NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Rubrique

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Introduction

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Briques

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Avec un carré

 

Sommaire de cette page

>>> Types

>>> Table

>>> Infinité

>>> Quantité

>>> Soustraction

>>> Divisibilité

>>> Démonstrations

 

 

 

 

 

Triplets de Pythagore

PROPRIÉTÉS

 

 

*       Il en existe une infinité; (3, 4, 5) est le plus petit.

*       Nombreuses propriétés de divisibilité

(3, 4, 5) est représentatif:

2 impairs et un pair

divisibilité par 3, 4 et 5

divisibilité du produit par 60

 

*       Amusement

(3, 4, 5) en le multipliant par 10 et 11 donne

30² + 40² = 50²

33² + 44² = 55²

 

 

 

Nomenclature des triplets de Pythagore

 

Composé

Primitif

Jumeaux

Triplé

Couple

jumeaux

Par l'hypoténuse

Par les côtes

6, 8, 10

33, 56, 65

5, 12, 13

20, 21, 29

3, 4, 5

16, 63, 65

33, 56, 65

>>>

>>>

>>>

>>>

>>>

 

 

Autour des triplets de Pythagore / Moyenne quadratique

 

 

TABLE

 

Liste des triplets (a,b,c) tels que  a² + b² = c²     avec c   100

 

 

      (3,4,5),   (5,12,13),     (6,8,10),   (7,24,25),   (8,15,17),   (9,12,15),   (9,40,41), (10,24,26), (11,60,61), (12,16,20), (12,35,37), (13,84,85), (14,48,50), (15,20,25), (15,36,39), (16,30,34), (16,63,65), (18,24,30), (18,80,82),  (20,21,29), (20,48,52), (21,28,35), (21,72,75), (24,32,40), (24,45,51), (24,70,74), (25,60,65), (27,36,45), (28,45,53), (28,96,100), (30,40,50), (30,72,78), (32,60,68), (33,44,55), (33,56,65), (35,84,91), (36,48,60), (36,77,85), (39,52,65), (39,80,89), (40,42,58), (40,75,85), (42,56,70), (45,60,75), (48,55,73), (48,64,80), (51,68,85), (54,72,90), (57,76,95), (60,63,87), (60,80,100), (65,72,97)

 

Il y en a 50 pour c < 100 et 2 pour c= 100: total 52.

Il y a 16 primitifs pour c < 100

Suite jusqu'à 500

 

Voir Illustration de la répartition / Comment les créer / Tables

 

 

INFINITÉ triplets de Pythagore & triplets primitifs

 

Si j'en ai un, je peux en construire une infinité d'autres

 

*      Il suffit de multiplier tous les termes d'un triplet de Pythagore par un nombre entier quelconque pour en trouver d'autres.

 

(a, b, c) <=> (k.a, k.b, k.c)

car a² +  b² = c² <=> k².a² + k².b² = k².c²

 

3, 4, 5

donne

3² + 4² = 5²

soit

9 + 16 = 25

x 2

6² + 8² = 10²

 

36 + 64 = 100

x 3

9² + 12² = 15²

 

81 + 144 = 225

 

*      Le triplet le plus petit possible est dit primitif

*      C'est celui pour lequel les trois nombres sont étrangers.

 

 

Avec deux ou trois nombres

 

*      Avec deux nombres quelconques (u et v), il est possible de former un triplet:

( a, b, c) = ( - , 2uv, + )

 

*      Avec un triplet utilisé comme point de départ, il existe trois possibilités de prolonger la construction d'autres triplets en nombre infini:

(A, B, C) = (a, b, c) M

 

Différence de 1

*      Infinité de cas: en partant de n, il est possible de calculer le triplet suivant

n => ( n,  ½ (n² - 1),  ½ (n² + 1)  )

 

Différence de 2

*      Infinité de cas: en partant de n, il est possible de calculer le triplet suivant

n, n + 1, n - 1 => M, N, O

*      Qui correspond au cas u = n et v = 1 de la formule générale.

 

 

 

 

QUANTITÉ

 

*      La quantité de triplet primitif dont l'hypoténuse est inférieure à H est donné par la formule limite suivante

 

 

*      Dit autrement, la quantité multipliée par 2  donne l'hypoténuse maximum

Note:  ½  = 0,159 154 9…

 

Prouvé par Lehmer (1900)

 

 

Tableau: quantité de triplets

a et b

c

Total

Primitif

H / 2

 

< 25

6

3

3,9

< 25

 

11

5

 

 

< 100

50

16

15,9

< 100

 

63

18

 

 

< 1000

878

158

159

< 1000

 

1 034

179

 

 

< 10 000

12 467

1 593

1 591

< 10 000

 

14 474

1 788

 

 

Un triplet (a, b, c) unique

(a, b, c) = (b - 1 , b , b + 1)

b² - 2b +1 + b² = b² + 2b + 1

b² = 4b

b = 0 ou b = 4

b = 4 est l'unique solution

 

*      Ce triplet est générateur de tous les triplets de Pythagore.

 

 

 

SOUSTRACTION

 

Si la différence entre deux carrés est un carré, la somme et la différence des nombres est un carré ou le double d'un carré.

 

Exemple

 

 

DIVISIBILITÉ

 

Tout triplet

*      a ou b        est divisible par   3 (un seul)

*      a ou b        est divisible par   4 (un seul)

*      c                 divisé par 4 donne un reste de 1 (= 1 mod 4)

*      a , b ou c   est divisible par   5 (un seul)

*      a , b , (a+b) ou (a-b) est divisible par   7 (un seul)

*      a . b           est divisible par 12

*      a . b /2       est divisible par   6 (aire du triangle) – cf. propriété précédente

*      a . b . c      est divisible par 60

*      a ou b        un seul au plus peut être un carré

*      c                 est le produit de premiers du type 4k+1

 

Triplets primitifs

*      a est pair et b impair, ou l'inverse. >>>

*      c est toujours impair.

*      a, b, c sont étrangers deux à deux (aucun diviseur en commun).

PGCD(a,b) = PGCD(a,c) = PGCD(b,c) = 1

 

Exemples de triplets primitifs

  3         4         5

  5       12       13

  8       15       17

  7       24       25

20      21       29

12      35       37

  9       40       41

 

Formulation des principales propriétés du triplet primitif

 

Si (a,b,c) est un triplet primitif de Pythagore, alors :

*      a ou b est pair (disons b)

*      a et c sont impairs

*      b = 0 mod 4

*      c = 1 mod 4

*      l'un de a ou b = 0 mod 3

*      un seul de a, b ou c = 0 mod 5

 

Voir Tableau des propriétés

 

 

 

 

 

Démonstrations

 

Démonstration: a , b et c ne sont pas tous impairs

*       Supposons qu'ils soient tous impairs

a = 2k  + 1

b = 2n  + 1

c = 2m + 1

*       L'égalité devient

(2k+1)² + (2n+1)² = (2m+1)²

4k² + 4k + 1 + 4n² + 4n + 1

                = 4m² + 4m + 1
4(k² + k + n² + n - m² - m + 1) = 3

*       Égalité impossible car 3 ne divise pas 4
Il existe au moins un pair parmi a, b et c

4.K  3

 

Démonstration: a pair, b impair et c impair

                      ou  a impair, b pair et c impair

*       Si a et b étaient pairs.

Contradiction par rapport à l'hypothèse

Donc l'un des deux est impair.

a et b aurait un diviseur commun (2 ou 2.k)

Or le triplet est primitif: a et b n'ont pas de diviseur commun

*       Si a est impair.

Le carré de a divisé par 4 donne 1 pour reste.

a = 2n+1

a² = 4n² + 4n + 1

a² = 1 mod 4

*       Si b est aussi impair.

 

*       Et, qui vaut a² + b²

est un nombre pair.

a² = b² =  1 mod 4

 

c² = 1 + 1 mod 4  = 2 mod 4

*       Or si c est pair.
Et si c est impair.

c² mod 4 donne 0 ou 1, jamais 2

c² = (2m)²  = 4m²  = 0 mod 4

c² = 4m² + 4m + 1 = 1 mod 4

*       Bilan

a et b ne sont tous deux impairs.

or l'un est impair.

a est pair

b est impair

ou

a est impair

b est pair

*       Quant à c

c selon l'égalité.

Selon la parité de c.

c pair donne.

c impair donne.

c² = a² + b² = 0 + 1 mod 2 = 1 mod 2

 

c² = (2n)² = 4n² = 0 mod2

c² = (2n+1)² = 1 mod 2

*       Conclusion =>

c est impair

 

Autre idée de la même démonstration

*       Si a et b étaient impairs:

 

L'équation de Pythagore s'écrit =>

a = 2n+1 et b = 2m+1

 

a² + b² = c²

(2n+1)² + (2m+1)² = c²

4n² + 4n + 1 + 4m² + 4m + 1 = c²

4 (n² + n + m² + m) + 2 = c²

*       Cette expression de montre que est pair.

pair implique c pair.

 

c = 2k

*       Revoyons l'égalité:

Le terme de droite est divisible par 4.

Celui de gauche ne l'est pas.

Contradiction!

Hypothèse de départ fausse.

 

4 (n² + n + m² + m) + 2 = 4k²

 

a et b se sont pas impairs à la fois

 

Démonstration: a ou b divisible par 4

*       Supposons que a soit le côté impair.

Alors b est impair,

et c est impair.

a = 2k

b = 2n+1

c = 2m+1

*       Évaluons =>

a² = c² - b²

4k² = 4m² + 4m + 1 - 4n² - 4n - 1

4k² = 4 (m² + m - n² - n)

 k² =      m² + m - n² - n

 k² = m (m+1) - n(n +1)

*       est la différence de deux nombres impairs.

Cette différence est paire.

pair implique k pair.

 

k² = impair - impair

k² = pair

k = pair = 2h

*       Reprenons la relation entre a et h.

a = 2k = 2.2h = 4h

*       Conclusion =>

a est divisible par 4

 

Démonstration: a, b ou c divisible par 3

*       Divisibilité  de n par 3 et de n².

Le reste de la division par 3 est 0, 1 ou 2.

Le reste de la division d'un carré est 0 ou 1.

Divisible par 3

n = 0 mod 3 => n² = 0 x 0 = 0 mod 3

Non divisible par 3

n = 1 mod 3 => n² = 1 x 1 = 1 mod 3

n = 2 mod 3 => n² = 2 x 2 = 4 = 1 mod 3

*       Non divisibilité par 3.

Le reste de la division par 3 et 1 ou 2.

Le reste de la division d'un carré est  1.

*       Supposons que ni a ni b ni c ne soit divisible par 3.

Avec la propriété des carrés =>

 

a² + b² = 1 + 1 = 2 mod 3

 

*       Ce qui est impossible,

aucun carré n'a 2 comme reste en le divisant par 3.

¹ 2 mod 3

*       L'hypothèse ne tient pas.

L'un des termes au moins est divisible par 3.

a, b ou c divisible par 3

Voir Calcul avec les pairs et impairs

 

Démonstration: a . b . c divisible par 60 donc par 3, par 4 et par 5

Supposons le triplet primitif, sans perte de généralité. Les autres sont obtenus par multiplication de ceux-ci.

a, b, c

 

Notons que le triplet célèbre (3, 4, 5) forme un produit déjà égal à 60.

Et aussi que (3, 4 et 5) sont premiers entre eux.

 

Si p et q sont générateurs de triplets de Pythagore, alors

a = 2pq

b = p² – q²

c = p² + q²

Écriture du produit

abc = (2pq) (p² – q²) (p² + q²)

       = 2pq (p4 – q4)

Divisibilité par 4

Or 2pq est divisible par 4, sauf si p et q sont tous deux impairs, alors p² + q² est divisible par 2.

 

abc est divisible par 4

Divisibilité par 3

 

Voir Congruences

si p ou q  0 mod 3   abc   o mod 3

si p et q  mod 3  p² et q²  1 mod 3

   et (p² – q²) 0 mod 3   abc   o mod 3

 

abc est divisible par 3

Divisibilité par 5

si p ou q  0 mod 5   abc   o mod 5

si p et q  mod 5  p4 et q4  1 ou 16 mod 5, équivalent à 1 mod 5

   et (p4 – q4) 0 mod 5   abc   o mod 5

 

abc est divisible par 5

 

 

 

Suite

*   Historique

*    Triplets primitif

*    Cercle unité

*    Cercle inscrit dans un triangle de Pythagore: son rayon est entier

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    Pythagore - Biographie

Sites

*      Pythagorean Triple de Eric Weisstein

*      D'autres démonstrations sur le site de Fred Curtis

Cette page

*      http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/TripProp.htm