NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 27/05/2010

Débutants	-Ý- RUBRIQUE: DIVISIBILITÉ				Glossaire
§ Retour INDEX		§ Par 24	§ Voir Récapitulatif
Sommaire de cette page >>> PROPRIÉTÉS >>> DÉMONSTRATION >>> EXEMPLES >>> EXTENSION >>> CAS de p² - q² >>> EXPRESSION Divisible par 24 >>> TROIS NOMBRES CONSÉCUTIFS				Pages voisines § Fermat § Nombres magiques § Théorie des nombres

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DIVISIBILITÉ par 24

Formes polynomiales divisibles

Exemple

Le produit de trois nombres consécutifs

(n – 1) n (n + 1) = n³ - n

dont le central est impair, est divisible par 24

Voir Règles générales

-Ý - PROPRIÉTÉS

Théorème

n^2 - 1 est divisible par 24	Condition classique § pour tout n premier > 3
	Plus général § pour tout n impair non multiple de 3

Voir Extension

Application

n^2 = 24 k + 1 pour tout n premier > 3 et en général, pour tout n impair non multiple de 3

5² = 24 + 1 7² = 48 + 1 11² = 120 + 1 Etc.

Voir Nombres carrés

-Ý - DÉMONSTRATION

Outils

Les nombres premiers, excepté 2	sont tous impairs
Un nombre pair Parmi deux nombres pairs successifs l'un Le produit des deux nombres pairs successifs	est divisible par 2 est divisible par 4 est divisible par 8
Petit théorème de Fermat pour tout p premier et tout n premier avec p	n ^p-1 - 1 est divisible par p

Démonstration du théorème classique

1ère étape: propriétés de divisibilité des nombres successifs
N = n^2 - 1 = (n+1) (n-1)	n est premier > 3	=> n impair
	=> n+1 et n-1 sont deux nombres pairs successifs.	=> leur produit N est divisible par 8
2^ème étape: divisibilité selon le petit théorème de Fermat
n^2 - 1 = n^(^p-1) - 1	avec p = 3 qui est premier
	et avec n premier > 3 donc premier avec p	Fermat => N est divisible 3
3^ème étape: conclusions
N = n^2- 1	est divisible par 3 et par 8, donc par leur produit 24 pour tout n premier supérieur à 3

Théorème généralisé

En réalité, ce théorème est encore plus fort
n est premier	peut être remplacé par n est impair non multiple de 3 Le petit théorème de Fermat le permet n doit simplement être premier avec 3 Exemple n² - 1 pour n = 25 donne 625 -1 = 624 = 24 x 26 25 est impair, non premier, non multiple de 3 et le théorème marche

-Ý - EXEMPLES

Illustration avec n = p nombre premier

p	p² - 1	24 .	k	Facteurs de p² - 1
2	3			3	^1
3	8			2	^3
5	24	24	x 1	2	^3	3	^1
7	48		x 2	2	^4	3	^1
11	120		x 5	2	^3	3	^1	5	^1
13	168		x 7	2	^3	3	^1	7	^1
17	288		x 12	2	^5	3	^2
19	360		x 15	2	^3	3	^2	5	^1
23	528		x 22	2	^4	3	^1	11	^1
29	840		x 35	2	^3	3	^1	5	^1	7	^1
31	960		x 40	2	^6	3	^1	5	^1
37	1368		x 57	2	^3	3	^2	19	^1
41	1680		x 70	2	^4	3	^1	5	^1	7	^1
43	1848		x 77	2	^3	3	^1	7	^1	11	^1
47	2208		x 92	2	^5	3	^1	23	^1

Tout les nombres jusqu'à 100

n² - 1 = 24 k		Théorème classique	Ce que le théorème généralisé apporte
n	n² - 1	n premier > 3	n impair non premier non multiple de 3
5	24	premier
7	48	premier
11	120	premier
13	168	premier
17	288	premier
19	360	premier
23	528	premier
25	624		composé
29	840	premier
31	960	premier
35	1224		composé
37	1368	premier
41	1680	premier
43	1848	premier
47	2208	premier
49	2400		composé
53	2808	premier
55	3024		composé
59	3480	premier
61	3720	premier
65	4224		composé
67	4488	premier
71	5040	premier
73	5328	premier
77	5928		composé
79	6240	premier
83	6888	premier
85	7224		composé
89	7920	premier
91	8280		composé
95	9024		composé
97	9408	premier
Quantité		23	9

n² - 1 = 24 k	Théorème classique	Ce que le théorème généralisé apporte
Quantité pour n < 100	23	9
Quantité pour n < 1 000	166	166
Quantité pour n < 10 000	2 105	1 227
Quantité pour n < 100 000	13 742	9 590

-Ý - EXTENSION

Formes voisines

n^3 - n	= 6 k	n quelconque	3 nombres consécutifs	(Fermat)
	= 24 k	n impair	2 pairs consécutifs
n^2 - 1	= 8 k	n impair	2 pairs consécutifs
	= 24 k	n premier > 3		Fermat
	= 24 k	n impair non multiple de 3		Fermat

Explications

§ Pour la forme en n² - 1

ü Nous retrouvons les deux cas démontrés ci-dessus

ü Dans le cas où n est quelconque, seule s'applique la propriétés nombres pairs consécutifs

§ En multipliant cette forme par n on obtient n³ - n

ü qui se factorise en (n-1) n (n+1)

Ø produit de trois nombres consécutifs

Ø toujours divisible par 6

ü On pourrait faire appel à Fermat pour trouver le même résultat:

Ø n³ - n est divisible par 3, car 3 est bien premier

§ Dans le cas où n est impair, les deux autres sont pairs

ü soit deux pairs successifs dont le produit est divisible par 8

ü le troisième nombre est divisible par 3, car parmi 3 nombres consécutifs l'un d'eux est divisible par 3

ü la forme n³ - n est divisible par 8 x 3 = 24 si n est impair

Autres formes polynomiales divisibles par 24

ü Voir Divisibilité par 24

-Ý - CAS de p² - q²

Théorème

p² - q² est divisible par 24

§ pour tout p et q premier > 4

Exemples

p	q	p²	q²	N = p² -q²	N / 24
7	5	49	25	24	1
11	5	121	25	96	4
11	7	121	49	72	3
13	5	169	25	144	6
13	7	169	49	120	5
13	11	169	121	48	2
17	5	289	25	264	11
17	7	289	49	240	10
17	11	289	121	168	7
17	13	289	169	120	5
19	5	361	25	336	14
19	7	361	49	312	13
19	11	361	121	240	10
19	13	361	169	192	8
19	17	361	289	72	3

Démonstration

Reprenons la propriété générale	p² q²	= 24k + 1 = 24k’ + 1
Retranchons La différence est bien divisible par 24	p² - q²	= 24 (k – k)

-Ý - EXPRESSION divisible par 24

Affirmation

Montrez que 24 divise l'expression suivante

m = 2 . 7ⁿ + 3 . 5ⁿ - 5

Démonstration par induction >>>

Ø Pour k = 1, § C'est vrai	2 . 7 + 3 . 5 – 5 = 14 + 15 – 5 = 24
Ø Supposons la formule vraie pour k § L'est-elle pour k + 1?	m' = 2 . 7^k+1 + 3 . 5^k+1 – 5 = 2 . 7^k . 7 + 3 . 5^k . 5 – 5 = 7 ( 2 . 7^k + 3 . 5^k – 5) – 6 . 5^k + 30 = 7m – 6 . 5^k + 30
Ø Pour k = 1	m' = 7m Or 24 | m
Ø Pour k > 1 § Le premier terme de m' est divisible par 24 selon notre hypothèse § Il s'agit de démontrer que le deuxième terme est divisible par 24	6 . 5^k + 30 = 30 (5^k-1 – 1) = 30 (5 – 1) (5^k-2 + 5^k-3 + … + 5 + 1) = 30 x 4 (5^k-2 + 5^k-3 + … + 5 + 1) Or 24 | (30 x 4)
Ø Exemples	n m m / 24 1 24 1 2 168 7 3 1 056 44 4 6 672 278 5 42 984 1 791 6 282 168 11 757 7 1 881 456 78 394 8 12 701 472 529 228 9 86 566 584 3 606 941 10 594 247 368 24 760 307

Variante de la démonstration

Théorème

f(n) = 2 . 7 ⁿ + 3 . 5 ⁿ - 5

est divisible par

24

Démonstration

Validation du point de départ
§ Valeur pour f(1) § Le théorème est vrai pour n = 1	f(1)	= 2 . 7 + 3 . 5 - 5 = 14 + 15 - 5 = 24
Validation de la récurrence
§ Supposons le théorème vrai pour n	f(n)	= 24 .k
§ Calculons la valeur pour n+1 § Sortons les puissances comme indiqué ü On essaie de dégager des exposants identiques à ceux de f(n)	f(n+1)	= 2 . 7^(n+1) + 3 . 5^(n+1) - 5 = 7 .2 . 7^n + 5 . 3 . 5^n - 5
§ Calculons la différence indiquée	7 f(n) - f(n+1)	= - 7 .2.7^n - 5 . 3.5^n + 5 + 7 . 2.7^n + 7 . 3.5^n - 7 . 5 = 2 . 3 . 5^n - 6 . 5 = 6 . 5^n - 6 . 5
§ Sortons une puissance de 5		= 6 . 5 . 5^n-1 - 6 . 5 = 30 (5^n-1 - 1)
§ Premier cas: n = 1 § Or f(1) = 24 ü Ce cas, nous donne simplement la valeur de f(2)	7 f(1) - f(2) 7 . 24 - f(2) f(2)	= 30 (1 - 1) = 0 = 24 . 7
§ Cas général: n > 1 § Calculons la parenthèse	7 f(n) - f(n+1) 5^n-1 - 1	= 30 (5^n-1 - 1) = (5-1) (5^n-2 + 5^n-3 +…+ 5 + 1) = 4 . h
§ Reprenons la différence ü Note: la différence est divisible par 120 ü Cette valeur ne peut pas être retenue car la propriété n'est pas vérifiée pour n = 1	7 f(n) - f(n+1)	= 30 (5^n-1 - 1) = 30 . 4 . h = 120 . h = 24 . 5 . h
§ La différence est divisible par 24 ü L'un des termes de la différence est divisible par 24 (notre hypothèse) ü L'autre terme doit l'être aussi pour assurer la divisibilité de la différence	f(n) f(n+1)	= 24 . k = 24 . h
Conclusion
§ Si la propriété est vraie pour une valeur (n) ü Elle est vraie pour la valeur suivante (n + 1) Ø Or elle est vérifiée pour n = 1 v Elle est vraie pour tous les nombres suivants

-Ý - TROIS NOMBRES CONSÉCUTIFS (n impair)

Affirmation

Si n est impair, montrez que 24 divise l'expression suivante

m = n (n² - 1) = (n – 1) n (n + 1)

=> 24 divise le produit de trois nombres consécutifs si le central est impair

Démonstration par induction >>>

Ø Pour k = 1, § C'est vrai	m = 0 et 24 | 0 Même si ce résultat est trivial
Ø Supposons la formule vraie pour (2k – 1) § L'est-elle pour (2k + 1)?	m = (2k – 2) (2k – 1) (2k) m' = 2k (2k + 1) (2k + 2)
Ø Cherchons à isoler m dans m'	m' = 2k (2k + 1) (2k + 2) = (2k – 2 + 4) (2k – 1 + 2) 2k
Ø En développant tout en conservant les termes de m Ø Chaque terme est divisible par 24 § La somme est divisible par 24 Ø CQFD	= { (2k – 2) (2k – 1) + (2k – 2) 2 + 4 (2k – 1) + 8)} 2k = m + (4k - 4 + 8k – 4 + 8) 2k = m + (12k) 2k = m + 24 k²
Ø Exemples	n m m / 24 1 - - 2 6 0,25 3 24 1,00 4 60 2,50 5 120 5,00 6 210 8,75 7 336 14,00 8 504 21,00 9 720 30,00 10 990 41,25 11 1 320 55,00 12 1 716 71,50 13 2 184 91,00 14 2 730 113,75 15 3 360 140,00 16 4 080 170,00 17 4 896 204,00 18 5 814 242,25 19 6 840 285,00 20 7 980 332,50

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	Voir	§ Nombre 24