On suppose que

On pose cette inégalité

Majoration de x par y

Majoration avec 4

Inégalité qui nous intéresse

Carré de chaque côté

Seule possibilité

En développant

Et en évaluant x

Le numérateur est impair,

non divisible par 4

Impossible

Retour

 

 

 

 

Suite

*    Les nombres carrés

*    Unité des carrés, cubes, et autres puissances

*    Carré magique avec des carrés

*    Écart entre carrés

Voir

*    Automorphiques

*    Carrés

*    Carrés – Somme pour nombres successifs

*    Carrés – Calcul mental

*    Chemin d'Euler

*    Cubes – Calcul mental

*    Cubes – Somme pour nombres successifs

*    Dualité

*    Exponentielle

*    Nombres géométriques

*    Partition & Addition

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*    Racines – Calcul

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*    Nombre 2

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