NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Mathématiques

>>> Géométrie

>>> Arithmétique

>>> Algèbre

>>> Analyse

>>> Logique

>>> Probabilités / Statistiques

 

 

 

 

 

DOMAINES MATHÉMATIQUES

Approche et définitions

 

 

 

S’interroger sur l’utilité des mathématiques, c’est aussi absurde que de se demander à quoi sert un couteau. Mais pourtant vous vous servez plus des mathématiques dans une journée que d’un couteau !

Cédric Villani

 

Comment se fait-il qu'il y ait des gens qui ne comprennent pas les mathématiques?                                                   Henri Poincaré

 

En mathématiques les idées simples arrivent en dernier.

Jacques Hadamard

 

Définition mathématique d'une femme: C'est un ensemble de courbes qui font redresser une ligne.

 

A l'école, quels sont les deux cours préférés des garçons ?

Maths et dessin (mater des seins).

Voir Pensées & humour / Autres citations / Crises

 

 

 

 

MATHÉMATIQUES

Science des êtres abstraits et de leurs relations

 

*    Mathêma  (grec) signifie à la fois connaissance et science, ce qui est enseigné.

*    À ce titre la musique a longtemps fait partie des mathématiques tout comme la philosophie ou la géométrie.


À aucune époque les mathématiciens n’ont été entièrement d’accord sur l’ensemble de leur science que l’on dit être celle des vérités évidentes, absolues, indiscutables, définitives.          Henri Lebesgue

 

Les mathématiques sont la seule science où on ne sait pas de quoi on parle ni si ce qu'on dit est vrai.

Bertrand Russell (Mathématicien, philosophe, et …doué d'humour!)

 

 

*    Les mathématiques sont des discours (des ensembles d'énoncés)
proposés dans certains cadres
(à préciser)
d'où sont exclues toutes contradictions.

Conséquences

Les mathématiques ne visent pas la vérité absolue; Elles visent la cohérence.

*     Ensemble des disciplines mathématiques, considérées en ce qu'elles sont supposées former un tout organique.

 

Trois faces:

 

Jeu de construction logique;

 

Collection de modèles abstraits de situations concrètes; et

 

Boîte à outils pour résolution de problèmes divers.

Voir Jeu avec les lettres du mot mathématiques / Français et maths / Maths modernes /  Débutants

Biblio:  André Deledicq – Maths Lycée – Édition de la cité – 1998

Excellent tour d'horizon complet et agréablement illustré

 

 

Le poète espagnol ne faisait-il pas dire au roi astrologue:

Ya sabéis que son las ciencias

que más curso y más estimo,

matemáticas sutiles,

por quien al tiempo le quito...

Vous savez que les sciences

que je cultive et estime le plus

sont les mathématiques subtiles,

grâce auxquelles je ravis au temps son office...

Jean-Michel Bismut, Vice-Président de l'Union Mathématique Internationale en 2006

 

La langue des maths

Les symboles qui remplissent les livres que je contemplais étant enfant sont des raccourcis pour des idées qui peuvent être exprimés en détail. Mais si ces raccourcis sont très efficaces, ils sont aussi ce qui contribue tant à rendre les mathématiques impénétrables. C'est comme une tour de Babel où chaque nouvel étage accouche d'une nouvelle langue. Et si vous sautez un étage dans votre ascension de la tour mathématique, vous êtes de plus en plus perdu parce que vous ne savez absolument pas de quoi parlent les gens quand ils utilisent les mots ou la notation créés à l'étage que vous avez manqué.

La symétrie ou les maths au clair de Lune – Marcus du Sautoy

– Héloïse d'Ormesson – 2012 – page 297

 

Maths au fil de l'eau

Les mathématiques, eh bien, c'est comme de l'eau qui coule (…). Bien sûr, il y a dedans plein de théories compliquées, mais les raisonnements de base sont parfaitement simples. Tout comme l'eau coule en suivant la ligne la plus courte possible, du haut vers le bas, le cours des chiffres n'a qu'un seul sens. Si tu le regardes bien, ce chemin t'apparaît de lui-même. Il suffit de bien le fixer. Sans rien faire. Si l'on se concentre en gardant son regard rivé dessus, il se dévoile entièrement, très clairement. Dans ce monde, rien n'a été aussi prévenant à mon égard, en dehors des mathématiques.

Haruki Murakami – 1Q84 – Belfond – 2011 – page 89

 

 

Nature des maths

Omniprésentes dans les sciences et les technologies, les mathématiques sont parvenues à décrypter les orbites elliptiques des planètes, à prédire la découverte du boson de Higgs ou à faire atterrir le robot Curiosity sur Mars. De tout temps, l'homme, en quête de cycles et de motifs, les a utilisées pour explorer le monde physique et pour comprendre les règles de la nature, du nombre de pétales de fleurs (répondant à des «suites") à la symétrie de notre corps. La réalité possède-t-elle une nature mathématique inhérente ou les mathématiques sont-elles des outils précieux créés par l'esprit humain?

Reisz Richard – Le grand mystère des mathématiques – Vidéo (52 min)

 

Les maths en 2015

Source: Le nerf de la guerre, c'est les maths!YannVerdo – Les Échos – 30/10/2016

Voir ÉconomieIndex

 

 

 

GÉOMÉTRIE – Mesure de la terre

Du grec geômetrês: géomètre, arpenteur

de : terre et métron: mesure

=> science de la mesure du terrain.

 

Géométrie: science de toutes espèces d'espace.   Kant (1724-1804)

 

La géométrie n'est pas faite pour être apprise, elle est faite pour être utilisée. Seymour Papert (1926-)

 

*     Science des figures de l'espace.

*    Études des relations entre points, droites, courbes, surfaces et volumes.

 

*    Devenue l'étude des invariants de groupes divers, dont les éléments sont appelés: points

 

L'une des plus anciennes branches des mathématiques: arpentage sur les bords du Nil.

Faits historiques de géométrie classique

*    Les Éléments d'Euclide

*    Le théorème de Thalès

*    Mesure du méridien terrestre par Ératosthène

 

Puis vinrent les géométries non euclidiennes.

 

La géométrie bénéficie des apports de l'algèbre à partir du XVIIe siècle, et des apports de l'analyse à partir du XIXe siècle.

 

*    Définitions en géométrie

*    Éléments de base: point, droite …

*    Géométrie - Glossaire

*    Géométrie - Table des matières

 

 

ARITHMÉTIQUE

Science des opérations avec les nombres

Du grec arithmetike: de arithmos,  nombre, et techne, qui est relatif à un art ou à une compétence.

 

Tout est nombre.     Pythagore (vers 570 / 480 av. J.-C.)

 

Dieu a créé les nombres entiers.

Tout le reste est l'œuvre de l'homme.    Kronecker (1823 – 1891)

 

L'arithmétique n'est pas fondée sur la raison. C'est la doctrine de la raison qui est fondée sur l'arithmétique élémentaire. Avant de savoir compter, je ne savais guère ce qu'était la raison.

G. Bachelard (18884-1962)

 

L'arithmétique, c'est être capable de compter jusqu'à vingt sans enlever ses chaussures.      Walt Disney

 

*     Études

*       des nombres entiers et des autres nombres,

*       des relations entre eux, et

*       des techniques ou opérations permettant de les manipuler.

 

*    Partie de la théorie des nombres

 

L'arithmétique faisait partie de la géométrie des Grecs anciens: études des nombres figurés.

L'adoption de  la numération de position à base dix fait réaliser d'immenses progrès, même si

*      la base   2 est universelle pour les ordinateurs,

*      la base 12 subsiste pour les heures,

*      la base 60 pour les angles et les durées en minutes et secondes.

Exemples d'études arithmétiques:

*      Nombres premiers et théorème fondamental de l'arithmétique

*      Nombres parfaits                    Pythagore

*      Nombres pairs                        Goldbach

*      Somme de puissances          Fermat

*      Etc.

*    Arithmétique – Glossaire  

*    Calcul – Opérations

*    Calcul et calcul mentalIndex

*    Arithmétique / théorie des nombresIndex

*    Arithmétique de Peano

*    Nombres Débutants

 

 

ALGÈBRE

Science des équations, du calcul littéral

De l'arabe: al-jabr, réunion de parties cassées >>>

 

L'arithmétique privilégie le raisonnement tandis que l'algèbre donne des outils de résolution systématique des problèmes.

 

L'algèbre ressemble à un tunnel; vous passez sous la montagne, sans vous occuper des villages et des chemins tournants; vous êtes de l'autre côté, et vous n'avez rien vu. Alain (1868-1961)

Arithmétique! algèbre! géométrie! trinité grandiose! triangle lumineux! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé! (Arithmetic! Algebra! Geometry! Grandiose trinity! Luminous triangle! Whoever has not known you is without sense!) Les chants de Maldoror (1869) - Comte de Lautréamont.

As long as algebra is taught in school, there will be prayer in school. (Tant qu'il y aura de l'algèbre à l'école, il y aura aussi des prières).     Cokie Roberts

 

 

*     Arithmétique avec des lettres représentant des inconnues ou des paramètres.

*     Calcul littéral.

*     Études des relations entre une ou des inconnues et des valeurs connues.

*     Résolution des équations.

*     Étude des structures algébriques (groupes, corps, anneaux, idéaux, modules, espaces vectoriels …)

Au XVIe siècle François Viète et Albert Girard introduise le calcul littéral.

Descartes allie géométrie et algèbre grâce à un système de repérage: repère cartésien.

On oublie pour un temps les figures pour se consacrer à leurs équations. C'est plus facile et plus systématique.

 

L'étude épistémologique de l'algèbre a été introduite par Jules Vuillemin (1920-2001).

 

*    Algèbre – Glossaire

*    Équations

*    Techniques de base de l'algèbre

 

 

ANALYSE

Science des limites

Du grec: analysis; de ana en haute et luein relâcher.

 

Si vous voulez apprendre à connaître la nature, à l'apprécier, vous devez comprendre son langage, car elle ne se révèle que sous cette forme. Nous ne sommes pas prétentieux au point de lui demander de changer.    Richard Feynman (1918-1988)

 

 

*     Études des fonctions et des suites, de leur comportement:

 

*       en "bout de course":    limites,

*       en "mouvement":          dérivées, et

*       en "enveloppements": intégrales

 

 

 

Il y avait le calcul infinitésimal qui faisait intervenir des quantités de plus en plus petites. Cette technique, poussée aux limites et avec rigueur, a donné naissance à l'analyse.

 

Isaac Newton et Wilhelm Gottfried Leibniz jettent les bases de l'analyse.

 

Laplace et ses contemporains pensaient que le monde était fixé par quelques équations (déterminisme).

 

*    Analyse - Glossaire

*    Puissances

*    Logarithmes

*    Exponentielles

*    LimitesGlossaire

 

 

LOGIQUE

Science du raisonnement

 

Du grec logikê, dérivé de logos: raison, langage, et raisonnement.

 

 

La logique est l'hygiène des mathématiques. André Weil (1906-1998)

 

La logique mène à tout, à condition d'en sortir. Alphone Allais (1854-1905)

 

*     Comment montrer la validité d'un raisonnement, discerner le vrai du faux.

 

*     Règles formelles que doit respecter toute argumentation correcte.

 

*     Utilisation d'un langage approprié (symbolique).

 

*     Logique mathématique, ou logique formelle: discipline qui s'est donnée comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage.

*     Calcul des prédicats >>>

 

Sophistes de l'Antiquité:

*        Socrate: art de parler,

*        Aristote: syllogismes.

 

Au XIXe siècle, Gottlob Frege met au point une formalisation: et, ou, si.. alors …

 

Bertrand Russel fonde la logique du XXe siècle.

 

La logique est la base:

*        des outils de modélisation des circuits électroniques,

*        de toute l'informatique, et

*        des techniques d'intelligence artificielle.

*    Logique de Boole: ET / OU / …

*    Logique formelle

*    LogiqueIndex

*    Raisonnement

*    Syllogismes

 

 

PROBABILITÉS / STATISTIQUES

Science du hasard et des grands nombres

Probabilité du latin probabilitas

Hasard de l'arabe: az-zahr: 

Statistiques du Latin Status: état.

 

 

Probabilités

 

*     Comment mesurer le hasard.

*     Quelles sont les chances (probabilité) que se réalise un événement.

*     Mesure du caractère probable d'un événement.

*     Combien de possibilités sur un total de cas possibles.

*     S'appuie sur la technique du dénombrement (combinatoire)

 

Pascal en est le père fondateur.

 

 

 

 

Statistiques

 

*     Science des grands nombres, des dénombrements et de leurs conséquences.

*     Procède par collecte, classement, interprétation et présentation.

 

Les statistiques sont partout, sondages, en particulier.

 

L'application d'une méthode statistique à des données choisies (échantillon) produit un résultat caractéristique de l'échantillon appelé une statistique de l'échantillon (par exemple sa moyenne arithmétique).

 

*    Combinatoire / dénombrementIndex

*    Loi des grands nombres

*    Moyennes

*    Probabilités

*    Probabilités

*    Triangle de Pascal

 

 

Suite

Voir

*         Ensembles de nombres

*         Glossaire mathématiqueGlossaire

*         Les symétries

*         Les types de nombres

*         Mathématiques de la parcimonie

*         Théorie des nombresIndex

Site

*         Définition du mot "mathématique" sur CNRTL

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