NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/06/2016 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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DIVISION en Terminale

On la connaît bien, sinon se reporter à la page débutant.

Voir division pour une théorie plus complète.

Cette page est spécialement adaptée au niveau requis en terminale spécialité maths.

Notations: on ne sait jamais où les chercher !

Division de a par b	a divise b	Valeur absolue de a	PGCD de (a, b)	PPCM de (a, b)
a / b	ab	a	(a, b)	[a, b]

Voir Division – Approche

I) Rappels de cours

Divisibilité

PGCD et PPCM

II) PGCD et PPCM

Illustration – Exemple avec 12 et 10

Méthode

Exercice

Calcul de PGCD -
Calculez le PGCD et le PPCM de (58 520, 5 460). Utilisez l'algorithme d'Euclide. À chaque étape (i), A prend la valeur de B; B est le reste de la division A/B. Le tableau ci-contre est pratique. La colonne de droite donne Q le quotient de A par B. De sorte que le reste à placer dans la colonne B est égal à A – QB. Cette disposition peut très facilement s'implémenter sur un tableur.

Anglais: GCD: greatest common divisor and LCM: least common multiple

III) DIVISIBILITÉ

Divisibilité par 9
Division des puissances de 10 par 9:
Nombre quelconque explicité:	N = …+ 1 000 m + 100c + 10d + u	2367
Congruence (37):	N …+ m + c + d + u	2 + 3 + 6 + 7 = 18
Divisibilité:	N divisible par 9 si … + m + c + d + u l'est.	18 est divisible par 9 2367 l'est également.
Vous remarquerez que, en passant dans le monde des congruences, on peut remplacer les nombres par leur valeur congrue de même modulo: 1000 x m 1 x m = m (9). On lit: mille fois m est congru à 1 fois m, soit m, modulo 9.

Voir Divisibilité par 9 / Preuve par 9 / DicoNombre 9

Divisibilité par 37
Division de 10^n par 37:
Nombre quelconque (3 chiffres):	N = 1 000 m + u	1000 x 456 + 765
Congruence (37):	N 1 x m + u	1 x 456 + 765 = 1 221
Divisibilité:	N divisible par 37 si m + u l'est.	1 221 = 33 x 37

Voir Divisibilité par 37 / DicoNombre 37

Divisibilité de N = n^5 - n par 30
Pour n = 0 et n = 1	n^5 – n = 0 – 0 = 0 n^5 – n = 1 – 1 = 0
Pour n > 1 En développant avec les identités remarquables, cette expression se présente comme au moins le produit de trois nombres consécutifs.	n^5 – n = n (n^4 – 1 ) = n (n² – 1) (n² + 1) = n (n – 1) (n + 1) (n² + 1) = (n – 1) n (n + 1) (n² + 1)
Parmi trois nombres consécutifs, au moins un est pair et un autre est divisible par 3. Les nombres 2 et 3 étant premiers entre eux, le produit est divisible par leur produit.	(n – 1) n (n + 1) 2 x 3 = 6
Divisibilité par 5? Le reste de la division par 5 peut prendre toutes les valeurs de 0 à 5. Voyons chaque cas.	n = 5k N div. par 5
Restes 1 ou 4, ce dernier étant équivalent à un reste de -1.	n = 5k + 1 n – 1 div. par 5 N div. par 5 n = 5k + 4 n + 1 div. par 5 N div. par 5
Restes 2 ou 3. On fait intervenir n² + 1 dans le développement de N.	n = 5k + 2 n² + 1 = (5k + 2)² + 1 = 25k² + 20k + 4 + 1 =5 (5k² + 4k + 1) div. par 5 N div. par 5 Même type de calcul n = 5k + 3 n² – 1 div. par 5 N div. par 5
Dans tous les cas N est divisible par 5 Il est aussi divisible par 6 qui est premier avec 5.	30 n^5 – n

Voir Divisibilité de n⁵ – n / DicoNombre 30

Divisibilité de N = 7^n – 2^n par 5
Démonstration de cette propriété par récurrence
Initialisation Pour n = 0, N est divisible par 0	N0 = 7^0 – 2^0 = 1 – 1 = 0
Hérédité On suppose la propriété vraie pour un certain rang n = k	Nk = 7^k – 2^k est divisible par 5 (hypothèse) = 5a
Au rang k + 1	Nk+1 = 7^k+1 – 2^k+1 = 7 x 7^k – 2 x 2^k = (5 + 2) x 7^k – 2 x 2^k = 5 x 7^k + 2 x 7^k – 2 x 2^k = 2 (7^k – 2^k) + 5 x 7^k
En remplaçant	Nk+1 = 2 x 5a + 5 x 7^k = 5 (2a + 7^k)
Nous sommes en présence de nombres entiers. Nk+1 est divisible par 5	La propriété est vraie au rang k + 1 si elle est vraie au rang k: elle est héréditaire.
Bilan La proposition est héréditaire, or elle est vraie pour n = 0	La proposition est vraie quelle que soit la valeur de n.

Voir Divisibilité de aⁿ – bⁿ / DicoNombre 5

Suite	Application (PGCD, algorithme d'Euclide) Nombres premiers entre eux (ou étrangers)
Autour	La division en pratique c'est quoi? – Débutant La division en résumé c'est quoi? – Glossaire Divisibilité par un nombre donné Sujets du bac – Index
Voir	Cryptage Des jeux sur les partages Jeux et puzzles – Index L'arithmétique de l'horloger – Congruence / Modulo Le calcul mental Théorie des nombres – Index
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