Systèmes d'équations et matrices

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Systèmes d'équations – Systèmes linéaires

Résolution matricielle – Méthode pratique

Résolution systématique avec des tableaux de nombres (matrices).

Bien plus rapide que la méthode classique!

a	b
c	d

D = ad – bc

Anglais: linear equations, theory of determinants, matrix, matrices

Ci-dessous, la méthode de résolution des systèmes d'équations linéaires.

Pour d'autres développements, voir Matrices et leurs déterminants.

Méthode

Voici un système de deux équations à deux inconnues et la méthode pour résoudre systématiquement ce système, méthode des déterminants (matrices).

On forme trois tableaux de coefficients:

ceux de D(x), coefficient non x;

ceux de D(y), coefficient non y; et

ceux de D(c), coefficient constants.

On calcule un nombre avec une sorte de calcul en croix:

D(x) = (–1) (2) – ( 4) (2) = –10

D(y) = ( 1) (2) – ( 4) (3) = –10

D(c) = ( 1) (2) – (–1) (3) = 5

Les valeurs de x et y sont désormais le résultat d'une simple division par D(c)

Attention au signe moins pour y

x = D(x) / D(c) = –10 / 5 = –2

y = – D(y) / D(c) = – (–10 / 5) = 2

Fin

Note: Vous pouvez facilement imaginer la mise en tableur d'une telle méthode

Exemple

Tableaux de coefficients.

Calcul des déterminants

D(x) = (–1) (–5) – ( 1) (–5) = 10

D(y) = ( 1) (–5) – ( 1) (7) = –12

D(c) = ( 1) (–5) – (–1) (7) = 2

Valeurs de x et y

x = D(x) / D(c) = 10 / 2 = 5

y = – D(y) / D(c) = – (–12 / 2) = 6

Justification - Approche
Considérons un système de deux équations à deux inconnues simple (sans constantes). Le truc habituel consiste à éliminer y dans une soustraction du même terme en y. Pour cela multiplions la première équation par b₂ et la seconde par b₁ Et effectuons la soustraction. On simplifie en éliminant x Qui donne une relation entre les quatre coefficients du départ.		a₁ x + b₁ y = 0 a₂ x + b₂ y = 0 b₂ (a₁ x + b₁ y) = 0 b₁ (a₂ x + b₂ y) = 0 a₁ b₂ x + b₂b₁ y = 0 a₂ b₁ x + b₁b₂ y = 0 ------------------------------ a₁ b₂ x – a₂ b₁ x = 0 a₁ b₂ – a₂ b₁ = 0
Notations Par convention, on écrit le tableau des quatre coefficients, impliquant la relation indiquée. Le tableau s'appelle une matrice >>> La relation est le déterminant (D) de la matrice.		D = a₁ b₂ – a₂ b₁
Remarques Vous pouvez permuter a₂ et b₁ sans changer la valeur du déterminant. En permutant les lignes ou les colonnes, on inverse le signe.

Cas de trois inconnues – Règle de Cramer

La résolution comporte plus d'étapes pour 3 inconnues que pour 2. Évidemment !

Mais, ce mode de résolution matricielle se prête particulièrement bien à l'automatisation du calcul par tableur ou mieux par logiciel. Intérêt grandissant avec la quantité d'inconnues.

Les matrices d'ordre 3, cette fois, doivent être décomposées en matrices d'ordre 2.
Elles sont tirées des deux lignes inférieures.
Le nombre en haut de la colonne restante devient un coefficient multiplicateur.

Pour calculer le déterminant des matrices 2x2, faire attention à les prendre dans l'ordre circulaire, soit une particularité pour le calcul de la deuxième matrice:
Exemple, pour D(x), on aura: (-4)x(-4) – 6x2 ) = 16 – 12 = 4 et non pas: 6x2 – (-4)x(-4) = 12 – 16 = -4; soit une inversion de signe.

Nous sommes prêts pour le calcul des racines: les formules montrent les égalités à respecter.

À noter, comme pour le cas de deux inconnues, une alternance du signe moins.

Résolution par logiciel (Maple)

Résolution par calculateur Internet

Voir Références

Équations

5x + 3y – 5z + 21 = 0

8x + 6y + 2z – 4 = 0

2x – 4y – 3z + 2 = 0

Calcul matriciel

Merci à Éric De Saint Pern pour sa relecture attentive

Pour vous entraîner

systèmes d'équations et
leurs solutions

1x – 1y – 3z + 3 = 0

2x – 2y – 5z + 5 = 0

1x – 2y – 1z + 2 = 0

x = 1

y = 1

z = 1

1x + 2y + 3z + 4 = 0

2x + 3y + 4z + 1 = 0

3x + 4y + 1z + 2 = 0

1x + 2y – 3z + 4 = 0

2x + 3y – 4z + 1 = 0

3x + 4y – 1z + 2 = 0

x = 11

y = – 9

z = 1

x = 11

y = – 9

z = – 1

1x – 2y – 3z + 4 = 0

2x – 3y – 4z + 1 = 0

3x – 4y – 1z + 2 = 0

1x – 2y – 3z – 4 = 0

2x – 3y – 4z – 1 = 0

3x – 4y – 1z – 2 = 0

x = 11

y = 9

z = – 1

x = – 11

y = – 9

z = 1

Suite	Matrices et leurs déterminants Astuces pour calculer rapidement le déterminant
Voir	Algorithme d'Héron Équation – Glossaire et index Équation de Pell Équations – Débutants Équations – Les bases Exemple avec le problème de l'escalier roulant Exemple de résolution pour les carrés magiques Initiation au calcul Méthode de Newton Système d'équation en congruence Systèmes d'équations Systèmes d'équations en 100
Site	Résolution des Systèmes d'équations linéaires – Matrix calculator – Introduisez vos coefficients et le calculateur vous donne les solutions et les étapes de calcul. Cinq méthodes de calcul sont proposées.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/EqaDeter.htm