NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carré magique 3 x 3

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Jeux

Intro. carré 3 x 3

Carré 3 x 3

Premiers

Fibonacci

Propriétés

Date de naissance

 Maths du carré 3x3

Décalé

 

 

Sommaire de cette page

>>> Carrés magiques d'ordre 3

>>> Beauté géométrique

>>> Construction du carré d'ordre 3

>>> Exemples d'autres carrés 3 x 3

>>> Avec des nombres premiers

>>> Carrés magiques géométriques d'ordre 3

>>> Carré semi-magique avec des carrés

 

Maths du carré 3 x3

>>> Propriétés du carré normal d'ordre 3

>>> Forme générique pour ordre 3

>>> Anglais

 

 

 

 

 

Carré magique 3 x 3

dit d'ordre 3

 

 

*    Il n'en n'existe qu'un seul classique.

 

*    Et, de nombreuses variantes avec des nombres particuliers, nombres premiers notamment.

 

Carré magique 3 x 3

avec chiffres romains

 

Oups! Je suis novice

 

 

 CARRÉS MAGIQUES D'ORDRE 3

 

Il est unique !

(hors permutations)

 

 

Lignes

6 + 1 + 8 = 15

7 + 5 + 3 = 15

2 + 9 + 4 = 15

Colonnes

6 + 7 + 2 = 15

1 + 5 + 9 = 15

8 + 3 + 4 = 15

Diagonales

6 + 5 + 4 = 15

8 + 5 + 2 = 15

 

Notez

La somme des sommets des quatre diagonales vaut 10 = 2 x 5, la valeur centrale.

 

 

Remarquez également

cette disposition en triangle:

 

 

6 = (9 + 3) / 2

8 = (7 + 9) / 2

4 = (7 + 1) / 2

2 = (1 + 3) / 2

 

 

Voir Calcul de la somme magique / Son complémentaire / Ses huit variantes

 

 

BEAUTÉ géométrique

 

Alignement

Reproduisons le carré magique comme ci-dessous (tapis magique).

 

 

C'est magique, les nombres de 1 à 9 s'alignent en diagonale avec descente d'un cran à chaque multiple de 3.

 

Règle de construction géométrique du carré d'ordre 3

 

1) Écrire les nombres en trois diagonales comme indiqué.

2) Les nombres qui débordent sont "enroulés" sur le bord opposé (ou si on préfère: décalés de trois crans vers l'intérieur du carré magique).

 

Effectivement: en enroulant le feuillet jaune en cylindre horizontal, on amènerait le 9 du haut dans la case du milieu en bas.

 

Voir  Méthode du losange / Règles de construction des carrés magiques / Symétries et permutations

 

 

EXEMPLES d'autres carrés 3 x 3

 

Normal

 

6

1

8

7

5

3

2

9

4

 

Tous les chiffres

de 1 à 9

 

 

Avec 0

 

1

6

5

8

4

0

3

2

7

 

Tous les chiffres

de 0 à 8

 

Et encore 0

 

5

10

3

4

6

8

9

2

7

 

Nombres

de 1 à 10

 

Pair

 

16

2

12

6

10

14

8

18

4

 

Nombres pairs successifs

 

 

Quelconque

 

15

35

13

19

21

23

29

7

27

 

N'importe quels nombres

 

Carré d'Allah

 

21

26

19

20

22

24

25

18

23

 

La somme vaut 66, le nombre d'Allah

                  

Carré magique de la Bête

 

212

121

333

343

222

101

111

323

232

 

Total: 666, le nombre de la Bête

 

(Jaime Ayala, Juin 1999, cité par De Geest)

  

Rappel: chaque configuration est un exemple.

Toutes les permutations de lignes et de colonnes sont permises.

 

 

Carré magique d’ordre 3

               avec des nombres premiers 

 

17

89

71

113

59

5

47

29

101

 

Somme: 177

 

Voir Carrés magiques avec premiers / Nombres premiers

 

Carrés semi-magiques d’ordre 3

avec des nombres au carré

 

3 249 = 57²

21 609 = 174²

Impossible d'obtenir un carré magique 3x3 complet avec des carrés.

 

Suite en   Carrés magiques  avec des nombres au carré

 

 

Carrés magiques GÉOMÉTRIQUES 3x3

 

Carré arithmétique ou additif

(en fait, normal)

 

Carré magique

des nombres de 0 à 8

 

1

6

5

8

4

0

3

2

7

 

Sommes constantes

1 + 6 + 5 = 12

8 + 4 + 0 = 12

etc.

 

 

Carré géométrique ou multiplicatif

 

Carré magique

des puissances de 2

 

2

64

32

256

16

1

8

4

128

 

Produits constants

2 x 64 x 32 = 4 096

256 x 16 x 1 = 4 096

etc.

Les chiffres du premier sont utilisés comme exposants des puissances de 2 pour le deuxième:  21 = 2, 26 = 64, 25 = 32, etc.

 

 

 

Maths du carré magique 3 x 3

 

PROPRIÉTÉS du carré normal d'ordre 3

 

*  Le carré comprend les nombres de 1 à 9 et la somme de tous ces nombres est: 9 x 10 / 2 = 45.

 

*  La somme magique est égale à: S = 45 / 3 = 15

 

*  C'est un carré magique associatif: 6 + 4 = 8 + 2 = 1 + 9 = 7 + 3 = 2 x 5

 

*  Le carré normal d'ordre 3 est unique, sauf ses variantes par symétrie.

 

*  La case centrale est nécessairement 5. Un simple calcul le montre:

 

 

*  La somme des deux extrémités diamétralement opposées est égale à 10 (somme magique 15 moins élément central 5), deux fois la valeur de la case centrale: A + I =  2E

*  Deux nombres opposés de la couronne sont à égale distance du centre: A – E = E – I  (formule précédente arrangée).

*  Chaque coin est le double des deux adjacents au sommet opposé:

2 x 6 = 9 + 3; 2 x 8 = 7 + 9; 2 x 2 = 1 + 4 et 2 x 4 = 7 + 1.

*  La somme des carrés de la première ligne égale celle de la dernière ligne et idem pour les colonnes extrêmes:

6² + 7² + 2² = 8² + 3² + 4² =  89

6² + 1² + 8² = 2² + 9² + 4² = 101

 

 

 

FORME GÉNÉRIQUE

              des carrés magiques d'ordre 3

 

Nous savons que l'élément central est fixé (5) et la somme de deux nombres opposés est toujours 10.

 

Formules simples

 

m – 1

m + 4

m – 3

m – 2

m

m + 2

m + 3

m – 4

m + 1

 

*    M est l'élément central et 3m est la somme magique

*    les éléments de la couronne sont symétriques par rapport au centre.

 

Formules générales dues à Édouard Lucas

 

a + b

a b c

a + c

a b + c

a

a + b c

a c

a + b + c

a b

Voir Démonstration

 

*    Pour toutes les valeurs de a, b et c, ce carré est magique.

Remarque: avec a, b et c quelconque, on n'est pas assuré d'avoir des nombres différents ou consécutifs.

 

*    La constante magique est 3a. Voyez la colonne centrale.

 

*    Notez que tous les termes du carré sont symétriques par rapport au centre.

*    les neuf nombres forment huit progressions arithmétiques (en jaune avec l'élément central en rouge):

Voir Exploitation de cette propriété (parallélogramme magique)

 

 

 

Quelques exemples utilisant la forme générique

 

Le classique avec les nombres de 0 à 9

 

a

b

c

5

1

3

 

6

1

8

7

5

3

2

9

4

 

En voici trois autres

 

a

b

c

5

1

4

 

6

0

9

8

5

2

1

10

4

a

b

c

10

1

3

 

11

6

13

12

10

8

7

14

9

a

b

c

1000

1

500

 

1001

 499

1500

1499

1000

 501

 500

1501

 999

 

Voir Propriétés des carrés 3 x 3 / Construction du carré 9x9

 

 

 

Autres FORMES GÉNÉRIQUES

 

Carré normalisé

*    Élément central à 0.

*    Somme nulle.

 

b

b – c

c

b + c

0

b – c

c

b + c

b

 

*    Note: avec la forme normalisée, on obtient toujours une suite de nombres consécutifs.

 

 

Autre forme générique

*     Deux variables indépendantes h et i

 

 

10 – i

10 – h

– 5 + h + i

– 10 + h + 2i

5

20 – h – 2i

15 – h - i

h

i

 

 

Semi – magique

*    Somme égale sur lignes et colonnes seulement

*    Variables indépendantes e, f, h et i

 

 

 

15 + e + f + h + i

15 – e – h

15 – f – i

15 – e – f

e

f

15 – h - i

h

i

 

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

The unique normal square of order three was known to the ancient Chinese, who called it the Lo Shu.
                                  Notez ce "to" par forcément naturel pour un français.

 

 

 

Un carré magique 3 x3  avec des nombres nus

Le plus petit carré magique d'ordre 3 avec des nombres nus (nombres divisibles par chacun de leurs chiffres). Neuf nombres nus consécutifs non triviaux.

 

 

 

 

 

 

Suite

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