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DIVISION

 

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Divisibilité par 30 et 31

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Sommaire de cette page

>>> Divisibilité de n5 – n

>>> Divisibilité de n5 – n, avec n impair

>>> Exemples

>>> Divisibilité par 31

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 30 et 31

 

Critères de divisibilité et formes polynomiales.

 

 

Développement (pour information)

n5  – n = n (n4 – 1) = n (n2 – 1) (n2 + 1) = n (n – 1) (n + 1) (n2 + 1)

n5  – n = (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n – 1) n (n + 1)

 Voir Identités remarquables

 

 

 

Divisibilité de n5 - n

 

Remarquons ce que vaut cette expression en fonction du produit de cinq nombres consécutifs.

 

(n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2)

= (n2 – 4) (n2 –1) n

= (n4 – 4n2 – n2 + 4) n

= n5 – 5n3 + 4n

= n5 – n – 5n3 + 5n

= n5 – n –  5n (n2 – 1)

 

 

Alors considérons cette égalité de la manière suivante.

Elle est exprimée par la somme de deux termes:

L'un factorisant cinq nombres consécutifs;

L'autre factorisant trois nombres consécutifs.

n5 – n

= (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2)

             +  5n (n2 – 1)

= (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2)

        +  5 (n – 1) n (n + 1)

 

 

Or le premier terme est  le produit de cinq nombres consécutifs. Il  est divisible par 120.

1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

 

120 | (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2)

 

Le deuxième terme est le produit de 5 et de trois nombres consécutifs; il est divisible par 6 et par le facteur 5 du produit.

 

5 x 1 x 2 x 3 = 30

 

30 | 5 (n – 1) n (n + 1)

 

La somme des deux termes est divisible par le PGCD de ces deux diviseurs.

 

(120,30) = 30

 

30 | (n5 – n)

 

Voir Divisibilité par 30 (Terminale)

 

 

 

Divisibilité de n5 – n,  avec n impair

 

Dans le cas où n est impair, le deuxième terme de l'adition possède une propriété supplémentaire.

Dans ce cas, le produit des trois nombres consécutifs est divisible par 24

Et multipliée par 5, ce deuxième terme est globalement divisible par 5 x 24 = 120

 

 

 

24 | (n – 1) n (n + 1) pour n impair

 

 

 

120 | 5 (n – 1) n (n + 1) pour n impair

 

 

Bilan: les deux termes sont divisibles par 120

La somme est divisible par 120, pour n impair.

 

120 | (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2)

120 | 5 (n – 1) n (n + 1) pour n impair

 

120 | (n5 – n) pour n impair

 

De plus, ces deux termes sont pairs (car divisible par 120, a fortiori par 2), leur somme est divisible par 2 et l'expression par 2 x 120 = 240

 

240 | (n5 – n) pour n impair

Note  Exemple avec n = 3 le produit des 5 consécutifs 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

                                         le produit des 3 consécutifs par 5 donne 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

                          La somme 120 + 120 = 240 ajoute une divisibilité par 2

 

 

Exemples

     

 

 

Divisibilité par 31

 

Affirmation

 

31  (25n - 1)

 

Démonstration

25n – 1 = (25)n – 1

              = (25 – 1) (25(n-1) + 25(n-2) + …  25 + 1 )

              =      31   .   k

 

 

Voir Divisibilités de 2n -1

 

 

 

 

 

Retour

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Suite

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*         Divisibilité par 37

Voir

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*           Divisibilité par nombre Récapitulatif

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