NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carrés magiques avec remplissage particulier

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Jeux

Avec nombres premiers

Avec nombres au carré

 

Sommaire de cette page

>>>  Carré de carrés 3x3

>>>  Point de situation

>>>  Carré de cubes 3x3

>>>  Carré de carrés 4x4

 

 

 

 

 

CARRÉS MAGIQUES

avec des nombres au carré

 

Faisabilité et exemples de carrés magiques formés avec des nombres au carré.  Les carrés sont distincts, non nécessairement consécutifs, évidemment.

Alors que de tels carrés existent pour l'ordre 4 et plus, on ne connait pas encore de carré d'ordre 3. On cherche toujours la démonstration pour prouver leur non-existence.

Anglais: Magc square of squares

 

Carrés semi-magiques d’ordre 3

avec des nombres au carré

 

Exemple à 4 sommes magiques dont les diagonales

 


Exemple à 6 sommes magiques sans les diagonales

3 249 = 57²

 

Ce carré est un carré semi-magique de nombres carrés et en anglais: orthomagic square of squares (OMSOS).

 


Carré semi-magique avec nombres premiers au carré

 


Exemple à 7 sommes magiques; une seule diagonale manque

21 609 = 147²

 

Ce carré, avec sept sommes magiques, est dû à Lee Sallows (The Mathematical Intelligence) et indépendamment à Michael Schweitzer. Trouvé par exploration sur ordinateur.

Cette exploration n'est pas compliquée à programmer. Il suffit de boucler sur quatre variables seulement. Par contre, le temps d'exploration peut être long.

 

 

 

Point de situation sur

les carrés de carrés d'ordre 3

 

Ces trois configurations sont donc possibles, mais impossible de réaliser le carré magique complet avec des nombres au carré. On démontre effectivement que c'est impossible dans certains cas, mais la preuve n'est pas exhaustive. Comme pour le théorème de Fermat-Wiles, il semble qu'il faille avoir recours à une transposition sur d'autres problèmes équivalents et à des outils très avancés des mathématiques

 

En 1984, Martin Labar pose la question: est-ce qu'un carré magique 3x3 peut être construit avec neuf nombres carrés distincts? Les recherches sont lancées. Il s'agit de trouver un exemple, ou  alors la démonstration prouvant la non-existence. 

 

En 1996, Martin Gardner repose la même question en affirmant: s'il existe, ses nombres sont énormes, peut-être hors de portée des ordinateurs actuels les plus puissants.

 

John Robertson a montré que les problèmes mathématiques suivants sont liés:

*       Progressions arithmétiques (carré moyenne de carrés),

*       Triangles rectangles de même aire, ou encore

*       Nombres congruents et courbes elliptiques: y² = x3 – n² x.

 

Dans son livre Unsolved Problems in Number theory (2004), Richard Guy fait le point des recherches.

 

En 2005, Christian Boyer publie le résultat de ses recherches dans The Mathematical Intelligencer.

 

Duncan Buell a montré qu'il n'y a aucune solution pour cette forme en sablier jusqu'à 2,5 1025

 

 

 

Voir Carrés magiques avec premiers / Nombres premiers / Carrés bi-magiques

 

 

Un petit calcul pour de grandes conséquences

 

Dans un carré magique 3x3, la somme des sommets opposés est égale à deux fois l'élément central. Ici, en l'occurrence avec des carrés: x² + y² = 2z². Cette équation diophantienne a bien des solutions: 1² + 7² = 2 x 5². Tout va bien jusque là pour le carré 3x3 de carrés.

Par contre, à une puissance p supérieure à 2, il n'y a pas de solution (conséquence du théorème de Fermat-Wiles). Ce qui veut dire que

 

Il n'existe pas de carré magique 3x3 

avec des cubes, des puissances 4 ou au-delà.

 

 

 

 

Carrés semi-magiques d’ordre 4

avec des nombres au carré

 

Carré magique d'Euler (1770) envoyé à Joseph Lagrange

 

 

Les nombres utilisés

8, 11, 17, 23, 28, 29, 31, 32, 37, 41, 49, 59, 61, 68, 77, 79.

 


 

Carré magique d'Andrew Brenner (2001)

 

Les nombres utilisés

1 ,2 ,3 ,11 ,13 ,17 ,18 ,21 ,22 ,23 ,31 ,33 ,37 ,38 ,43 ,47

 

 

 

Carrés semi-magiques d’ordre 4

avec des nombres au carré

 

Carré magique de Christian Boyer (2005)

 

 

Les nombres utilisés

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31

 

 

 

 

 

Suite

*         Carrés magiquesIndex

*         Carrés magiques – Historique

Voir

*         JeuxIndex

*         Rectangles magiques

Sites

*         Carrés magiques de carrés – à propos d'un article de Christian Boyer: Some notes on the magic squares of squares problemVoir le lien vers le powerpoint associé

*         Magic square of squares – Kevin Brown – Tentatives de demonstrations

*         The lost Theorem – Lee Sallows – 1997

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