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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 15/09/2016

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Carrés

magiques

Carrés magiques

Glossaire

Carrés

magiques

 

Carrés multi-magiques

 

 

 

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CARRÉS

MAGIQUES

 

>>> INDEX

 

 

Sommaire de cette page

 

>>> Bimagique ?

>>> Ordre 8

>>> Propriétés

>>> Anglais

 

 

  

 

 

Carrés multi-magiques

 

 

Le carré magique reste magique en remplaçant chaque nombre par son carré, son cube ou autres puissances.

*    Il est bi-magique si les carrés forment aussi un carré magique.

*    Il est tri-magique s'il est bi-magique et que, en plus, les cubes forment aussi un carré magique.

 

 

BI-MAGIQUE ? Tentative

 

1

8

10

15

12

13

3

6

7

2

16

9

14

11

5

4

 

* Ce carré est magique. En effet, la somme des nombres de chaque ligne est égale à la somme des nombres de chaque colonne, qui est égale à la somme des nombres de chaque diagonale.

 

1

8

10

15

34

12

13

3

6

34

7

2

16

9

34

14

11

5

4

34

34

34

34

34

34

34

 

1

64

100

225

390

144

169

9

36

358

49

4

256

81

390

196

121

25

16

358

434

390

358

390

358

442

 

* Mais, si  les sommes de carré présentent des similitudes, elles ne sont pas toutes égales. En fait, il n'existe pas de carrés bimagiques d'ordre 4. Il faut atteindre l'ordre 8 pour trouver le premier bimagique.

 

 

 

 

BIMAGIQUE d'ordre 8 – Un exemple

 

* Nombre de 1 à 64 – Somme 260 =  ½  n (n² + 1)

       16  

       41  

       36  

         5  

       27  

       62  

       55  

       18  

      260  

       26  

       63  

       54  

       19  

       13  

       44  

       33  

         8  

      260  

         1  

       40  

       45  

       12  

       22  

       51  

       58  

       31  

      260  

       23  

       50  

       59  

       30  

         4  

       37  

       48  

         9  

      260  

       38  

         3  

       10  

       47  

       49  

       24  

       29  

       60  

      260  

       52  

       21  

       32  

       57  

       39  

         2  

       11  

       46  

      260  

       43  

       14  

         7  

       34  

       64  

       25  

       20  

       53  

      260  

       61  

       28  

       17  

       56  

       42  

       15  

         6  

       35  

      260  

        260  

      260  

      260  

      260  

      260  

      260  

      260  

      260  

      260  

      260  

 

* Carré des nombres – somme 11 180 = n (n² + 1) (2n² + 1) / 6

     256  

  1 681  

  1 296  

       25  

     729  

  3 844  

  3 025  

     324  

 11 180  

     676  

  3 969  

  2 916  

     361  

     169  

  1 936  

  1 089  

       64  

 11 180  

         1  

  1 600  

  2 025  

     144  

     484  

  2 601  

  3 364  

     961  

 11 180  

     529  

  2 500  

  3 481  

     900  

       16  

  1 369  

  2 304  

       81  

 11 180  

  1 444  

         9  

     100  

  2 209  

  2 401  

     576  

     841  

  3 600  

 11 180  

  2 704  

     441  

  1 024  

  3 249  

  1 521  

         4  

     121  

  2 116  

 11 180  

  1 849  

     196  

       49  

  1 156  

  4 096  

     625  

     400  

  2 809  

 11 180  

  3 721  

     784  

     289  

  3 136  

  1 764  

     225  

       36  

  1 225  

 11 180  

   11 180  

 11 180  

 11 180  

 11 180  

 11 180  

 11 180  

 11 180  

 11 180  

 11 180  

 11 180  

 

 

 

 

Propriétés

 

* Le premier connu (G. Pfeffermann – 1890) était effectivement d'ordre 8, constante magique 260.

*    Bensen et Jacoby conjecturent qu'il n'en existe pad d'ordre inférieur à 8, sauf trivial.

*    Boyer et Trump le démontrent pour les carrés classiques utilisant les nombres de 1 à n².

* En 1917 Henry Dudeney publie un carré magique, le second connu.

* En 1891, Brutus Portier trouve un carré bimagique d’ordre 9.

* Aujourd'hui, on connaît des carrés bimagiques pour tous les ordres de 8 à 64. Il sont plus de 50 000 pour l'ordre 9.

* Le plus petit trimagique connu est d'ordre 12.

 

 

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

*  A bimagic square is a magic square that also remains magic if all of the numbers it contains are squared.

*  If in addition to being bimagic, the integers in the square can be raised to the third power and the resulting square is still magic, the square is then called a trimagic.

 

 

 

 

 

 

Suite

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*    Carré magique avec nombres carrés

*    Carré diabolique de Dürer

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