NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 18/08/2007
Débutants Division	RUBRIQUE Divisibilité	Glossaire Division
	Par 30 & 31
Voir Récapitulatif pour divisibilité par tous les nombres

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Développement (pour information)

n⁵ - n = n (n⁴ - 1) = n (n² - 1) (n² + 1) = n (n - 1) (n + 1) (n² + 1)

n⁵ - n = (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n – 1) n (n + 1)

Voir Identités remarquables

Divisibilité de n⁵ - n

-Ý-

Ø Remarquons ce que vaut cette expression en fonction du produit de cinq nombres consécutifs	(n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) = (n^2 – 4) (n^2 –1) n = (n^4 – 4n^2 – n^2 + 4) n = n^5 – 5n^3 + 4n = n^5 – n – 5n^3 + 5n = n^5 – n – 5n (n^2 – 1)
Ø Alors considérons cette égalité de la manière suivante Ø Elle est exprimée par la somme de deux termes § L'un factorisant cinq nombres consécutifs § L'autre factorisant trois nombres consécutifs	n^5 – n = (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) + 5n (n^2 – 1) = (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n – 1) n (n + 1)
Ø Or le premier terme est le produit de cinq nombres consécutifs. Il est divisible par 120	1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 120 | (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2)
Ø Le deuxième terme est le produit de 5 et de trois nombres consécutifs; il est divisible par 6 et par le facteur 5 du produit	5 x 1 x 2 x 3 = 30 30 | 5 (n – 1) n (n + 1)
Ø La somme des deux termes est divisible par le PGCD de ces deux diviseurs	(120,30) = 30 30 | (n^5 – n)

Divisibilité de n^5 – n, avec n impair		-Ý-
Ø Dans le cas où n est impair, le deuxième terme de l'adition possède une propriété supplémentaire ü Dans ce cas, le produit des trois nombres consécutifs est divisible par 24 Ø Et multipliée par 5, ce deuxième terme est globalement divisible par 5 x 24 = 120	24 | (n – 1) n (n + 1) pour n impair 120 | 5 (n – 1) n (n + 1) pour n impair
Ø Bilan: les deux termes sont divisibles par 120 Ø La somme est divisible par 120, pour n impair	120 | (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) 120 | 5 (n – 1) n (n + 1) pour n impair 120 | (n^5 – n) pour n impair
Ø De plus, ces deux termes sont pairs (car divisible par 120, a fortiori par 2), leur somme est divisible par 2 et l'expression par 2 x 120 = 240	240 | (n^5 – n) pour n impair
Note Exemple avec n = 3 le produit des 5 consécutifs 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 le produit des 3 consécutifs par 5 donne 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 La somme 120 + 120 = 240 ajoute une divisibilité par 2

Exemples		-Ý-
	n P P/240 3 240 1 5 3120 13 7 16800 70 9 59040 246 11 161040 671 13 371280 1547 15 759360 3164 17 1419840 5916 19 2476080 10317 21 4084080 17017 23 6436320 26818 25 9765600 40690 27 14348880 59787 29 20511120 85463 31 28629120 119288 33 39135360 163064 35 52521840 218841 37 69343920 288933 39 90224160 375934 41 115856160 482734 43 147008400 612535 45 184528080 768867 47 229344960 955604 49 282475200 1176980 51 345025200 1437605 Exemple 5^5 – 5 = 3 120 = 240 x 13

Divisibilité par 31

-Ý-

Affirmation

31 | (2⁵ⁿ - 1)

Démonstration

Calculons

2^5n - 1 = (2^5)^n – 1 = (2^5 – 1) (2^5(n-1) + 2^5(n-2) + … 2^5 + 1 ) = 31 . k

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-Ý-	Voir	§ Divisibilité – Index § Divisibilité par nombre – Récapitulatif
	Aussi	§ Diviseurs