NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

 

Index général

 

>>> INDEX

 

Index divisibilité

Divisibilité par 24

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Produit de quatre nombres consécutifs

>>> Carrés moins un

>>> Démonstration

>>> Exemples

>>> Extension

>>> Cas de p² - q²

>>> Expression divisible par 24

>>> Trois nombres consécutifs

 

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 24

 

Formes polynomiales divisibles par 24.

 

Exemple

Le produit de trois nombres consécutifs

(n – 1) n (n + 1) = n3 – n

dont le central est impair, est divisible par 24.

 

 

 

Produit de quatre nombres consécutifs

 

Le produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 24.

En effet, parmi eux:

*    un est divisible par 2,

*    un est divisible par 3, et

*    un est divisible par 4.

 

Le nombre résultant est un nombre polytope:

 

Quatre cinquièmes de ces nombres sont aussi divisible par 120. Ceux qui ne le sont pas sont en 4 + 5k.

 

 

 

 

Carrés moins un

n2 – 1 est divisible par 24

 

*    pour tout n premier > 3.

*    pour tout n impair non multiple de 3.

Autrement-dit:

Le carré de tout nombre premier supérieur à 3

est de la forme 24k + 1.

Voir Extension / Nombres carrés / Premiers

 

 

  Démonstration

Outils utilisés


 

*    Tous les nombres premiers, sauf 2

sont impairs.

*    Le produit de deux nombres pairs successifs

est divisible par 8, car l'un l'est par 2 et l'autre par 4.

*    Petit théorème de Fermat: pour tout p premier et tout n premier avec p.

n p – 1 – 1 est divisible par p.

Démonstration

N = n2 – 1 = (n + 1) (n – 1)

*    Si n est un nombre premier supérieur à 3:

n est impair.

*    n + 1 et n – 1 sont deux nombres pairs successifs.

Leur produit N est divisible par 8.

*    Fermat à l'œuvre:

N = n2 – 1 = n(p – 1) – 1 avec p = 3

*    Avec p = 3 , nombre premier, naturellement premier avec n.

N est divisible par 3.

*    Conclusion

N, divisible par 8 et par 3, est divisible par 24.

Généralisation

 

*    n est premier peut être remplacé par

n est impair non multiple de 3.

*    Le petit théorème de Fermat le permet

n doit simplement être premier avec 3.

 

 

 

Exemples

 

Cas où n = premier



Tous les cas jusqu'à 100

 

 

Statistiques

 

 

 

Extension


 
Formes voisines

Les dernières colonnes indiquent la raison

Voir Factorielles tronquées / Nombres consécutifs impairs / Carré des impairs moins un

 

 

Explications

*    Pour la forme en n² – 1  

*    Nous retrouvons les deux cas démontrés ci-dessus.

*    Dans le cas où n est quelconque, seule s'applique la propriété nombres pairs consécutifs.

*    En multipliant cette forme par n on obtient n3 – n  qui se factorise en (n-1) n (n+1)

*    produit de trois nombres consécutifs

*    toujours divisible par 6

*    On pourrait faire appel à Fermat pour trouver le même résultat: n3 - n est divisible par 3, car 3 est bien premier.

*    Dans le cas où n est impair, les deux autres sont pairs

*    soit deux pairs successifs dont le produit est divisible par 8.

*    le troisième nombre est divisible par 3, car parmi 3 nombres consécutifs l'un d'eux est divisible par 3.

*    La forme n3 – n est divisible par 8 x 3 = 24 si n est impair.

 

Voir Divisibilité par 24

 

 

 

CAS de p² - q²

 

Théorème

 

p² – q² est divisible par 24 pour tout p et q premier > 4

 

 

Démonstration

*    p et q sont premiers et nous avons vu que:

p² = 24k +1

q² = 24k' + 1

*    La différence est divisible par 24:

p² - q² = 24 (k – k')


 
Exemples

 

 

 

EXPRESSION divisible par 24

*    Montrez que 24 divise l'expression:

 m = 2 . 7n + 3 . 5n - 5

Démonstration par induction

>>>

*    Pour k = 1, c'est vrai

2 . 7 + 3 . 5 – 5 = 14 + 15 – 5 = 24

*    Supposons la formule vraie pour k.
L'est-elle pour k + 1?

m' = 2 . 7k+1 + 3 . 5k+1 – 5

     = 2 . 7k . 7 + 3 . 5k . 5 – 5

     = 7 ( 2 . 7k + 3 . 5k – 5) – 6 . 5k + 30

     = 7m  6 . 5k + 30

*    Pour k = 1

(La barre verticale veut dire divise)

m' = 7m

                 Or 24 | m

*    Pour k > 1

Le premier terme de m' est divisible par 24 selon notre hypothèse.

Il s'agit de démontrer que le deuxième terme est divisible par 24.

    6 . 5k + 30

= 30 (5k-1 – 1)

=  30 (5 – 1) (5k-2 + 5k-3 + … + 5 + 1)

=  30 x 4 (5k-2 + 5k-3 + … + 5 + 1)

                 Or 24 | (30 x 4)

 

Exemples

 

 

Variante de la démonstration

(plus d'explications)

Validation du point de départ

 

*    Valeur pour f(1).

 

Le théorème est donc vrai pour n = 1.

f(1)

= 2 . 7 + 3 . 5 - 5
= 14 + 15 - 5
= 24

Validation de la récurrence

 

*    Supposons le théorème vrai pour n.

 

f(n)

= 24 .k

*    Calculons la valeur pour n+1.

*    Sortons les puissances comme indiqué.

On essaie de dégager des exposants identiques à ceux de f(n).

f(n+1)

= 2 . 7 (n+1) + 3 . 5 (n+1) - 5

= 7 .2 . 7 n + 5 . 3 . 5 n - 5

*    Calculons la différence indiquée.

7 f(n) - f(n+1)

= - 7 .2.7 n - 5 . 3.5 n + 5

+ 7 . 2.7 n + 7 . 3.5 n - 7 . 5

=        2 . 3 . 5 n - 6 . 5

=     6 . 5 n - 6 . 5

*    Sortons une puissance de 5.

 

=     6 . 5 . 5 n-1 - 6 . 5

=         30 (5 n-1 - 1)

*    Premier cas: n = 1

*    Or f(1) = 24.

*    Ce cas, nous donne simplement la valeur de f(2).

7 f(1) - f(2)

7 . 24 - f(2)

f(2)

= 30 (1 - 1)

= 0

= 24 . 7

*    Cas général: n > 1

*    Calculons la parenthèse.

7 f(n) - f(n+1)

5 n-1 - 1

= 30 (5 n-1 - 1)

= (5-1) (5n-2 + 5n-3 +…+ 5 + 1)

= 4 . h

*    Reprenons la différence.

*    Note: la différence est divisible par 120.

*    Cette valeur ne peut pas être retenue car la propriété n'est pas vérifiée pour n = 1.

7 f(n) - f(n+1)

 

= 30 (5 n-1 - 1)

= 30 . 4 . h

= 120 . h

= 24 . 5 . h

*    La différence est divisible par 24.

*    L'un des termes de la différence est divisible par 24 (notre hypothèse).

*    L'autre terme doit l'être aussi pour assurer la divisibilité de la différence.

f(n)

 

 

 

 

f(n+1)

= 24 . k

 

 

 

 

= 24 . h

Conclusion

 

 

 

Si la propriété est vraie pour une valeur (n), elle est vraie pour la valeur suivante (n + 1)
Or elle est vérifiée pour n = 1.
Elle est vraie pour tous les nombres suivants.

 

 

 

 

TROIS NOMBRES CONSÉCUTIFS (n impair)

 

Théorème

 

Le produit de trois nombres consécutifs dont le central est impair est divisible par 24.

 

Démonstration par induction >>>

 

m = n (n² – 1) = (n – 1) n (n + 1)

 

est divisible par 24 si n est impair.

*    Pour k = 1, c'est vrai.

m = 0  et 24 | 0

        Même si ce résultat est trivial.

*    Supposons la formule vraie pour (2k – 1). L'est-elle pour (2k + 1)?

m = (2k – 2) (2k – 1) (2k)

m' = 2k (2k + 1) (2k + 2)

*    Cherchons à isoler m dans m'.

m' = 2k (2k + 1) (2k + 2)

     = (2k – 2 + 4) (2k – 1 + 2) 2k

*    En développant tout en conservant les termes de m.

Chaque terme est divisible par 24.

La somme est divisible par 24.

CQFD.

   = { (2k – 2) (2k – 1) + (2k – 2) 2

                                     + 4 (2k – 1) + 8) } 2k

   = m + (4k - 4 + 8k – 4 + 8) 2k

   = m + (12k) 2k

   = m + 24

 

Exemples

 

 

 

Suite

*        Découpe du cercle: formule divisible par 24

*         Formes polynomiales en général

*         Voir haut de page

Voir

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