NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carré magique 3 x 3

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

   Ordres

   Constructions

 

 

Jeux de grilles

Jeux et énigmes

Intro. carré 3 x 3

Carré 3 x 3

Date de naissance

Fibonacci

Propriétés

Premiers

 Maths du carré 3x3

Décalé

Maths et programmation

Alpha-magique

Taneja (Pythagore)

 

 

Sommaire de cette page

>>> Carrés magiques d'ordre 3

>>> Beauté géométrique

>>> Construction du carré d'ordre 3

>>> Exemples d'autres carrés 3 x 3

>>> Six égalités de sommes des carrés

>>> Avec des nombres premiers

>>> Carrés magiques géométriques d'ordre 3

>>> Carré et son retourné

>>> Carré semi-magique avec des carrés

>>> Un carré magique 3 x3  avec des nombres nus

>>> Carré (3x3) x 1089

 

Maths du carré 3 x3

>>> Propriétés du carré normal d'ordre 3

>>> Forme générique pour ordre 3

>>> Anglais

 

 

 

 

Carré magique 3 x 3

dit d'ordre 3

 

 

*    Il n'en n'existe qu'un seul classique.

 

*    Et, de nombreuses variantes avec des nombres particuliers, nombres premiers notamment.

 

Carré magique 3 x 3

avec chiffres romains

 

Oups! Je suis novice

 

 

 CARRÉS MAGIQUES D'ORDRE 3

 

Il est unique !

(hors permutations)

 

 

Lignes

6 + 1 + 8 = 15

7 + 5 + 3 = 15

2 + 9 + 4 = 15

Colonnes

6 + 7 + 2 = 15

1 + 5 + 9 = 15

8 + 3 + 4 = 15

Diagonales

6 + 5 + 4 = 15

8 + 5 + 2 = 15

 

Notez

La somme des sommets des quatre diagonales vaut 10 = 2 x 5, la valeur centrale.

 

 

Remarquez également

cette disposition en triangle:

 

 

6 = (9 + 3) / 2

8 = (7 + 9) / 2

4 = (7 + 1) / 2

2 = (1 + 3) / 2

 

 

Voir Calcul de la somme magique / Son complémentaire / Ses huit variantes

 

 

BEAUTÉ géométrique

 

Alignement

Reproduisons le carré magique comme ci-dessous (tapis magique).

 

 

C'est magique, les nombres de 1 à 9 s'alignent en diagonale avec descente d'un cran à chaque multiple de 3.

 

Règle de construction géométrique du carré d'ordre 3

 

1) Écrire les nombres en trois diagonales comme indiqué.

2) Les nombres qui débordent sont "enroulés" sur le bord opposé (ou si on préfère: décalés de trois crans vers l'intérieur du carré magique).

 

Effectivement: en enroulant le feuillet jaune en cylindre horizontal, on amènerait le 9 du haut dans la case du milieu en bas.

 

Voir  Méthode du losange / Règles de construction des carrés magiques / Symétries et permutations

 

 

EXEMPLES d'autres carrés 3 x 3

 

Normal

 

6

1

8

7

5

3

2

9

4

 

Tous les chiffres

de 1 à 9

 

 

Avec 0

 

1

6

5

8

4

0

3

2

7

 

Tous les chiffres

de 0 à 8

 

Et encore 0

 

5

10

3

4

6

8

9

2

7

 

Nombres

de 1 à 10

 

Pair

 

16

2

12

6

10

14

8

18

4

 

Nombres pairs successifs

 

 

Quelconque

 

15

35

13

19

21

23

29

7

27

 

N'importe quels nombres

 

Carré d'Allah

 

21

26

19

20

22

24

25

18

23

 

La somme vaut 66, le nombre d'Allah

                  

Carré magique de la Bête

 

212

121

333

343

222

101

111

323

232

 

Total: 666, le nombre de la Bête

 

(Jaime Ayala, Juin 1999, cité par De Geest)

  

Rappel: chaque configuration est un exemple.

Toutes les permutations de lignes et de colonnes sont permises.

 

 

Six égalités de sommes des carrés

 

Dans un carré magique 3x3, la somme des carrés des nombres formée en lignes est égale à la somme des carrés des mêmes nombres retournés.

Propriété valable pour les lignes, les colonnes et toutes les (pan) diagonales. 

 

Exemple de lecture: 618² + 753² + 294² = 381924 + 567009 + 86436 = 1035369

 

Le calcul formel confirme cette propriété pour toute permutation du carré3x3.

Avec les notations de Lucas, la somme des carrés en lignes, comme celle pour les retournés donnerait:  36963 a² + 17982 b² – 22842 bc + 17982 c²

 

Voir Brève 596

 

 

 

 

Carré magique d’ordre 3

               avec des nombres premiers 

 

17

89

71

113

59

5

47

29

101

 

Somme: 177

 

Voir Carrés magiques avec premiers / Nombres premiers

 

 

Carrés magique d’ordre 3

avec son retourné magique

 

Le plus petit carré magique tel que tous ses nombres étant retournés, le carré reste magique et avec tous les nombres semi-premiers (qui ont seulement deux facteurs hors 1 et le nombre)

 

 

 

 

Carrés semi-magiques d’ordre 3

avec des nombres au carré

 

3 249 = 57²

21 609 = 174²

Impossible d'obtenir un carré magique 3x3 complet avec des carrés.

 

Suite en   Carrés magiques  avec des nombres au carré

 

 

Carrés magiques GÉOMÉTRIQUES 3x3

 

Carré arithmétique ou additif

(en fait, normal)

 

Carré magique

des nombres de 0 à 8

 

1

6

5

8

4

0

3

2

7

 

Sommes constantes

1 + 6 + 5 = 12

8 + 4 + 0 = 12

etc.

 

 

Carré géométrique ou multiplicatif

 

Carré magique

des puissances de 2

 

2

64

32

256

16

1

8

4

128

 

Produits constants

2 x 64 x 32 = 4 096

256 x 16 x 1 = 4 096

etc.

Les chiffres du premier sont utilisés comme exposants des puissances de 2 pour le deuxième:  21 = 2, 26 = 64, 25 = 32, etc.

 

 

Un carré magique 3 x3  avec des nombres nus

Le plus petit carré magique d'ordre 3 avec des nombres nus (nombres divisibles par chacun de leurs chiffres). Neuf nombres nus consécutifs non triviaux.

 

 

 

Carré (3x3) x 1089

 

En multipliant le carré initial par 1089, on obtient évidemment un nouveau carré magique.

Première propriété: chacun des chiffres pris individuellement forme un  nouveau carré magique.

Autres: toute combinaison de chiffres forme un carré magique.

 

 

Sommes magiques 15 et 16 335

Les 14 configurations magiques avec leurs sommes magiques

 

 

ENGLISH CORNER

 

The unique normal square of order three was known to the ancient Chinese, who called it the Lo Shu.
                                  Notez ce "to" ,  pas forcément naturel pour un français.

 

 

 

 

 

Henry Dudeney publie ces carrés en 1917 dans son livre Amusements in Mathematics

Voir Carrés magiques multiplicatifs

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

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Sites

*    Liens vers les sites carrés magiques

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/CMordre3.htm

 

 

 

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Renvois de liens

Quantité de carrés magiques >>>

Somme des extrémités des diamètres >>>

  Maths du carré magique 3 x 3

Propriétés du carré normal d'ordre 3 >>>

Forme générique des carrés magiques d'ordre 3 >>>

Autres formes génériques >>>

Voir Propriétés des carrés 3 x 3 / Construction du carré 9x9