NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Mathématiques

>>> Maths ou calcul

>>> Géométrie

>>> Arithmétique

>>> Algèbre

>>> Analyse

>>> Logique

>>> Probabilités / Statistiques

 

 

 

 

 

DOMAINES MATHÉMATIQUES

Approche et définitions

 

 

 

S’interroger sur l’utilité des mathématiques, c’est aussi absurde que de se demander à quoi sert un couteau. Mais pourtant vous vous servez plus des mathématiques dans une journée que d’un couteau !

Cédric Villani

 

Comment se fait-il qu'il y ait des gens qui ne comprennent pas les mathématiques?                                                   Henri Poincaré

 

En mathématiques les idées simples arrivent en dernier.

Jacques Hadamard

 

Définition mathématique d'une femme: C'est un ensemble de courbes qui font redresser une ligne.

 

A l'école, quels sont les deux cours préférés des garçons ?

Maths et dessin (mater des seins).

 

Le physicien traite les problèmes du véhicule à une roue (la brouette), à deux roues (tilbury ou bicyclette), à trois, à quatre roues. Le mathématicien traite le problème général du véhicule à n roues, n étant entier ou fractionnaire, positif ou négatif, réel ou imaginaire.

Henri Bouasse

 

Un garçon se présente chez le pharmacien. Il demande la dernière nouveauté: la pilule qui lui donne instantanément la connaissance de l'anglais. Constatant que cela marche superbement bien, il poursuit avec l'histoire, la géographie et même la physique. Quand vient la demande pour les mathématiques. Alors, le pharmacien part dans son arrière-boutique et revient avec une énorme pilule et la pose sur le comptoir. – Je dois prendre cette énorme pilule pour les maths ? dit l'étudiant. Eh bien oui! Vous savez-bien que les maths ont toujours été un peu dures à avaler.

 

Voir Pensées & humour / Autres citations / Crises

 

 

 

 

MATHÉMATIQUES

Science des êtres abstraits et de leurs relations

 

*    Mathêma  (grec) signifie à la fois connaissance et science, ce qui est enseigné.

*    À ce titre la musique a longtemps fait partie des mathématiques tout comme la philosophie ou la géométrie.


À aucune époque les mathématiciens n’ont été entièrement d’accord sur l’ensemble de leur science que l’on dit être celle des vérités évidentes, absolues, indiscutables, définitives.          Henri Lebesgue

 

Les mathématiques sont la seule science où on ne sait pas de quoi on parle ni si ce qu'on dit est vrai.

Bertrand Russell (Mathématicien, philosophe, et …doué d'humour!)

 

 

*    Les mathématiques sont des discours (des ensembles d'énoncés)
proposés dans certains cadres
(à préciser)
d'où sont exclues toutes contradictions.

Conséquences

Les mathématiques ne visent pas la vérité absolue; Elles visent la cohérence.

*     Ensemble des disciplines mathématiques, considérées en ce qu'elles sont supposées former un tout organique.

 

Trois faces:

 

Jeu de construction logique;

 

Collection de modèles abstraits de situations concrètes; et

 

Boîte à outils pour résolution de problèmes divers.

Voir Jeu avec les lettres du mot mathématiques / Français et maths / Maths modernes /  Débutants

Biblio:  André Deledicq – Maths Lycée – Édition de la cité – 1998

Excellent tour d'horizon complet et agréablement illustré

 

 

ça CHange des Maths

Contrepèterie

Voir Pensées & humour

 

 

Maths ou calcul?

Il n’y a mathématiques que lorsqu’il y a démonstration …

…sinon, il ne faut parler que de calcul

Initiation: on peut apprendre, par exemple, que les diagonales des carrés ou des rectangles sont égales, mais sans le démontrer.

 

Démonstrations: apprentissage au collège à partir de la 5e.

Le calcul est appris en primaire. Il s'agit de maitriser les quatre opérations.

 

Que ce soit dans la vie de tous les jours ou pour exercer une profession, le calcul est toujours nécessaire, mais la tâche est grandement facilitée avec l'utilisation des calculateurs et des ordinateurs.

Humour

Pensée

On fait parfois l'analogie avec la littérature (maths) et l'orthographe (calcul). L'un est le mode opératoire pour pratiquer l'autre. En poussant la comparaison, on note qu'on peut être doué en maths sans être bon en calcul. 

Voir Méthode Singapour pour l'apprentissage du calcul

 

 

 

Le poète espagnol ne faisait-il pas dire au roi astrologue:

Ya sabéis que son las ciencias

que más curso y más estimo,

matemáticas sutiles,

por quien al tiempo le quito...

Vous savez que les sciences

que je cultive et estime le plus

sont les mathématiques subtiles,

grâce auxquelles je ravis au temps son office...

Jean-Michel Bismut, Vice-Président de l'Union Mathématique Internationale en 2006

 

La langue des maths

Les symboles qui remplissent les livres que je contemplais étant enfant sont des raccourcis pour des idées qui peuvent être exprimés en détail. Mais si ces raccourcis sont très efficaces, ils sont aussi ce qui contribue tant à rendre les mathématiques impénétrables. C'est comme une tour de Babel où chaque nouvel étage accouche d'une nouvelle langue. Et si vous sautez un étage dans votre ascension de la tour mathématique, vous êtes de plus en plus perdu parce que vous ne savez absolument pas de quoi parlent les gens quand ils utilisent les mots ou la notation créés à l'étage que vous avez manqué.

La symétrie ou les maths au clair de Lune – Marcus du Sautoy

– Héloïse d'Ormesson – 2012 – page 297

 

Maths au fil de l'eau

Les mathématiques, eh bien, c'est comme de l'eau qui coule (…). Bien sûr, il y a dedans plein de théories compliquées, mais les raisonnements de base sont parfaitement simples. Tout comme l'eau coule en suivant la ligne la plus courte possible, du haut vers le bas, le cours des chiffres n'a qu'un seul sens. Si tu le regardes bien, ce chemin t'apparaît de lui-même. Il suffit de bien le fixer. Sans rien faire. Si l'on se concentre en gardant son regard rivé dessus, il se dévoile entièrement, très clairement. Dans ce monde, rien n'a été aussi prévenant à mon égard, en dehors des mathématiques.

Haruki Murakami – 1Q84 – Belfond – 2011 – page 89

 

 

Nature des maths

Omniprésentes dans les sciences et les technologies, les mathématiques sont parvenues à décrypter les orbites elliptiques des planètes, à prédire la découverte du boson de Higgs ou à faire atterrir le robot Curiosity sur Mars. De tout temps, l'homme, en quête de cycles et de motifs, les a utilisées pour explorer le monde physique et pour comprendre les règles de la nature, du nombre de pétales de fleurs (répondant à des «suites") à la symétrie de notre corps. La réalité possède-t-elle une nature mathématique inhérente ou les mathématiques sont-elles des outils précieux créés par l'esprit humain?

Reisz Richard – Le grand mystère des mathématiques – Vidéo (52 min)

 

Les maths en 2015

Source: Le nerf de la guerre, c'est les maths! – YannVerdo – Les Échos – 30/10/2016

Voir ÉconomieIndex

 

 Mathématiques intuitionnistes

Elles laissent une part au hasard.

*    Une proposition est vraie, fausse ou indéterminée

Elles figent le temps

*    Un nombre réel, habituellement composé d'une infinité de décimales, ici s'arrête à l'instant temps T.

*    L'infini n'existe pas.

Un outil plus propice à comprendre la physique quantique ?

Proposé par le physicien Nicolas Gisin de l'UNIGE  - Techno-Science.net – 09/12/2020

 

 

Humour

Les profs de maths anglais aiment enseigner en présence d'un arbre particulier: le Jerome-tree (géométrie).

What is a math teacher's favorite type of tree ? A Jerome-tree.

Voir Pensées et Humour / Prénoms amusants

 

Principales branches des mathématiques

Branches of mathematics, areas of mathematics, fileds of mathematics

 

Français

Anglais

Notions étudiées

Logique

Logic

Raisonnement sur des objets mathématiques.

Théorie des groupes

Group theory

Structure algébriques basées sur symétries et transformations.

Arithmétique

Arithmetic

Calculs élémentaires avec des nombres.

Théorie des nombres

Number theory

Propriétés des nombres de toute nature.

Algèbre

Algebra

Calcul littéral sur polynômes et équations.

Analyse

Analysis

Calcul infinitésimal: intégration, dérivation, limite, continuité, séries …

Géométrie

Geometry

Mesures sur espaces et formes.

Trigonométrie

Trigonometry

Mesure dans les triangles.

Topologie

Topology

Espaces mous et formes caoutchoucs.

Combinatoire

Combinatorics

Dénombrement.

Probabilités

Probability

Loi du hasard. Évaluation numérique du probable.

Statistiques

Statistics

Recherche d'ordre dans un ensemble de données collectées.

Algorithmique

Algorithmics

Résolution automatisée de problèmes.

Mathématiques computationnelles

Computational mathematics

Calculs avec les ordinateurs: méthodes de calcul numérique ou symbolique.

Théorie des jeux

Game theory

Interactions stratégiques entre "joueurs" dits agents.

Dynamique

Dynamics

Évolutions des systèmes. Étude du mouvement.

Mathématiques appliquées

Applied mathematics

Outils mathématiques destinés à l'ingénierie et aux sciences. 

Mathématiques nouvelles

New  mathematics

Unification des différentes disciplines en une science entièrement déductive, formelle et axiomatisée, nommée la mathématique (au singulier).

 

 

GÉOMÉTRIE – Mesure de la terre

Du grec geômetrês: géomètre, arpenteur

de gê: terre et métron: mesure

=> science de la mesure du terrain.

 

Géométrie: science de toutes espèces d'espace.   Kant (1724-1804)

 

La géométrie n'est pas faite pour être apprise, elle est faite pour être utilisée. Seymour Papert (1926-)

 

*     Science des figures de l'espace.

*    Études des relations entre points, droites, courbes, surfaces et volumes.

 

*    Devenue l'étude des invariants de groupes divers, dont les éléments sont appelés: points

 

L'une des plus anciennes branches des mathématiques: arpentage sur les bords du Nil.

Faits historiques de géométrie classique

*    Les Éléments d'Euclide

*    Le théorème de Thalès

*    Mesure du méridien terrestre par Ératosthène

 

Puis vinrent les géométries non euclidiennes.

 

La géométrie bénéficie des apports de l'algèbre à partir du XVIIe siècle, et des apports de l'analyse à partir du XIXe siècle.

 

*    Définitions en géométrie

*    Éléments de base: point, droite …

*    Géométrie - Glossaire

*    Géométrie - Table des matières

 

 

ARITHMÉTIQUE

Science des opérations avec les nombres

Du grec arithmetike: de arithmos,  nombre, et techne, qui est relatif à un art ou à une compétence.

 

Tout est nombre.     Pythagore (vers 570 / 480 av. J.-C.)

 

Dieu a créé les nombres entiers.

Tout le reste est l'œuvre de l'homme.    Kronecker (1823 – 1891)

 

L'arithmétique n'est pas fondée sur la raison. C'est la doctrine de la raison qui est fondée sur l'arithmétique élémentaire. Avant de savoir compter, je ne savais guère ce qu'était la raison.

G. Bachelard (18884-1962)

 

L'arithmétique, c'est être capable de compter jusqu'à vingt sans enlever ses chaussures.      Walt Disney

 

*     Études

*       des nombres entiers et des autres nombres,

*       des relations entre eux, et

*       des techniques ou opérations permettant de les manipuler.

 

*    Partie de la théorie des nombres

 

L'arithmétique faisait partie de la géométrie des Grecs anciens: études des nombres figurés.

L'adoption de  la numération de position à base dix fait réaliser d'immenses progrès, même si

*      la base   2 est universelle pour les ordinateurs,

*      la base 12 subsiste pour les heures,

*      la base 60 pour les angles et les durées en minutes et secondes.

Exemples d'études arithmétiques:

*      Nombres premiers et théorème fondamental de l'arithmétique

*      Nombres parfaits                    Pythagore

*      Nombres pairs                        Goldbach

*      Somme de puissances          Fermat

*      Etc.

*    Arithmétique – Glossaire  

*    Calcul – Opérations

*    Calcul et calcul mentalIndex

*    Arithmétique / théorie des nombresIndex

*    Arithmétique de Peano

*    Arithmétique à virgule flottante

*    Arithmétique à niveau d'index symétrique

*    Nombres Débutants

 

Humour

L'amour et l'arithmétique c'est pareil!

D'abord des Bézout, puis on s'envoie Euler dans Lagrange. Et tout ça finit par des Gauss.

Alzèbre: une sorte de cheval sur lequel on peut compter.

D'après Pascal Légitimus

Voir Pensées & humour

 

 

ALGÈBRE

Science des équations, du calcul littéral

De l'arabe: al-jabr, réunion de parties cassées >>>

 

L'arithmétique privilégie le raisonnement tandis que l'algèbre donne des outils de résolution systématique des problèmes.

 

L'algèbre ressemble à un tunnel; vous passez sous la montagne, sans vous occuper des villages et des chemins tournants; vous êtes de l'autre côté, et vous n'avez rien vu. Alain (1868-1961)

Arithmétique! algèbre! géométrie! trinité grandiose! triangle lumineux! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé! (Arithmetic! Algebra! Geometry! Grandiose trinity! Luminous triangle! Whoever has not known you is without sense!) Les chants de Maldoror (1869) - Comte de Lautréamont.

As long as algebra is taught in school, there will be prayer in school. (Tant qu'il y aura de l'algèbre à l'école, il y aura aussi des prières).     Cokie Roberts

 

 

*     Arithmétique avec des lettres représentant des inconnues ou des paramètres.

*     Calcul littéral.

*     Études des relations entre une ou des inconnues et des valeurs connues.

*     Résolution des équations.

*     Étude des structures algébriques (groupes, corps, anneaux, idéaux, modules, espaces vectoriels …)

Au XVIe siècle François Viète et Albert Girard introduise le calcul littéral.

Descartes allie géométrie et algèbre grâce à un système de repérage: repère cartésien.

On oublie pour un temps les figures pour se consacrer à leurs équations. C'est plus facile et plus systématique.

 

L'étude épistémologique de l'algèbre a été introduite par Jules Vuillemin (1920-2001).

 

*    Algèbre – Glossaire

*    Équations

*    Techniques de base de l'algèbre

 

 

ANALYSE

Science des limites

Du grec: analysis; de ana en haute et luein relâcher.

 

Si vous voulez apprendre à connaître la nature, à l'apprécier, vous devez comprendre son langage, car elle ne se révèle que sous cette forme. Nous ne sommes pas prétentieux au point de lui demander de changer.    Richard Feynman (1918-1988)

 

 

*     Études des fonctions et des suites, de leur comportement:

 

*       en "bout de course":    limites,

*       en "mouvement":          dérivées, et

*       en "enveloppements": intégrales

 

 

 

Il y avait le calcul infinitésimal qui faisait intervenir des quantités de plus en plus petites. Cette technique, poussée aux limites et avec rigueur, a donné naissance à l'analyse.

 

Isaac Newton et Wilhelm Gottfried Leibniz jettent les bases de l'analyse.

 

Laplace et ses contemporains pensaient que le monde était fixé par quelques équations (déterminisme).

 

*    Analyse - Glossaire

*    Puissances

*    Logarithmes

*    Exponentielles

*    LimitesGlossaire

 

 

LOGIQUE

Science du raisonnement

 

Du grec logikê, dérivé de logos: raison, langage, et raisonnement.

 

 

La logique est l'hygiène des mathématiques. André Weil (1906-1998)

 

La logique mène à tout, à condition d'en sortir. Alphone Allais (1854-1905)

 

*     Comment montrer la validité d'un raisonnement, discerner le vrai du faux.

 

*     Règles formelles que doit respecter toute argumentation correcte.

 

*     Utilisation d'un langage approprié (symbolique).

 

*     Logique mathématique, ou logique formelle: discipline qui s'est donnée comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage.

*     Calcul des prédicats >>>

 

Sophistes de l'Antiquité:

*        Socrate: art de parler,

*        Aristote: syllogismes.

 

Au XIXe siècle, Gottlob Frege met au point une formalisation: et, ou, si.. alors …

 

Bertrand Russel fonde la logique du XXe siècle.

 

La logique est la base:

*        des outils de modélisation des circuits électroniques,

*        de toute l'informatique, et

*        des techniques d'intelligence artificielle.

*    Logique de Boole: ET / OU / …

*    Logique formelle

*    LogiqueIndex

*    Logique: son vocabulaire et  ses diverses formes

*    Raisonnement

*    Syllogismes

 

 

PROBABILITÉS / STATISTIQUES

Science du hasard et des grands nombres

Probabilité du latin probabilitas

Hasard de l'arabe: az-zahr: 

Statistiques du Latin Status: état.

 

 

Probabilités

 

*     Comment mesurer le hasard.

*     Quelles sont les chances (probabilité) que se réalise un événement.

*     Mesure du caractère probable d'un événement.

*     Combien de possibilités sur un total de cas possibles.

*     S'appuie sur la technique du dénombrement (combinatoire)

 

Pascal en est le père fondateur.

 

 

 

 

Statistiques

 

*     Science des grands nombres, des dénombrements et de leurs conséquences.

*     Procède par collecte, classement, interprétation et présentation.

 

Les statistiques sont partout, sondages, en particulier.

 

L'application d'une méthode statistique à des données choisies (échantillon) produit un résultat caractéristique de l'échantillon appelé une statistique de l'échantillon (par exemple sa moyenne arithmétique).

 

*    Combinatoire / dénombrementIndex

*    Loi des grands nombres

*    Moyennes

*    Probabilités

*    Probabilités

*    Triangle de Pascal

 

 

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