NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 7

Démo. Div. 7

Critères généraux

 

 

Sommaire de cette page

 

>>> Démonstration

>>> Relations avec divisibilité par 7

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 7, 11 et 13

 

Méthode par tranches de milliers. La méthode est valable pour tester la divisibilité d'un nombre par 7 ou par 11 ou par 13, bénéficiant de la même propriété: chacun divise 1001. La démonstration emploie la notion de congruence (modulo), en fait ni plus ni moins que les restes des divisions par 7, 11 ou 13. 

 

 

Divisibilité de N par D = 7, 11 ou 13

Exemple avec D = 7

Propriété 1

{7,11, 13}

premiers avec 10.

Ce qui veut dire

10, 100, 10k

ne sont pas divisibles par 7.

Pour tout N et pour toute puissance k de 10

Si 7 divise N

Si 7 ne divise pas N

alors 7 divise N x 10k

alors 7 ne divise pas N x 10k

Propriété 2

7 x 11 x 13

= 1001

Division

et expression en modulo

1 000

= 7 x 143 – 1 

= – 1 mod 7 (ou 11 ou 13)

Pour un million

1 000 000

= 1 000 x 1 000

= (– 1 mod 7) x (– 1 mod 7)

= (+ 1 mod 7)

Pour toute puissance de 1000

 

En formalisant:

si k est pair alors k mod 2 = 0 et

si k est impair k mod 2 = 1.

1 000kimpair

1 000kpair

 

1  000k

 

= – 1 mod 7

= + 1 mod 7

 

= (–1)k mod 2 mod 7 (ou 11 ou 13)

Conclusion 1

Toute tranche de milliers divisible par 7, 11 ou 13

donnera un reste 1, alternativement positif et négatif.

Prenons un nombre comportant trois tranches de milliers

N

= 10002 C + 10001 B + 10000 A

En division par 7 (mod 7)

N mod 7

= (–1) C + (+1) B + (–1) A

= –C + B  –A

Et d'une manière générale

N

 

N mod 7

= 1000k mk + 1000k-1 mk-1 +…+ 10001 m1 + m0

= (–1)k mod 2  mk + (–1)k-1 mod 2 mk-1 +…+  m1 – m0

Conclusion 2 et finale

Le reste de la division par 7 (ou 11 ou 13) d'un nombre

est égale à la somme alternée en signe de ses tranches de milliers.

 

 

 

Relations avec divisibilité par 7

Nombre à deux chiffres

 

Soit DU un nombre divisible par 7, alors: UD + D est divisible par 7.

 

14 = 7 x 2    41 + 1 = 42 = 7 x 6

21 = 7 x 3    12 + 2 = 14 = 7 x 2

28 = 7 x 4    82 + 2 = 84 = 7 x 12

35 = 7 x 5    53 + 3 = 56 = 7 x 8

Etc.

 

 

Nombre à trois chiffres

 

Soit CDU un nombre divisible par 7, alors: UDC – (U – C) est divisible par 7.

 

105 = 7 x 15    501 – (5 – 1) = 497 = 7 x 71

112 = 7 x 16    211 – (2 – 1) = 210 = 7 x 30

119 = 7 x 17    911 – (9 – 1) = 903 = 7 x 129

126 = 7 x 18    621 – (6 – 1) = 616 = 7 x 88

Etc.

 

Nombre à quatre chiffres

 

Soit MCDU un nombre divisible par 7, alors: UDCM + M – D – U est divisible par 7.

 

1001 = 7 x   143    1001 + 1 – 1 = 1001

1008 = 7 x   144    8001 + 1 – 8 = 7994 = 7 x 1142

8638 = 7 x 1234    8368 + 8 – 3 – 8 = 8365 = 7 x 1195

Etc.

Démonstrations

Soit N à deux chiffres,  divisible par 7:

N = 10d + u = 7k

u = 7k – 10d

Et M, le retourné plus la dizaines

M = 10u + d + d = 10u + 2d

    = 10(7k – 10d) + 2d

    = 70k – 100d + 2d

    = 70k – 98d

    = 7 (10k – 14d)  Divisible par 7     

Soit N à trois chiffres,  divisible par 7:

N = 100c + 10d + u = 7k

u = 7k – 100c – 10d

Et M, le retourné plus centaine moins unité:

M = 100u + 10d + c + c – u

    = 99 (7k – 100c – 10d) +10d + 2c

    = 7 x 99k – 9900c + 2c – 990d + 10d

    = 7 x 99k – 9884c – 980d

    = 7 (99k – 1412c – 140d) Divisible par 7     

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Divisibilité par 7

*         Divisibilité par 11

*         Divisibilité par 13

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Voir

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*         Théorie des nombresIndex

Site

*         Divisibility by 7, 11 and 13 – by Alexander Bogomolny

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divisi7D.htm