NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 14/08/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 7

Démo. Div. 7

et suite …

Critères généraux

 

Sommaire de cette page

>>> Propriété des multiples de 7

>>> Petits nombres

>>> Nombres de taille moyenne

>>> Grands nombres – Paquets de 3

>>> Exemples de calcul de divisibilité par 7

>>> Grands nombres – Paquets de 2

>>> Méthode générale avec clé de divisibilité

>>> Forme divisible par 7

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 7

 

Critères de divisibilité par 7. Comment s'y prendre? Plusieurs méthodes.

 

 

Repdigit

Les repdigits de k fois six chiffres sont divisibles par 7

Au-delà des repdigits, les nombres incrémentes du repunit de k fois six chiffres sont également divisibles par 7.

Rien de magique, une fois que l'on sait que 111 111 est divisible par 7. Tous ses multiples le sont également. 

Voir Nombre 111 111

 

 

 

 

 

Choix tactique entre plusieurs méthodes

Tout nombre

Les deux méthodes les plus pratiques.

>>>

 < 4 chiffres

Soustraction de 2 fois les unités.
Efficace aussi pour grands nombres.

>>>

de 3 à 6 chiffres

Additionner 3 fois le chiffre de poids fort.

>>>

> 5 chiffres

Addition-soustraction par tranches de 3 chiffres.

>>>

         "

Multiples de 7 par tranches de 2.

>>>

Générale

Clé de divisibilité.

>>>

Curiosité

35 et  53 + 3: divisibles par 7 (Propriété générale).

>>>

 

 

Propriétés des multiples de 7

 

Observations

 

*    Construisons la table montrée ci-contre.

*       colonne 1: la suite des nombres de 1 à 20;

*       colonne 2: leur produit par 7;

*       colonne 3 et 4, les dizaines (d) et les unités (u); et

*       colonne 5: la différence entre les dizaines et deux fois les unités (sans le signe).

*    La colonne de droite produit 0, 7 ou 14, des multiples de 7.

 

Propriété

 

Pour les multiples de 7, les dizaines diminuées de deux fois les unités produisent un multiple de 7.

 

*    Si le nombre est noté 10d + u, en séparant son chiffre des unités, alors:

)

 

La barre verticale veut dire "divise"

 

Voir Divisibilité par les unités pour justification

 

 

 Petit exercice …

Un nombre de trois chiffres peut s'écrire: N = 100c + 10d + u

Ou encore:                        N = 98c + 2c + 7d + 3d + u

En factorisant:                  N = 7 (14c + d) + 2c + 3d + u

Si N est divisible par 7:      N = 7 (14c + d) + 2c + 3d + u = 7k

Ce qui implique que pour que N soit divisible par 7, il suffit que 2c + 3d + u soit divisible par 7.

Exemple avec 112: c = 1, d = 1 et u = 2; 2c + 3d + u = 7

et, effectivement: 112 = 7 x 16.

 

 

 

Pour les petits nombres

 

Méthode 1

 

*    Exploitation de la propriété exposée ci-dessus.

 

*    Soustraire deux fois le dernier chiffre au nombre sans le dernier chiffre. Si ce nombre est divisible par 7, le nombre complet l'est également.

 

 

*    Le test peut se prolonger autant que nécessaire en utilisant le résultat.

*    Pourquoi ça marche?

 

Soit N un nombre formé de toutes ses dizaines (d) et de son unité (u): N = 10d + u.

S'il est divisible par 7, alors: N  = 10d + u = 7k.

Prenons: 21u  = 3 x 7u  qui est divisible par 7 et retranchons à notre égalité:

10d + u – 21u  = 7k'

10d – 20u = 7k'

10 (d – 2u) = 7k'

Divisible par 7 que si d – 2u  est divisible par 7.

Voir Cas général

 

 

English corner

This method uses the fact that 7 divides 2x10 + 1 = 21. Start with the numeral for the number you want to test. Chop off the last digit, double it, and subtract that from the rest of the number. Continue this until you get a one-digit number. The result is 7, 0, or -7, if and only if the original number is a multiple of 7.

 

   

Pour les nombres de taille moyenne

Méthode 2 - Principe

 

*    Ajouter trois fois le nombre de gauche au suivant.

 

*    Recommencer jusqu'à reconnaitre un nombre divisible par 7.

 

À droite est indiqué le nombre qui n'est pas encore exploité et qu'il faudra introduire dans le calcul. (Ici, dans la dernière opération).

 

Voici le deux méthodes qui semblent les plus pratiques.

Méthode 2 (Sens )

 

*      Faire comme ci-dessus, mais à chaque opération soustraire le plus grand multiple de 7 possible, pour alléger le calcul.

 

 

 

 

Multipliez le chiffre de gauche (5) par 3.

Retirez  14 = 2x7, ce qui donne 1.

Lui ajoutez le chiffre suivant du nombre (5).

Le 6 obtenu est multiplié par 3. Etc.

Le 0 final indique que le nombre initial est divisible par 7.

 

 

Méthode 2 bis (Sens )

 

*    Ajouter cinq fois le nombre de droite au précédent.

 

*      Recommencer jusqu'à reconnaitre un nombre divisible par 7.

 

 

 

Pour les grands nombres – Paquets de 3

Méthode 3

 

*    Un nombre N est décomposé en paquets de trois chiffres à partir de la droite.

*    On les soustrait.

 

*    Si la différence est divisible par 7, alors le nombre original est divisible par 7.

 

 


 

*    Avec plusieurs paquets de 3 chiffres, additions et soustractions sont alternées.

*    Bien respecter l'ordre des opérations et les signes.

 

Astuce pour simplifier le calcul: remplacer 7 par 0, 8 par 1 et 9 par 2 au début du calcul et au fur et à mesure du calcul.

 

 

Note: 853 528 417 788 446 883

= 7 x 123456789 x 987654321

 

Voir Démonstration / Divisibilité par 13

 Merci à Landri G. pour m'avoir alerté sur cette méthode

 

 

  Exemple de calcul complet

*    Utilisation successive de la méthode 3 (grand nombre) et la méthode 1 pour finaliser sur un nombre à trois chiffres.

 

 

Pour les grands nombres – Paquets de 2

Algorithme de Gustavo Toja

 

Méthode 4

 

*    Le nombrer est découpé en paquets de 2 chiffres à partir de la droite.

*    Les paquets de rangs impairs sont associés à un multiple de 7 inférieur et les pairs à un multiple de 7 supérieur.

*    Les écarts sont calculés. Ils sont tous inférieurs à 7.

*    Un nouveau nombre est formé en prenant les ces résultats dans l'ordre inverse.

*    Remise en paquets de 2 et poursuite du procédé jusqu'à rencontrer un nombre divisible par 7, ou pas.

 

*    La méthode est basée sur le fait que 1001 est divisible par 7. Et comme 1001 = 7 x 11 x 13, la méthode est aussi valable pour 11 et pour 13

 

 

Disposition pratique

 

Le tableau montre une disposition permettant de poser le calcul plus rapidement que vu ci-dessus.

 

Algorithme

*      On regroupe toujours par paquet de 2 chiffres à partir de la droite;

*      On calcule le reste de la division par 7 (mod 7).

*      On prend le complément à 7 pour les nombres de rang pair (roses).

*      On retourne le nombre; et;

*      On recommence jusqu'à trouver un nombre divisible par 7 ou pas.

 

Exemple

Au rang 4, on trouve 64

Or 64 = 9 x 7 + 1, le reste est 1 (on dit que 64 = 1 mod 7)

64 est dans une colonne de rang pair, on prend le complément à 7: 7 – 1 = 6.

Ce nombre, après inversion, se retrouve au rang 2.

Merci à Elie L. pour sa lecture attentive

 

 

Méthode général avec clé de divisibilité

Méthode de Pascal

 

Méthode 5

 

*    Le principe de cette méthode est exposé, d'une manière générale, en page:

clé de divisibilité

 

 

*    Si le nombre est très grand, répétez la clé autant que nécessaire.

*    La clé peut être aménagée pour éviter les grands nombres, mais en introduisant des nombres négatifs:

     1  3  2  6  4  5  1  devient (avec des compléments à 7): 1  3  2  –1  –3  –2  1

 

 

 

 

FORME DIVISIBLE PAR 7

 

Théorème

 

7 f(n) = 3 2n + 1 +  2 n + 2

 

 

Valable pour les coefficients (en rose) prenant les valeurs:

 {1 et 2+3k}, {3 et 3+3k}, {5 et 1+3k}, {7 et 2+3k} …

 

Note: aussi divisible par 11 pour {1 et 3+10k}, {2 et 1+10k} … si n est pair

et pour {1 et 8+10k}, {2 et 6+10k} … si n est impair

 

Démonstration par récurrence

 

Validation du point de départ

 

 

*    Valeur pour f(1).

 

*    Le théorème est vrai pour n = 1.

f(1)

= 3 3 + 2 3
= 27 + 8
= 7 x 5

Validation de la récurrence

 

 

*    Supposons le théorème vrai pour n.

 

f(n)

= 7 . k

*    Calculons la valeur pour n+1.

*    Sortons les puissances comme indiqué.

On essaie de dégager des exposants identiques à ceux de f(n).

 

f(n+1)

= 3 2(n+1) + 1 + 2 (n+1) + 2

= 3 2n + 3 + 2 n + 3

= 9 . 3 2n+1 + 2 . 2 n+2

*    Calculons la différence indiquée.

f(n+1) – 2 f(n)

= 9 . 3 2n+1 + 2 . 2 n+2

 - 2 . 3 2n+1 - 2 . 2 n+2

= 7 . 3 2n+1

*    La différence est divisible par 7.

L'un des termes de la différence est divisible par 7 (notre hypothèse).

L'autre terme doit l'être aussi pour assurer la divisibilité de la différence.

f(n)

 

 

f(n+1)

= 7 . k

 

 

= 7 . h

Conclusion

 

 

*    Si la propriété est vraie pour une valeur (n), elle est vraie pour la valeur suivante (n + 1).

*    Or elle est vérifiée pour n = 1.

*    Elle est vraie pour tous les nombres suivants.

 

 

 

Suite

*         Divisibilité par 7 – Suite (encore des surprises …)

*         Divisibilité par 8

*         DivisibilitéIndex 

Voir

*         Calcul mentalIndex

*         Formes polynomiales

*         GéométrieIndex

*         Nombres abondants 

*         Nombres parfaits 

*         Théorie des nombresIndex

DicoNombre

*         Nombre 7

*         Nombre 3 367

Site

*         Divisibility by 7, 11 and 13 – Alexander Bogomolny

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divisi7.htm