NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

 

Index général

 

>>> INDEX

 

Index divisibilité

Par 11

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> La règle sur un exemple

>>> Approche

>>> Onze et puissances de 10

>>> Racine numérique par 11

>>> Divisibilité par 11

>>> Preuve par 11

>>> Nombres en  xyyx, xxxx, abcabc

>>> Divisibilité de formes

>>> Pannumériques divisibles par 11

 

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 11

 

Pour trouver si un nombre est divisible par 11, il faut chercher son reste dans la division par 11 et, constater qu'il est nul. Faire la division c'est bien, mais c'est long !

Existe-t-il une astuce pour aller plus vite, sans effectuer l'opération ? Oui, et elle est relativement simple. Elle repose sur une particularité liant 11 à 100:

100 =       99 + 1

       = 11 x 9 + 1

Il y a un 11 caché dans 100 !

 

 

Règle de divisibilité par 11

 

La règle est illustrée par cet exemple:

 

 

Un nombre est divisible par 11 si la somme de ses chiffres de rang pair soustraite de la somme de ses chiffres de rang impair est nulle ou un multiple de 11.

 

 

Amusements

Un nombre palindrome ou,  a fortiori, un repdigit ayant une quantité paire de chiffres est divisible par 11.

 

Exemples:

     N = 123321;    P = 1+3+2 = 6 ;   I = 2+3+1 = 6;       P – I = 0.

     N = 777777;   P = 7+7+7 = 21 ; I = 7+7+7 = 21;     P – I = 0.

 

Un nombre de deux chiffres ajouté à son retourné est divisible par 11. Exemple: 23 + 32 = 55 = 5 x 11. >>>

Un nombre ajouté à son retourné est divisible par 11 si la quantité de chiffres est paire.

     1289 + 9821 = 11 110

     567891 + 198765 = 766 656 = 11 x 69 696

 

 

Nombres de quatre chiffres divisibles par 11

 

Trois chiffres sur quatre sont fixés.

Quel est le quatrième pour que le nombre soit divisible par 11?

 

Exemples

123x => 1 + 2 = 4 et 2 + x = 4 => x = 2. En effet: 1232 = 11 x 112

5x26 => 5 + 2 = 7 et x + 6 = 7 => x = 1. En effet: 5126 = 11 x 466

Voir Divisibilité par 11, 101, 111 …

 

 

 

APROCHE – Reste de la division par 11

 

*      Comment trouver le reste d'une division par 11 sans effectuer l'opération. Une astuce consiste à trouver 11 et ses multiples dans le nombre pour les éliminer aussitôt.

 

Exemples:

 

*      Pour rechercher la divisibilité par 11, seul importe le reste R; la valeur de k ne nous intéresse pas.

Chaque fois que l'on peut trouver un multiple de 11, on l'élimine.

Parfois, on ajoute 11, pour éviter un nombre négatif.

L'astuce que nous allons examiner, consiste à considérer les puissances de 10.

 

Voir Modulo

 

ONZE ET PUISSANCES DE 10

 

*      La question que nous nous posons est: quels sont les restes de la division par 11 des puissances de 10.

 

 

Le reste de la division par 11 de 10n est
1
pour n pair     &   –1 pour n impair.

 

 

 

RACINE NUMÉRIQUE PAR 11

 

*      La racine numérique par 11 d'un nombre N est le reste de la division par 11 de ce nombre. L'intérêt réside dans le fait que celle-ci est facile à calculer comme nous allons le découvrir progressivement.

*      L'idée est qu'il faut retirer autant de fois 11 qu'on le peut.

 

Exemples:

  13 =>   13 – 11  = 2

  25 =>   25 – 22  = 3

100 => 100 – 99  = 1

 

*      Ce qui veut dire, pour ce dernier exemple que: 100 divisé par 11 donne 1 pour reste: 100 = 9 x 11 + 1

 

Racine numérique par 11 de 100 = R11 (100) = 1.

 

Formalisation pour un nombre N

 

Voir Numération / Système décimal

 

*      Observez que seuls les chiffres sont utilisés pour former la racine numérique par 11. Sur cet exemple, 256 / 11 donne un reste de 3.

 

Règle

 

*      Sur ce principe et en prenant directement les racines numériques des puissances de 10, on arrive facilement à établir la règle suivante

*      La racine numérique par 11 d'un nombre est la différence entre:

*      la somme des chiffres de rang pair, et

*      la somme des chiffres de rang impair.

 

 

Exemple

N = 123456

R11 = (6 + 4 + 2) – (5 + 3 + 1) = 12 – 9 = 3

En effet: 123456 = 11 223 x 11 + 3

 

Méthode alternative (plus pratique)

 

*      Faire le calcul par couple de chiffres.

 

 

Exemple

N = 123456

R11 = (6 - 5) + (4 - 3) + (2 - 1) = 1 + 1 + 1 = 3

 

*      Se souvenant que la quantité de 11 ne compte pas, lorsque la soustraction donne un nombre négatif:

*      soit on le garde;

*      soit on ajoute 11.

 

Exemple pratique

N = 4 993 260 817   R11 = ?

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 11

 

*      Une première application du calcul de la racine numérique consiste à trouver rapidement si un nombre est divisible par 11.

 

Un nombre est divisible par 11 si

sa racine numérique par 11 est nulle.

 

Voir Formulation développée

 

Exemple général

 

N = 181 907

R11 = (8-1) + (9-1) + (7-0) = 7 + 8 + 7 = 22 => 0 Divisible par 11.

 

Exemple avec divisibilité reconnaissable au premier coup d'œil

 

N = 333 333

R11 = (3-3) + (3-3) + (3-3) = 0 => Divisible par 11.

 

N = 484

R11 = 4 + 4 – 8  => Divisible par 11.

 

N = 913

R11 = 9 + 3 – 1 => Divisible par 11.

 

 

Méthode par tranche de milliers

 

Cette méthode, valable pour les divisibilités par 7, 11 et 13, consiste à faire la somme des tranches paires de milliers diminuée de la somme des tranches impaires.

Ex: 1 358 024 679  1 + 24 – 358 – 679 = -1012 et 1012 = 11 x 92.

Ou 1012 avec méthode classique  1 + 1 = 0 + 2  divisible par 11.

 

 

 

PREUVE PAR 11

 

Principe

*      Si une opération est juste,
Son image en racine numérique par 11 est juste.
L'inverse n'est pas vrai: si l'image est juste, l'opération n'est pas forcément juste.

*      La preuve par 9 est un peu plus pratique; elle est plus utilisée.
Attention: comme pour celle-ci, la preuve par 11 donne une bonne indication sur la justesse d'une opération, mais n'en confirme pas la justesse à 100%.

 

Procédé

*      On prend la racine de chaque terme, on effectue l'opération sur ces racines, et

On compare à la racine du résultat de la vraie opération.

 

 

*      La preuve par 11 permet à coup sûr de retrouver un chiffre manquant dans une opération. Voir application au calcul des racines cubiques

 Voir Fondements de la preuve par 11

 

 

NOMBRES en  xyyx, xxxx, abcabc

 

 

*      R11 (abba) = (a-b) + (b-a) = 0
5665 = 11 x 515

 

Tous les nombres en abba

sont divisibles par 11.

 

*      Plus généralement:
R11 (abcddcba) = (a+c+d+b) – (b+d+c+a) = 0
12 344 321 = 11 x 1 122 211

 

Tous les nombres, formés d'un nombre

concaténé à son retourné,

sont divisibles par 11.

 

*      Ou encore, dans la même veine
R11 (abcd + dcba) = (a+d) – (b+c) + (c+b) – (d+a) = 0
4 567 + 7 654 = 12 221= 11 x 1111

 

Tous les nombres, somme d'un nombre ayant une quantité paire de chiffres et de son retourné,

sont divisibles par 11.

Voir Premiers de Luhn

 

 

*      R11 (aaaa) = 1111 a = 11 x 101 x a
9999 = 11 x 909

 

Tous les nombres en aaaa

sont divisibles par 11 et par 101.

 

*      R11 (abccba) = (a + c + …) – ( … + c + a)

4554 = 11 x 414

 

Tous les nombres palindromes

à quantité paire de chiffres

sont divisibles par 11.

 

*      R11 (abcabc) = a – b + c  … – a + b – c = 0

123123 = 11 x 11 193

 

Tous les nombres à répétition d'un groupe de chiffres en quantité impaire

sont divisibles par 11.

 

 

Divisibilité de 3n+3 – 44n+2 par 11

*    Valeur pour n = 0

30+3 – 44x0+2 = 33 – 42 = 27 – 16 = 11

La divisibilité est vraie pour n= 0.

*    Valeur pour n + 1

3(n+1)+3 – 44(n+1)+2 = 3n+4 – 44n+6

*    But: faire émerger la forme en n

= 3n+3 x 3 – 44n+2 x 44

*    Favoriser une mise en facteur  de notre forme en n

= 3n+3 x 3 – 44n+2 x 256

= 3n+3 x 3 – 44n+2 x (253 + 3)

= (3n+3 – 44n+2) x 3 + 44n+2 x 253

Chance? 253 = 11 x 23

*    Combinaison linéaire de deux termes avec coefficient entiers.

= (3n+3 – 44n+2) x 3 + 44n+2 x 11 x 23

*    Divisibilité par 11 de chacun des termes de la somme

(3n+3 – 44n+2) x 3 + 44n+2 x 11 x 23

Si ce premier terme est divisible par 11, alors toute l'expression est divisible par 11.

 

*    Conclusion

 Si l'expression est divisible par 11 pour n, elle est aussi pour n+1.
Or elle est vraie pour n = 0.

 

 Par voie d'héritage, la propriété est vraie pour tout n.

 

*    Généralisation

3n+3 – 44n+2

La relation de divisibilité est vraie pour d'autres valeurs des termes additifs en rose.

Si 0 et 0 + 5k divisible par 11

Si 1 et 4 + 5k divisible par 11

Si 2 et 3 + 5k divisible par 11

Si 3 et 2 + 5k divisible par 11 …

Divisible par 77 pour {0, 0}P, {1, 4}I, {2, 8}P, {3, 12}I, {4, 1}P… L'indice impose que n soit pair ou impair.

Voir Démonstration par récurrence

 

 

Pannumériques divisibles par 11

Les deux nombres pannumériques les plus simples ne sont pas divisibles par 11.

123 456 789 ou 987654321

p   = 2 + 4 + 6 + 8 = 20

q   = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

s = p + q = 45

 

Min et Max

Quel est le plus grand nombre pannumérique divisible par 11? Le plus petit?

 

Une recherche qui allie:

*      le raisonnement,

*      la clé de divisibilité par 11, et

*      le tableur qui permet de tester rapidement les solutions.

 

La somme de tous les chiffres est s = 45. Quelles sont les valeurs de p et q telles que  p + q = 45 et p – q = 0 mod 11. Deux possibilités:
(6 + 39) et  (17 + 28).

La somme 1 + 2 + 3 + 4 + 0  = 10 est supérieure à 6; le premier couple est éliminé.

Le tableau montre comment parvenir à la solution en testant les derniers chiffres.

 

En procédant de la même manière, on trouve les plus petits avec ou sans le 0. Solution un peu plus difficile  à trouver.

 

Sur les 10!  = 3 628 800 permutations des dix chiffres, 316 800 sont divisibles par 11.

 

Pannumériques partiels et divisibilité par 11

 

   987 652 413 = 11 x 89 786 583

9 876 524 130 = 11 x 897 865 830

Les plus grands pannumériques divisibles par 11

À partir de la configuration maximale montrant un écart de 5, on passe à la configuration du dessous en remarquant qu'il faut retirer 3 à 20 et ajouter 3 à 25.

 

 

   123 475 869 = 11 x 11 225 079

Le plus petit pannumérique divisible par 11 (sans 0)

 

 

1 024 375 869 = 11 x 93 125 079

Le plus petit pannumérique divisible par 11 (avec 0)

Le 0 est placé juste après le 1 pour le rendre significatif.

Ayant placé les 1, 2, 3 et 4, il faut faire 7 en deux nombres plus grands que 4, ce qui est impossible.

Ayant placé les 1, 2 et 3, il faut faire 11, ce qui est faisable uniquement avec 5 et 6. Le reste découle naturellement.

 

 

 

 

 

Suite

*    Voir haut de page

*    Multiplication par 11

*    Divisibilité par 12

*    Formes polynomiales – Divisibilité en général

Autour du 11

*    Nombre 11

*    Curiosités avec le 11

*    Divisibilité par 11 – Étude de cas

Suite

*    Décomposition des nombres

*    Diviseurs

*    Preuve par 9

*    Preuve par 9 – Débutant   

*    Racine numérique

*    Théorie des nombres

DicoNombre

*    Nombre 1 234 758 690

*    Nombre 9 876 524 130

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