bNOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 26/10/2011

SOS je suis Débutant	-Ý- Rubrique: NOMBRES GÉOMÉTRIQUES					Glossaire Nombres Géométriques
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NOMBRES PYRAMIDAUX

Nombres figurés associés à la pyramide

à base triangulaire => Nombres tétraédriques

à base carrée => Nombres pyramidaux carrés

Correspond à l'empilement de boulets en couches sur une base triangulaire ou carrée.

Anglais: Tetrahedral numbers and square pyramid numbers

-Ý- NOMBRES PYRAMIDAUX

	Pyramidaux
Côté	Triangle ou tétraédrique	Carré
1	1	1
2	4	5
3	10	14
4	20	30
5	35	55
6	56	91
7	84	140
8	120	204
9	165	285
10	220	385
11	286	506
12	364	650
13	455	819
14	560	1 015
15	680	1 240
16	816	1 496
17	969	1 785
18	1 140	2 109
19	1 330	2 470
20	1 540	2 870
…
n	1/6 n(n+1)(n+2)	1/6 n(n+1)(2n+1)
	Attention: Formules proches!

-Ý- PROPRIÉTÉS des PYRAMIDAUX CARRÉS

Formule de calcul

Pycar_n = 1/6 n(n+1)(2n+1)

Conséquences:

§ Un parallélépipède de longueur 2n+1, de largeur n+1 et de profondeur n contient 6 pyramides carrées

§ Un nombre pyramidal carré étant un nombre entier

Tout produit de trois nombres cette sorte

est divisible par 6

Somme des carrés

§ Un nombre pyramidal carré est égal au cumul des nombres carrés

30 = 1 + 4 + 9 + 16

§ Chacun est égal à son prédécesseur plus le carré correspondant

30 = 14 + 16

Pycar_n = 1² + 2² + 3² + ... + n²

Voir Somme des carrés des nombres consécutifs

Carrés	Pyramidaux
1	1
4	5
9	14
16	30
Nombre de billes qu'il faut ajouter à une pyramide pour ajouter une rangée à la base de la pyramide	Cumul: nombre de billes dans la pyramide à base carrée Ou, SOMME des carrés successifs

Relations

Pycarn

= 1/6 n(n+1)(2n+1) = Tetn-1 + Tetn = 1/6 { (n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2) } = 1/6 n(n+1) { (n-1) + (n+2) } = 1/6 n(n+1) { 2n+1 } = 1/ 3 Tn x (2n+1) = 1/3 x 1/2 n(n+1) (2n+1)

Pycar4 = 4 x 5 x 9 / 6 = 30 = 10 + 20 = 10/3 x (2x4+1) = 30

-Ý- OCTAÈDRE

Il s'agit de deux pyramides à base carrée empilées l'une sur l'autre par leur base

Côté	Pyramide Carrée	Octaèdre
1	1	1
2	5	6
3	14	19
4	30	44
5	55	85

Formule de calcul

Octa_n = Pyra_n-1 + Pyra_n

= 1/3 n(2n² + 1)

Relation

Octa_n - Octa_n-1 = Cube centré

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-Ý-

Voir

§ Introduction aux nombres géométriques § Théorie des nombres géométriques § Théorie des nombres § Liste des noms des nombres § Partition § Géométrie