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Les nombres CARRÉS ou LOSANGES Ces
nombres sont carrés car ils peuvent être arrangés en une figure géométrique
carrée ou losange. Ils
sont aussi la mesure de l'aire d'un carré géométrique. |
Angl
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Rébus: K Ré
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Voir
Pensées
& humour / Jeux / Musique
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Carrés |
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Losange |
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Dernier
nombre du carré disposé
dans un carré géométrique.
Diagonale
de la table de multiplication
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Partition Un nombre carré est égal au
précédent plus son gnomon. Les carrés de deux nombres successifs sont séparés de la somme de ces
deux nombres. (n+1)² = (n)² + (n) + (n+1) Voir Écarts
entre carrés Un nombre carré Sn est égal à la
somme des n premiers nombres impairs. Voir Somme
impairs Un nombre carré est égal à la somme de deux triangulaires: son
homologue et le précédent. Un nombre différence de deux carrés est un nombre composé: N = a²- b² = (a–b) (a+b) Sauf
dans le cas où b = a+1, auquel cas cette différence est un nombre impair,
éventuellement premier. La différence entre carrés n'est jamais 2
(2k + 1). Un nombre carré est égal à huit fois un
triangulaire plus 1. Un nombre carré peut toujours s'écrire sous la forme de la somme des résultats
des quatre opérations sur deux nombres: C = (a+b) +
(a-b) + (a.b) + (a/b) Voir Quatrops |
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Voir Introduction aux
nombres carrés / Explications
et démonstrations / Différence
/ Énigme des diamants
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Divisibilité Tous les carrés sont des multiples de 5
ou des multiples de 5 Le carré d'un nombre pair est divisible
par 4. Tout carré divisé par 8 donne un reste
de 0, 1 ou 4. Le carré d'un nombre impair, divisé par
8, laisse un reste de 1. Une fraction irréductible le reste lorsqu'elle est élevée au carré. Deux nombres étrangers non pas plus de diviseurs
communs lorsqu'ils sont élevés à une puissance. Exemple: (3 / 5)²
= 9 / 15 |
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Ils sont tous de la forme:
C'est une règle générale:
Exemples: 45 = 322 = 1 024
95 = 2422 = 59 049
47 = 1282 = 16 384 |
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Somme
de carrés Tout nombre est la somme d'au plus quatre
carrés. Un nombre est la somme de deux carrés si aucun
de ses facteurs +1 n'est divisible par 4. |
Voir Somme de carrés
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ÉCART Nombres quelconques: l'écart entre les carrés de deux nombres est égal
au produit de leur somme et de leur différence. E = m² - n² = (m – n)
(m + n) Deux nombres consécutifs: l'écart entre leurs carrés est un nombre
impair. E = m² – (m – 1)² = m + (m – 1) = 2m – 1 PROGRESSION Nombres sur une pandiagonale: (m² – k²) et (n² – k²): l'écart entre ces
deux valeurs est indépendante de m et de n; elle est égale au double du
produit de la différence j = m – n par le numéro de la pandiagonale k (ou h).
E = (m – k)² – (n –
k)² = 2 (m – n) k Nombres quelconques: E = (m²– k²) et (n² – k²) = (h – k)(h + k – 2m) + 2(m – n) h |
Voir Différence de carrés
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Carré
au carré L'élévation au carré
conserve la parité:
pair² =>
pair; impair² => impair. En effet: (2k)² = 4k² (2k + 1)² = 4k² + k + 1 |
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Répartition Dans [ n , 2n ], il y a toujours
un carré pour n > 1 . Exemples [
2 , 4 ] 4 [
3 , 6 ] 4 [
4 , 8 ] 4 [
5 , 10 ] 9 [
6 , 12] 9 [
7 , 14 ] 9 [
8 , 16 ] 9, 16 [
9 , 18 ] 9, 16 [
10 , 20 ] 16… Un nombre est la somme de deux carrés si aucun
de ses facteurs +1 n'est divisible par 4. Ils sont de plus
en plus rares lorsque les nombres sont de plus en plus grands. |
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Progression Aucune suite de quatre carrés n'est en |
Voir Autres propriétés des carrés
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Quels sont les
quatre plus petits nombres tels que leur somme est un carré et toutes les
sommes deux à deux sont des carrés?
La somme de tous
ces nombres est également un carré. Logique car quatre fois la somme 130²
soit 2² x 130² = (2 x 130)². |
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P4
= n² = { 1, 4, 9, 16, 25 … } Un carré est un
nombre polygonal d'ordre 4. Attention à la
notation. Cependant n'est peu utilisée qu'n mathématique supérieure lors de
généralisations. Voir Carrés des nombres de 1 à 199 Carrés et triangulaires
Tn
nombre triangulaire d'ordre
n = {1, 3, 6, 10, 15 …} Un carré est somme de deux triangulaires
successifs ou encore le double d'un triangulaire plus un nombre. Exemples sur les
premiers nombres |
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Voir Somme des impairs
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En jaune les carrés et leur position sur les colonnes de
même résidu modulo 5. Ainsi
5² = 25 = 0 mod 5 4² = 16 = 1 mod 5 etc. Façon
un peu sophistiquée de dire que 5² est divisible par 5 ou que 4² donne un
reste de 1 par la même division. |
On cherche à classer les carrés selon le reste de la division par n.
Les carrés 4 et 9 ont même résidu en mod 5. |
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Suite sur les résidus quadratiques
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Suite |
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Nombres géométriques |
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Voir |
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