NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Déterminant

 

Sommaire de cette page

>>> Méthode

>>> Exemples

>>> Justification

>>> Cas de trois inconnues

 

 

 

Systèmes d'équations

Résolution matricielle

 

Résolution systématique avec des tableaux de nombres (matrices).

Bien plus rapide que la méthode classique!

a

b

c

d

 

D = ad – bc

Anglais:  linear equations, theory of determinants, matrix, matrices

 

Ci-dessous, la méthode de résolution des systèmes d'équations linéaires.

Pour d'autres développements, voir Matrices et leurs déterminants.

 

 

Méthode

 

*      Voici un système de deux équations à deux inconnues et laméthode pour résoudre systématiquement ce système, méthode des déterminants (matrices).

*      On forme trois tableaux de coefficients:

*   ceux de D(x), coefficient non x;

*   ceux de D(y), coefficient non y; et

*  ceux de D(c), coefficient non constants.

*      On calcule un nombre avec une sorte de calcul en croix:

*   D(x)  = (–1) (2) – ( 4) (2) = –10

*   D(y)  = ( 1) (2) – ( 4) (3) = –10

*   D(c)  = ( 1) (2) – (–1) (3) =    5

*      Les valeurs de x et y sont désormais le résultat d'une simple division par D(c)

*   Attention au signe moins pour y

*   x =     D(x) / D(c) =    –10 / 5 = –2

*   y = D(y) / D(c) = – (–10 / 5) = 2

*      Fin

 

Note: Vous pouvez facilement imaginer la mise en tableur d'une telle méthode

 

 

Exemple

*      Tableaux de coefficients.

*      Calcul des déterminants

*   D(x)  = (–1) (–5) – ( 1) (–5) = 10

*   D(y)  = ( 1) (–5) – ( 1) (7) = –12

*   D(c)  = ( 1) (–5) – (–1) (7) =    2

*      Valeurs de x et y

*   x =    D(x) / D(c) =    10 / 2 = 5

*   y = – D(y) / D(c) = – (–12 / 2) = 6

 

 

 

 

Justification - Approche

*      Considérons un système de deux équations à deux inconnues simple (sans constantes).

*      Le truc habituel consiste à éliminer y dans une soustraction du même terme en y.

*  Pour cela multiplions la première équation par b2 et la seconde par b1

*  Et effectuons la soustraction.

*  On simplifie en éliminant x

*  Qui donne une relation entre les quatre coefficients du départ.

 

a1 x + b1 y = 0

a2 x + b2 y = 0

 

b2 (a1 x + b1 y) = 0

b1 (a2 x + b2 y) = 0

 

a1 b2 x +  b2 b1 y = 0

a2 b1 x +  b1 b2 y = 0

------------------------------

a1 b2 x –   a2 b1 x = 0

 

a1 b2   a2 b1 = 0

 

 

Notations

*      Par convention, on écrit le tableau des quatre coefficients, impliquant la relation indiquée.

*  Le tableau s'appelle une matrice >>>

*  La relation est le déterminant (D) de la matrice.

  

 

D = a1 b2 – a2 b1

Remarques

*      Vous pouvez permuter a2 et b1 sans changer la valeur du déterminant.

 

*      En permutant les lignes ou les colonnes, on inverse le signe.

 

 

Cas de trois inconnues

 

*      Évidemment plus d'étapes, mais le même principe!

Mise en tableur (Excel ou autre)  sans problème et le calcul devient bien facile.

 

 

 

*      Les matrices d'ordre 3, cette fois, doivent être décomposées en matrices d'ordre 2.

 

*      Le principe est toujours le même: les coefficients de la matrice D(x) sont ceux hors la ligne et la colonne du x.

*      En faisant attention à les prendre dans l'ordre circulaire, soit une coquetterie pour la matrice de D(y).

 

 

*      Nous sommes prêts pour le calcul des racines.

 

*      À noter (comme pour le cas de deux inconnues) une alternance du signe moins

 

 Équations

5x + 3y – 5z + 21 = 0

8x + 6y + 2z    4 = 0

2x – 4y – 3z +   2 = 0

 Matrices

 

Pour vous entraîner

systèmes d'équations et
leurs solutions

 

1x – 1y – 3z + 3 = 0

2x – 2y – 5z + 5 = 0

1x – 2y – 1z + 2 = 0

 

x = 1

y = 1

z = 1

 

1x + 2y + 3z + 4 = 0

2x + 3y + 4z + 1 = 0

3x + 4y + 1z + 2 = 0

 

1x + 2y – 3z + 4 = 0

2x + 3y – 4z + 1 = 0

3x + 4y – 1z + 2 = 0

 

 

x = 11

y = – 9

z =   1

 

 

x = 11

y = – 9

z = – 1

 

1x – 2y – 3z + 4 = 0

2x – 3y – 4z + 1 = 0

3x – 4y – 1z + 2 = 0

 

1x – 2y – 3z – 4 = 0

2x – 3y – 4z – 1 = 0

3x – 4y – 1z – 2 = 0

 

 

x = 11

y =   9

z = – 1

 

 

x = – 11

y = –   9

z =     1

 

 

 

 

Suite

*    Matrices et leurs déterminants
Astuces pour calculer rapidement le déterminant

Voir

*    Algorithme d'Héron

*    ÉquationGlossaire et index

*    Équation de Pell

*    Équations – Débutants

*    Équations – Les bases

*    Exemple avec le problème de l'escalier roulant

*    Exemple de résolution pour les carrés magiques

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*    Systèmes d'équations en 100

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