NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

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Général

DIVISIBILITÉ

 

Glossaire

Général

 

 

 

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Par 504

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Sommaire de cette page

>>> Identité du nombre 504

>>> Divisibilité par 504

>>> Autre divisibilité par 504

 

 


 

DIVISIBILITÉ par 504

 

Avec trois nombres consécutifs.

 

Voir Règles générales

 

 

 

Identité du nombre 504

 

Facteurs

504  = 1 x 23 x 32 x 7

        =      7 x 8 x 9

Diviseurs

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504

Quantité

24

Somme

1 560

S - N

1 056     Nombre déficient

 

 

 

*      pair

*      composé

*      produit de trois nombres consécutifs

 

Voir Nom des nombres

Nombres géométriques

 

 

 

 

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 504

 

Trois nombres consécutifs dont le central est un cube forment un produit divisible par 504.

 

Exemples

n

c – 1

c = n3

c + 1

N = (c-1) c (c+1)

M = N / 504

2

7

8

9

504

1

3

26

27

28

19 656

39

4

63

64

65

262 080

520

5

124

125

126

1 953 000

3 875

6

215

216

217

10 077 480

19 995

7

342

343

344

40 353 264

80 066

8

511

512

513

134 217 216

266 304

9

728

729

730

387 419 760

768 690

10

999

1 000

1 001

999 999 000

1 984 125

 

 

 

 

Démonstration

Caractérisation de N

Identité remarquable

 

Ce qu'il faut démontrer

*    N = (n3 – 1) n3 (n3 + 1)

    = n3 (n6 – 1)

    = n2 (n7 – n)

 

*    N est divisible par 504 = 7 x 8 x 9
soit divisible par 7, par 8 et par 9.

Divisibilité par 8 = 23

Nombres consécutifs

 

 

*    Si n est pair alors n3 est divisible par 23.

*    Si n est impair alors son cube est impair et ses deux voisins sont pairs, de plus pairs consécutifs, donc l'un est divisible par 4; le produit des deux est divisible par 8.

 

Divisibilité par 7

7 est un nombre premier

Petit théorème de Fermat

 

*    n7  n mod 7
n7 – n est divisible par 7.

*    Or  N = n2 (n7 – n)
Alors N est divisible par 7.

Divisibilité par 9

n mod 3 = -1 ou 0 ou +1

 

 

 

 

 

 

 

 

*    Si n  0 mod 3, alors n3  est divisible par 33 = 27 et a fortiori par 9.

*    Si n  1 mod 3,
alors n3 – 1 = (n – 1) (n² + n + 1)
et   (n – 1) mod 3 = (0 – 0 ), ce facteur est divisible par 3;
et aussi (n² + n + 1) mod 3 = (1+1+1) qui est divisible par trois.
Le produit est divisible par 9.

*    Si n  – 1 mod 3,
alors n3 + 1 = (n + 1) (n² – n + 1)
et   (n + 1) mod 3 = (–1 + 1), ce facteur est divisible par 3;
et aussi (n² – n + 1) mod 3 = (1+1+1) qui est divisible par trois.
Le produit est divisible par 9.

 

 

 

 

Autre divisibilité par 504

 

(p3 - 1)  (p3 + 1)  =  p6 - 1 est divisible par 504 ( p premier > 7 ).

 

Autrement dit:

*      Le produit d'un cube plus 1 par ce cube moins 1, est divisible par 504 si le nombre porté au cube est premier supérieur à 7.

 

Exemples

p

p3

N = p6 – 1

M = N / 504

2

8

63

0,125

3

27

728

1,444…

5

125

15 624

31

7

343

117 648

233,4…

11

1 331

1 771 560

3 515

13

2 197

4 826 808

9 577

17

4 913

24 137 568

47 892

19

6 859

47 045 880

93 345

23

12 167

148 035 888

293 722

29

24 389

594 823 320

1 180 205

31

29 791

887 503 680

1 760 920

37

50 653

2 565 726 408

5 090 727

41

68 921

4 750 104 240

9 424 810

43

79 507

6 321 363 048

12 542 387

47

103 823

10 779 215 328

21 387 332

 

 

 

 

Démonstration (semblable à celle-ci-dessus)

Caractérisation de M

Identité remarquable

 

Ce qu'il faut démontrer

*    M = (p3 – 1) (p3 + 1)

    = (p6 – 1)

   

 

*    M est divisible par 504 = 7 x 8 x 9
soit divisible par 7, par 8 et par 9.

Divisibilité par 8 = 23

Nombres consécutifs

 

 

*    p est impair, son cube est impair et les termes sont pairs, de plus pairs consécutifs, donc l'un est divisible par 4; le produit des deux est divisible par 8.

 

Divisibilité par 7

Petit théorème de Fermat

Deuxième version

*    p7-1  1 mod 7
Si p est premier avec 7, ce qui est toujours le cas, car p est lui-même premier.
n7 – n est divisible par 7.

*    Or  M = p6 – 1
Alors M est divisible par 7.

Divisibilité par 9

n mod 3 = -1 ou 0 ou +1

 

 

 

 

 

 

 

 

*    Le cas p  0 mod 3, est à éliminer car p est premier.

*    Si p  1 mod 3,
alors p3 – 1 = (p – 1) (p² + p + 1)
et   (p – 1) mod 3 = (0 – 0 ), ce facteur est divisible par 3;
et aussi (p² + p + 1) mod 3 = (1+1+1) qui est divisible par trois.
Le produit est divisible par 9.

*    Si p  – 1 mod 3,
alors p3 + 1 = (p + 1) (p² – p + 1)
et   (p + 1) mod 3 = (–1 + 1), ce facteur est divisible par 3;
et aussi (p² – p + 1) mod 3 = (1+1+1) qui est divisible par trois.
Le produit est divisible par 9.

 

 


 

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