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Les nombres CARRÉS ou LOSANGES Ces
nombres sont carrés car ils peuvent être arrangés en une figure géométrique
carrée ou losange. Ils
sont aussi la mesure de l'aire d'un carré géométrique. |
Angl
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Rébus: K Ré
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Voir
Pensées
& humour / Jeux / Musique
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Carrés |
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Losange |
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Dernier
nombre du carré disposé
dans un carré géométrique.
Diagonale
de la table de multiplication
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Divisibilité Un nombre pair au carré est
divisible par 4. Un nombre impair au carré,
moins 1, est divisible par 4. Pair² =
4k & Impair² = 4k + 1 Partition Un nombre carré est égal au
précédent plus son gnomon. Les carrés de deux nombres successifs sont séparés de la somme de ces
deux nombres. (n+1)² = (n)² + (n) + (n+1) Voir Écarts
entre carrés Un nombre carré Sn est égal à la
somme des n premiers nombres impairs. Voir Somme
impairs Un nombre carré est égal à la somme de deux triangulaires: son
homologue et le précédent. Un nombre différence de deux carrés est un nombre composé: N = a²- b² = (a–b) (a+b) Sauf
dans le cas où b = a+1, auquel cas cette différence est un nombre impair,
éventuellement premier. La différence entre carrés n'est jamais 2
(2k + 1). Un nombre carré est égal à huit fois un
triangulaire plus 1. Un nombre carré peut toujours s'écrire sous la forme de la somme des
résultats des quatre opérations sur deux nombres: C =
(a+b) + (a-b) + (a.b) + (a/b) Voir Quatrops La somme de k+1 consécutifs commençant par k² est égale à la somme de
k suivants. Voir ce théorème |
Le carré d'un multiple de 3 est en 3k (colonne de gauche); tous les
autres sont en 3k + 1 (colonne
centrale du tableau).
Consécutifs 4
+ 5 + 6 =
7 + 8 = 15 9
+ 10 + 11 + 12 =
13 + 14 + 15 = 42 |
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Fonction
génératrice des nombres carrés
Voir Celle des nombres
triangulaires / Fonctions
génératrices des polygonaux |
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Voir Introduction
aux nombres carrés / Explications
et démonstrations / Différence
/ Énigme des diamants
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Factorisation Un nombre carré se factorise en un nombre pair de facteurs premiers. Divisibilité Tous les carrés sont des multiples de 5
ou des multiples de 5 Le carré d'un nombre pair est divisible
par 4. Tout carré divisé par 8 donne un reste
de 0, 1 ou 4. Le carré d'un nombre impair, divisé par
8, laisse un reste de 1. Une fraction irréductible le reste lorsqu'elle est élevée au carré. Deux nombres étrangers non pas plus de diviseurs
communs lorsqu'ils sont élevés à une puissance. Exemple: (3 / 5)²
= 9 / 15 |
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Ils sont tous de la forme:
C'est une règle générale:
Exemples: 45 = 322 = 1 024
95 = 2422 = 59 049
47 = 1282 = 16 384 Illustration
Le nombre 8 est égal à la racine
carrée d'un cube ou encore à la puissance 3/2 d'un nombre. Même chose pour
tous les cubes. |
Suite = liste
des carrés portés au cube Comme 484
= 22², le suivant sera 23² = 529. Liste
des carrés successifs: 1,
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324,
361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089,
1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936 … |
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Somme
de carrés Tout nombre est la somme d'au plus quatre
carrés. Un nombre est la somme de deux carrés si aucun
de ses facteurs +1 n'est divisible par 4. |
Voir Somme de carrés
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Carré
moyenne de deux carrés Les
premières valeurs
Il y a 37 telles
égalités jusqu'à c² = 10 000. La 37e
étant:
Explications Ce sont des nombres
tels que: 2c² = n² + m² ou encore 4c² = (m – n)² +
(m + n)² De sorte que chacune
des égalités peut en engendrer une autre:
Une alternance de
fractions avec des termes qui doublent au numérateur et des puissances de 2
successives au dénominateur. Forme
générique du motif répétitif
Note Cette relation est
importante dans l'analyse des carrés magiques de nombres carrés 3x3 où la
somme des sommets opposés vaut deux fois le nombre central: x² + y² = 2 z². >>> |
Voir Équations diophantiennes/
Triplets de Pythagore
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ÉCART Nombres quelconques: l'écart entre les carrés de deux nombres est égal
au produit de leur somme et de leur différence. E = m² - n² = (m –
n) (m + n) Deux nombres consécutifs: l'écart entre leurs carrés est un nombre
impair. E = m² – (m – 1)² = m + (m – 1) = 2m – 1 PROGRESSION Nombres sur une pandiagonale: (m² – k²) et (n² – k²): l'écart entre ces
deux valeurs est indépendante de m et de n; elle est égale au double du
produit de la différence j = m – n par le numéro de la pandiagonale k (ou h).
E = (m – k)² – (n –
k)² = 2 (m – n) k Nombres quelconques: E = (m²– k²) et (n² – k²) = (h – k)(h + k – 2m) + 2(m – n) h |
Voir Différence de carrés
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Carré
au carré L'élévation au carré
conserve la parité: pair² =>
pair; impair² => impair. En effet: (2k)² = 4k² (2k + 1)² = 4k² + k + 1 |
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Répartition Dans [ n , 2n ], il y a toujours
un carré pour n > 1 . Exemples [
2 , 4 ] 4 [
3 , 6 ] 4 [
4 , 8 ] 4 [
5 , 10 ] 9 [
6 , 12] 9 [
7 , 14 ] 9 [
8 , 16 ] 9, 16 [
9 , 18 ] 9, 16 [
10 , 20 ] 16… Un nombre est la somme de deux carrés si aucun
de ses facteurs +1 n'est divisible par 4. Ils sont de plus
en plus rares lorsque les nombres sont de plus en plus grands. |
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Progression Aucune suite de quatre carrés n'est en Si
trois nombres carrés sont en progression
arithmétique, la raison d'une telle suite ne peut pas être elle
aussi un nombre carré. |
Voir Autres propriétés des carrés
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Quels sont les
quatre plus petits nombres tels que leur somme est un carré et toutes les
sommes deux à deux sont des carrés?
La somme de tous
ces nombres est également un carré. Logique car quatre fois la somme 130²
soit 2² x 130² = (2 x 130)². |
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P4
= n² = { 1, 4, 9, 16, 25 … } Un carré est un
nombre polygonal d'ordre 4. Attention à la
notation. Cependant n'est peu utilisée qu'n mathématique supérieure lors de
généralisations. Voir Carrés des nombres de 1 à 199 Carrés et triangulaires
Tn
nombre triangulaire d'ordre
n = {1, 3, 6, 10, 15 …} Un carré est somme de deux
triangulaires successifs ou encore le double d'un triangulaire plus un
nombre. Exemples sur les
premiers nombres |
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Voir Somme des impairs
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En jaune les carrés et leur position sur les colonnes de
même résidu modulo 5. Ainsi
5² = 25 = 0 mod 5 4² = 16 = 1 mod 5 etc. Façon
un peu sophistiquée de dire que 5² est divisible par 5 ou que 4² donne un
reste de 1 par la même division. |
On cherche à classer les carrés selon le reste de la division par n.
Les carrés 4 et 9 ont même résidu en mod 5. |
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Suite sur les résidus quadratiques
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Suite |
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Nombres géométriques |
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Voir |
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