NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 10/08/2019

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Brèves de Maths     

            

PUISSANCES

 

Débutants

Nombres géométriques

CARRÉS

 

Glossaire

Nombres carrés

 

 

INDEX

Nombres carrés, cubes …

 

Puissances

 

 

Index

Introduction

Formes

Écarts

Caractérisation

Carré mod 3

Unités

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres carrés

>>> Représentations

>>> Propriétés

>>> Carré = cube

>>> Curiosité avec 16 900

>>> Carré ou polygonal d'ordre 4

>>> Résidu quadratique

 

 

 

 

Les nombres CARRÉS

ou LOSANGES 

 

Ces nombres sont carrés car ils peuvent être arrangés en une figure géométrique carrée ou losange.

Ils sont aussi la mesure de l'aire d'un carré géométrique.

 

Anglais: Square number or perfect square

 

 

 Rébus:    K                  

 

Voir Pensées & humour / Jeux / Musique

 

 

NOMBRES CARRES ou en LOSANGE

 

 

 

Carrés

Côté

Aire

2

4

3

9

4

16

5

25

6

36

7

49

8

64

9

81

10

100

n

 

 

Losange

 

 

 

REPRÉSENTATIONS

 

Dernier nombre du carré

disposé dans un carré géométrique.

 

Diagonale de la table de multiplication

 

Voir Table de multiplication

 

 

PROPRIÉTÉS typiques des carrés

 

Divisibilité

 

Un nombre pair au carré est divisible par 4.

Un nombre impair au carré, moins 1, est divisible par 4.

Pair² = 4k    &   Impair² = 4k + 1

 

Partition

 

Un nombre carré est égal au précédent plus son gnomon.
(n+1)² = n² + (2n+1)

 

Les carrés de deux nombres successifs sont séparés de la somme de ces deux nombres.

(n+1)² = (n)² + (n) + (n+1)

Voir Écarts entre carrés

 

Un nombre carré Sn est égal à la somme des n premiers nombres impairs.

Voir Somme impairs

 

Un nombre carré est égal à la somme de deux triangulaires: son homologue et le précédent.

Voir Somme des triangulaires

 

Un nombre différence de deux carrés est un nombre composé: N = a²- b² = (a–b) (a+b)

Sauf dans le cas où b = a+1, auquel cas cette différence est un nombre impair, éventuellement premier.

Voir Ce type de factorisation

 

La différence entre carrés n'est jamais 2 (2k + 1).

 

Un nombre carré est égal à huit fois un triangulaire plus 1.

 

Un nombre carré peut toujours s'écrire sous la forme de la somme des résultats des quatre opérations sur deux nombres: C = (a+b) + (a-b) + (a.b) + (a/b)

Voir Quatrops

 

La somme de k+1 consécutifs commençant par k² est égale à la somme de k suivants.

 Voir ce théorème

 

Le carré d'un multiple de 3 est en 3k (colonne de gauche); tous les autres sont en 3k + 1 (colonne centrale du tableau).

 

 

 

Consécutifs

4 + 5 + 6

= 7 + 8 = 15

 

9 + 10 + 11 + 12

= 13 + 14 + 15 = 42

Voir Introduction aux nombres carrés  /  Explications et démonstrations  / Différence / Énigme des diamants

 

 

Factorisation

 

Un nombre carré se factorise en un nombre pair de facteurs premiers. 

 

Divisibilité

 

Tous les carrés sont des multiples de 5

ou des multiples de 5  1.

 

Le carré d'un nombre pair est divisible par 4.

 

Tout carré divisé par 8 donne un reste de 0, 1 ou 4.

 

Le carré d'un nombre impair, divisé par 8,

laisse un reste de 1.

 

 

Une fraction irréductible le reste lorsqu'elle est élevée au carré.

 

Deux nombres étrangers non pas plus de diviseurs communs lorsqu'ils sont élevés à une puissance.

Exemple:

(3 / 5)²    = 9 / 15

 

 

 

Cube = carré

 

Ils sont tous de la forme:

 

C'est une règle générale:

 

Exemples:

            45 =   322 =   1 024

         95 = 2422 = 59 049

             47 = 1282 = 16 384

Illustration

 

Le nombre 8 est égal à la racine carrée d'un cube ou encore à la puissance 3/2 d'un nombre. Même chose pour tous les cubes.

 

 

Suite = liste des carrés portés au cube

Comme 484 = 22², le suivant sera 23² = 529.

 

Liste des carrés successifs:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936 …

 

 

 

Somme de carrés

 

Tout nombre est la somme d'au plus quatre carrés.

 

Un nombre est la somme de deux carrés si aucun de ses facteurs +1 n'est divisible par 4.

 

 

Voir  Somme de carrés

 

 

 

Carré moyenne de deux carrés

 

Les premières valeurs

Il y a 37 telles égalités jusqu'à = 10 000. La 37e étant:

Explications

Ce sont des nombres tels que: 2c² = n² + m²

                              ou encore 4c² = (m – n)² + (m + n)²

De sorte que chacune des égalités peut en engendrer une autre:

Une alternance de fractions avec des termes qui doublent au numérateur et des puissances de 2 successives au dénominateur.

 

Forme générique du motif répétitif

Note

Cette relation est importante dans l'analyse des carrés magiques de nombres carrés 3x3 où la somme des sommets opposés vaut deux fois le nombre central: x² + y² = 2 z². >>>

 

Voir Équations diophantiennes/ Triplets de Pythagore

 

 

Différence de carrés

 

ÉCART

Nombres quelconques: l'écart entre les carrés de deux nombres est égal au produit de leur somme et de leur différence.  E = m² - n² = (m – n) (m + n)

 

Deux nombres consécutifs: l'écart entre leurs carrés est un nombre impair.

E = m² – (m – 1)² = m + (m – 1) = 2m – 1

 

PROGRESSION

Nombres sur une pandiagonale: (m² – k²) et (n² – k²): l'écart entre ces deux valeurs est indépendante de m et de n; elle est égale au double du produit de la différence j = m – n par le numéro de la pandiagonale k (ou h).

E = (m – k)² –  (n – k)² = 2 (m – n) k

 

Nombres quelconques:

E = (m²– k²) et (n² – k²) = (h – k)(h + k – 2m) + 2(m – n) h

 

 

Voir  Différence de carrés

 

 

Carré au carré

 

L'élévation au carré conserve la parité:

pair² => pair; impair² => impair.

 

En effet:

(2k)²       = 4k²

(2k + 1)² = 4k² + k + 1

 

 

 

 

Répartition

 

Dans [ n , 2n ], il y a toujours un carré pour n > 1 .

 

Exemples

[ 2 , 4 ]     4

[ 3 , 6 ]     4

[ 4 , 8 ]     4

[ 5 , 10 ]   9

[ 6 , 12]    9

[ 7 , 14 ]   9

[ 8 , 16 ]   9, 16

[ 9 , 18 ]   9, 16

[ 10 , 20 ]   16…   

 

Un nombre est la somme de deux carrés si aucun de ses facteurs +1 n'est divisible par 4.

 

Ils sont de plus en plus rares lorsque les nombres sont de plus en plus grands.

 

 

 

 

Progression

 

Aucune suite de quatre carrés n'est en

progression arithmétique.

 

 

Voir  Autres propriétés des carrés

 

 

Curiosité: 16 900 = 130²

 

Quels sont les quatre plus petits nombres tels que leur somme est un carré et toutes les sommes deux à deux sont des carrés?

 

 

La somme de tous ces nombres est également un carré. Logique car quatre fois la somme 130² soit 2² x 130² = (2 x 130)².

 

 

 

 

Carré = Polygonal d'ordre 4

 

P4 = n² = { 1, 4, 9, 16, 25 … }

Un carré est un nombre polygonal d'ordre 4.

Attention à la notation. Cependant n'est peu utilisée qu'n mathématique supérieure lors de généralisations.

Voir Carrés des nombres de 1 à 199

 

Carrés et triangulaires

 

Tn nombre triangulaire d'ordre n = {1, 3, 6, 10, 15 …}

 

Un carré est somme de deux triangulaires successifs ou encore le double d'un triangulaire plus un nombre.

 

Exemples sur les premiers nombres

Voir Somme des impairs

 

 

RÉSIDU QUADRATIQUE – Notion

 

En jaune les carrés et leur position sur les colonnes de même résidu modulo 5.

Ainsi

5² = 25 = 0 mod 5

4² = 16 = 1 mod 5

etc.

 

Façon un peu sophistiquée de dire que 5² est divisible par 5 ou que 4² donne un reste de 1 par la même division.

 

 

On cherche à classer les carrés selon le reste de la division par n. Les carrés 4 et 9 ont même résidu en mod 5.

Suite sur les résidus quadratiques

 

 

 

Suite

*    Calcul des carrés

*    Calcul du carré des impairs

*    Carré en géométrie

*    Variations sur les carrés

Nombres géométriques

*    Allumettes et nombres carrés

*    Introduction

*    Théorie

*    Valeurs

Voir

*    Carrés – Calcul mental

*    Carrés – Somme de carrés

*    Carrés – Somme des carrés des consécutifs

*    Carrés – Variations sur -  

*    Carrés magiques

*    Carrés palindromes

*    Couleurs  - quatre

*    Identité de Brahmagupta

*    Identité de Brahmagupta

*    Nombre 144

*    Nombres à motifs

*    Nombres carrésGlossaire

*    Nombres carrésNomenclature

*    Nombres plaqués et carrés

*    Nombres triangulaires

*    Partition & Addition

*    Quadrilatère

*    Racines carrées

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/FIGURE/CarreInt.htm