NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

CONSÉCUTIFS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Consécutifs

 

Introduction

Carrés

Somme  = carré

Produit-Carré

Entiers

Puissances

Palindrome

Quantité

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres somme de carrés consécutifs deux fois

>>> Avec des cubes ou des puissances quatrièmes

>>> Somme de cinq carrés consécutifs

>>> Somme de 3, 4, 5, 6 carrés consécutifs

>>> Calcul de la somme de plusieurs nombres consécutifs au carré

>>> Table des carrés

>>> Récapitulatif pour les carrés

>>> Récapitulatif pour les cubes

>>> Puissances

 

 

 

 

 

CARRÉS et PUISSANCES

& Nombres CONSÉCUTIFS

 

Somme des carrés des nombres consécutifs.

En partant de 1, ce sont les nombres pyramidaux carrés:

 

1² + 2² + 3² = 14

1² + 2² + 3² + 4² = 30

1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55

Pour commencer une propriété stupéfiante, mais qui s'explique très bien.

 

 

 

Nombres somme de carrés consécutifs deux fois

 

Égalité sans fin entre somme de carrés

http://villemin.gerard.free.fr/Magie/pepite_fichiers/image060.jpg

Voyons cela:

Somme de deux carrés de nombres consécutifs = carré.

 

Le nombre central est 4 avec 3 carrés.

 

Mise en équation

(n – 1)² + n² = (n + 1)²

– 2n + 1 + n² = + 2n + 1

n² – 4n = n(n – 4) = 0  => n = 0 ou 4

 

Seule solution non triviale:

3² + 4² = 5² = 25

 

Somme de trois carrés de nombres consécutifs = somme de deux carrés.

 

 

Le nombre central est C = 12 avec 5 carrés.

Le nombre 5 est impair: 5 = 2k + 1 avec k = 2

Avec k, on a:
C= 12 = 2x2 x 3 = 2k (k + 1) 

 

(n – 2)² + (n – 1)² + n² – (n + 1)² – (n + 2)² = 0

– 4n + 4 + n² – 4n + + 4n + 4 = 0

 

Les termes extrêmes du développement des nouveaux carrés s'éliminent. Seuls subsistent les termes centraux en 4n.

n² – 4n – 4n – 4n = 0

n² – 12n = 0

n = 12

 

Seule solution non triviale:

10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365

 

Somme de quatre carrés …

Avec k = 3, on a:
C = 24 = 2k (k + 1)
    =  2 x 3 x 4 

 

(n – 3)² + n² – 12n – (n + 3)² = 0

n² – 12n – 6n – 6n = n² – 24n = 0

 

21² +22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27² = 2 030

 

Somme de 2k + 1 carrés …

Avec k, on a
C = 2k (k + 1)

(C – k) + … + = (C + 1)² + … (C + k)²

 

Les 10 premières égalités de sommes de carrés successifs

Si C est le nombre central, il y a autant de nombres de chaque côté de C.

 

Note: on aurait bien évidemment les mêmes résultats en progressant de 2 en 2 ou de r en r.

Ex: r = 2 :  20² + 22² + 24² = 26² + 28²  ; r = 3 :  30² + 33² + 36² = 39² + 42².

 

 

Programme Maple

Redémarrage

Boucle d'analyse avec k prenant successivement les valeurs de 1 à 5.

Calcul du nombre central C et des deux sommes

La première somme se lit: additionner les termes C – 1 + i pour toutes les valeurs de i allant de 0 à k.

Imprimer les bornes de l'égalité, et les deux sommes. On vérifie qu'il s'agit bien de la même somme.

Fin de boucle avec do (faire) à l'envers.

 

Impression du résultat de traitement en bleu.

 

Voir Triplet de Pythagore le plus célèbre / Pépites / Table des sommes de carrés de nombres consécutifs /

Triplets de Pythagore dont la somme des deux termes est un carré

 

 

Avec des cubes ? Puissance  4 ?

 

Il n'est pas possible de reproduire la même histoire avec des cubes.

(n – 1)3 + n3 – (n + 1)3 = n3 – 6 n2 – 2 = 0, avec la racine réelle:

 

En effet: 5,054553 + 6,054553 = 7,054553 = 351, 081 …

 

Même topo avec la puissance 4

(n – 1)4 + n4 – (n + 1)4 = n4 – 8 n3 – 8n = 0, avec la racine réelle (outre 0):

 

En effet: 7,12124 + 8,12124 = 9,12124 = 6 921,622…

 

Merci  à Maurice-Denis F. pour m'avoir rappelé cette magnifique suite d'égalités

 

 

CALCUL de la somme de plusieurs

 nombres consécutifs au carré

 

Notation

 

du produit de deux nombres consécutifs

 

n   .

(n + 1)

=   p

(n – 1)

.     n

 

=   p'

 

de jusqu'à cinq nombres consécutifs

n – 1

n

n + 1

n + 2

n + 3

 

 

 

Sommes de 2, 3 ou 4 carrés

 

Somme des carrés de deux termes consécutifs

 

(n – 1)²

+ n²

 

 

 

 

 

= n² - 2n + 1 + n²

= 2n² - 2n + 1

 

 

 

= 2 n (n-1) + 1

= 2 p' + 1

 

Ex: 3² + 4² = 2 x 12 + 1 = 25

 

 

Somme des carrés de trois termes consécutifs

 

(n – 1)²

+ n²

+ (n + 1)²

 

 

 

 

= n² - 2n + 1 + 2n² + 2n + 1

 

 

 

= 3n² + 2

 

Ex: 3² + 4² + 5² = 3 x 16 + 2 = 50

 

 

Somme des carrés de quatre termes consécutifs

 

(n – 1)²

+ n²

+ (n + 1)²

+ (n + 2)²

 

 

 

 

 

= 3n² + 2 + n² + 4n + 4

= 4n² + 4n + 6

 

 

 

= 4 n (n+1) + 6

= 4 p + 6

 

Ex: 3² + 4² + 5² + 6² = 4 x 20 + 6 = 86

 

 

 

 

Sommes de 5, 6 ou 7 carrés

 

Somme des carrés de cinq termes consécutifs

 

(n – 1)²  + n²  + (n + 1)²  + (n + 2)²  + (n+3)²

 

 

 

= 5 (n+1)² + 10

 Ex: 3² + 4² + 5² + 6² + 7² = 5 x 5² + 10 = 135

 

Présentation symétrique 

(n – 2)²  + (n – 1 )²  + n²  + (n + 1)²  + (n+2)²

 

 

 

= 5 (n² + 2)

 Ex: 3² + 4² + 5² + 6² + 7² = 5 x (5² + 2) = 135

 

Somme des carrés de six termes consécutifs

(n – 2)²  + (n – 1 )²  + n²  + (n + 1)²  + (n+2)² + (n+3)²

 

 

 

= 6p + 19

 Ex: 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² = 6 x (5x6) +19 = 199

 

Somme des carrés de sept termes consécutifs

(n – 3)² +  (n – 2)²  + (n – 1 )²  + n²  + (n + 1)²  + (n+2)² + (n+3)²

 

 

 

= 7n² + 28

 Ex: 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² = 7 x 6² + 28 = 280

 

 

Voir Identités remarquables

 

 

 

Récapitulatif pour les carrés

 

 

Voir  TABLES

 

Voir Partition en carrés

 

 

Récapitulatif pour les cubes

 

 

 

Voir  TABLES

 

Voir Partition en cubes

 

 

 

PUISSANCES

 

Principe

 

Somme des puissances des nombres consécutifs à partir de 1.

 

Exemple pour une quantité de 3 termes

1² + 2² + 3² = 14

13 + 23 + 33 = 36

14 + 24 + 34 = 98

Table

 

Suite en Table des puissances et leurs sommes  

 

 

 

 

Retour

*    Nombres consécutifs

Suite

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*    Produit de consécutifs = carré ?

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Voir

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Voir

*    Carrés

*    Puissances - Index

*    Nombre pyramide

*    Somme des entiers, carrés …

*    Somme des entiers, carrés, puissances

Site

*    Miracle equation – Tanya khovanova

*    Num63R5 – Abtruse Goose – Humour

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