NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Nombres géométriques

Type Géométrique

 

Glossaire

Nombres géométriques

 

 

INDEX

Nombres Géométriques

 

Pairs / Impairs

Carrés

Cubes

Centrés

Proniques

Pentagonal et suite

Tétraédriques

Hex

Triangulaires

Grappes

Pyramidaux

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres pyramidaux

>>> Propriétés des pyramidaux carrés

>>> Nombres octaèdriques

>>> Nombres pyramide octogonale

 

 

 

 

NOMBRES PYRAMIDAUX

 

Nombres figurés associés à la pyramide

à base triangulaire => Nombres tétraédriques

à base carrée         => Nombres pyramidaux carrés

 

Correspond à l'empilement de boulets en couches sur une base triangulaire ou carrée (cannonball problem).

 

Anglais: Tetrahedral numbers and square pyramid numbers

 

 

NOMBRES PYRAMIDAUX

 

 

Tétraédrique (les 100 plus petits)

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925, 3276, 3654, 4060, 4495, 4960, 5456, 5984, 6545, 7140, 7770, 8436, 9139, 9880, 10660, 11480, 12341, 13244, 14190, 15180, 16215, 17296, 18424, 19600, 20825, 22100, 23426, 24804, 26235, 27720, 29260, 30856, 32509, 34220, 35990, 37820, 39711, 41664, 43680, 45760, 47905, 50116, 52394, 54740, 57155, 59640, 62196, 64824, 67525, 70300, 73150, 76076, 79079, 82160, 85320, 88560, 91881, 95284, 98770, 102340, 105995, 109736, 113564, 117480, 121485, 125580, 129766, 134044, 138415, 142880, 147440, 152096, 156849, 161700, 166650, 171700

 

Pyramidaux carrés (les 100 plus petits)

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201, 6930, 7714, 8555, 9455, 10416, 11440, 12529, 13685, 14910, 16206, 17575, 19019, 20540, 22140, 23821, 25585, 27434, 29370, 31395, 33511, 35720, 38024, 40425, 42925, 45526, 48230, 51039, 53955, 56980, 60116, 63365, 66729, 70210, 73810, 77531, 81375, 85344, 89440, 93665, 98021, 102510, 107134, 111895, 116795, 121836, 127020, 132349, 137825, 143450, 149226, 155155, 161239, 167480, 173880, 180441, 187165, 194054, 201110, 208335, 215731, 223300, 231044, 238965, 247065, 255346, 263810, 272459, 281295, 290320, 299536, 308945, 318549, 328350, 338350

 

 

 

24ème pyramidal

Le seul nombre pyramidal carré à être un nombre carré.

 

Autres carrés, somme de 24 carrés consécutifs:

  11 236 = 106² =   9² + 10² + … + 32²

  24 964 = 158² = 20² + 21² + … + 43²

  33 124 = 182² = 25² + 26² + … + 48²

  75 076 = 274² = 44² + 45² + … + 67²

184 900 = 430² = 76² + 77² + … + 99²

              Etc.

Voir Sommes de carrés consécutifs – Problème de Lucas

 

 

 

PROPRIÉTÉS des PYRAMIDAUX CARRÉS

Formule de calcul

Pycarn = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)

 

Pycarn = 1² + 2² + 3² + … + n²

Conséquences

 

 

Un parallélépipède de longueur 2n+1, de largeur n+1 et de profondeur n contient 6 pyramides carrées.

Un nombre pyramidal carré étant un nombre entier,

 

Tout produit de trois nombres de cette sorte est divisible par 6.

 

 

Somme des carrés

 

Un nombre pyramidal carré est égal au cumul des nombres carrés:

30 = 1 + 4 + 9 + 16.

Chacun est égal à son prédécesseur plus le carré correspondant

30 = 14 + 16.

 

Carrés

Pyramidaux

1

1

4

5

9

14

16

30

Nombre de billes qu'il faut ajouter à une pyramide pour ajouter une rangée à la base de la pyramide.

Cumul: nombre de billes dans la pyramide à base carrée.

Ou, SOMME des carrés successifs.

Voir Somme des carrés des nombres consécutifs

 

 

Relations

avec tétraédriques

 

 

Pycarn

= 1/6 n (n + 1) (2n + 1)

 

= Tetn-1 + Tetn

= 1/6 { (n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2) }

= 1/6 n(n+1) { (n-1) + (n+2) }

= 1/6 n(n+1) { 2n+1 }

 

= 1/ 3 Tn x (2n+1)

= 1/3 x 1/2 n(n+1) (2n+1)

 

Pycar4

= 4 x 5 x 9 / 6 = 30

= 10 + 20

= 10/3 x (2x4+1)

= 30

 

 

Nombres OCTAÈDRIQUES

Définition

 

Il s'agit de deux pyramides à base carrée empilées l'une sur l'autre par leur base.

 

Formule de calcul

Octan = Pyran-1 + Pyran  = 1/3 n (2n² + 1)

Relation

Octan – Octan-1 = Cube centré

Liste

 

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, 1469, 1834, 2255, 2736, 3281, 3894, 4579, 5340, 6181, 7106, 8119, 9224, 10425, 11726, 13131, 14644, 16269, 18010, 19871, 21856, 23969, 26214, 28595, 31116, 33781, 36594, 39559, 42680, 45961, 49406, 53019, 56804, 60765, 64906, 69231, 73744, 78449, 83350, 88451, 93756, 99269, 104994, …

 

 

Nombres pyramide octogonale

Définition

Empilement en pyramide sur base octogonale.

Formule de calcul

Liste

 

1, 9, 30, 70, 135, 231, 364, 540, 765, 1045, 1386, 1794, 2275, 2835, 3480, 4216, 5049, 5985, 7030, 8190, 9471, 10879, 12420, 14100, 15925, 17901, 20034, 22330, 24795, 27435, 30256, 33264, 36465, 39865, 43470, 47286, 51319, 55575, 60060, 64780, 69741, 74949, 80410, 86130, 92115, 98371, 104904, …

 

Programme Maple

Voir ProgrammationIndex

 

 

Nombres Maisons

Définition

Cube surmonté d'une pyramide (à base carrée).

Formules de calcul

Exemple n = 3

H(3) = 43 + (3 x 4 x 7) / 6 = 64 + 14 = 78

Liste des 100 plus petits

 

1, 9, 32, 78, 155, 271, 434, 652, 933, 1285, 1716, 2234, 2847, 3563, 4390, 5336, 6409, 7617, 8968, 10470, 12131, 13959, 15962, 18148, 20525, 23101, 25884, 28882, 32103, 35555, 39246, 43184, 47377, 51833, 56560, 61566, 66859, 72447, 78338, 84540, 91061, 97909, 105092, 112618, 120495, 128731, 137334, 146312, 155673, 165425, 175576, 186134, 197107, 208503, 220330, 232596, 245309, 258477, 272108, 286210, 300791, 315859, 331422, 347488, 364065, 381161, 398784, 416942, 435643, 454895, 474706, 495084, 516037, 537573, 559700, 582426, 605759, 629707, 654278, 679480, 705321, 731809, 758952, 786758, 815235, 844391, 874234, 904772, 936013, 967965, 1000636, 1034034, 1068167, 1103043, 1138670, 1175056, 1212209, 1250137, 1288848, 1328350, 1368651

 

Anglais: House numbers

 

 

 

Suite

*    Pair et impairs

*    Voir haut de page

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*    Pyramide des âges

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Nombres géométriques

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*    Théorie

Aussi

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*    Nombres pyramides (ou en triangle)

*    Partition

*    Somme de carrés consécutifs = carré

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Site

*    Sum of Consecutive Nth Powers Equals an Nth Power – MathPages

*    OEIS A002414 – Octagonal pyramidal numbers: a(n) = n*(n+1)*(2*n-1)/2

*    OEIS A051662 - House numbers: a(n) = (n+1)^3 + Sum_{i=1..n} i^2

*    House numbers – Numbers Aplenty

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