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DIVISIBILITÉ par 73, 101, 111, 137 …
Méthode
par sommation de tranches de chiffres. Sujet développé sur la page divisibilités par 7, 11 et 13. La démonstration
emploie la notion de congruence (modulo),
en fait ni plus ni moins que les restes des divisions par 73, 137... |
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Base: calcul des restes de la division
des puissances
de 10 par 137. Que l'on nomme (mod pour modulo):
Il se trouve que 73 x 137 = 10001 Ce qui conduit aux congruences indiquées dans le
tableau avec des puissances en 104k, autrement-dit des blocs de
quatre "0". Prenons un nombre comportant 16 chiffres que nous
séparons en quatre blocs de quatre chiffres: N = 1012 A + 108
B + 104 C + D. En mod 137, on remplace les puissances de 10 par
la valeur en modulo 137 (tableau à droite):
Bilan: pour tester si
un nombre est divisible par 137, il suffit de prendre les blocs de quatre chiffres (A, B, C, D) et de les
ajouter et retrancher alternativement. Si cette somme est divisible par 137,
alors le nombre d'origine l'est aussi.
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Reste de la division de
ces puissances de 10 par 137
Alternativement 1 et -1 Le – 1 correspond à 137 – 1 = 136 |
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CAS
"PLUS"
Si |
1, [11] 2, [101] 3, [7,
11, 13, 77, 91, 143] 4, [73, 137] 5, [11] 6, [101] 7, [11] 8, [17] 9, [7,
11, 13, 19, 77, 91, 133, 143, 209, 247] 10, [101] |
Exemples Avec m = 137 comme avec m = 73, il faut considérer des blocs de quatre
chiffres. Avec 7, 11, 13 … il suffit de former des
blocs de 3 chiffes Avec 3, 9 (en bas, première ligne) aucune formation de blocs n'est
nécessaire. |
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CAS
"MOINS"
Si |
1, [3, 9] 2, [3, 9,
11, 33, 99] 3, [3, 9,
27, 37, 111, 333, 999] 4, [3, 9,
11, 33, 99, 101, 303, 909] 5, [3, 9,
41, 123, 271, 369, 813] 6, [3, 7,
9, 11, 13, 21, 27, 33, 37, 39, 63, 77, 91, 99, 111, 117, 143, 189, 231, 259,
273, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 693, 777, 819, 999] 7, [3, 9,
239, 717] 8, [3, 9,
11, 33, 73, 99, 101, 137, 219, 303, 411, 657, 803,909] 9, [3, 9,
27, 37, 81, 111, 333, 999] 10, [3,
9, 11, 33, 41, 99, 123, 271, 369, 451, 813] |
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Liste des nombres m
figurant dans ces deux listes. Avec cette méthode, on peut tester la
divisibilité par les nombres de cette liste. |
3, 7, 9,
11, 13, 17, 19, 21, 27, 33, 37, 39, 41, 63, 73, 77, 81, 91, 99, 101, 111,
117, 123, 133, 137, 143, 189, 209, 219, 231, 239, 247, 259, 271, 273, 297,
303, 333, 351, 369, 407, 411, 429, 451, 481, 657, 693, 717, 777, 803, 813,
819, 909, 999 |
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Voir Méthode
générale dite du domino
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Dans le cas positif: r = 1 Première
ligne dans le tableau du haut On
retrouve le critère habituel de la divisibilité par 11: Somme alternée des chiffres: divisible par 11. |
Exemple: divisibilité par 11
Voir Divisibilité par 11 |
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Dans le cas positif: r = 2 Deuxième
ligne dans le tableau du haut Somme alternée des blocs de deux chiffres. Si elle est divisible par 101, le
nombre d'origine l'est aussi.
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Exemple: divisibilité par 101
1
111 = 11 – 11 = 0 15
554 => 1 – 55 + 54 = 0 104
333 =>10 – 43 + 33 = 0 11 222 222 211
=> 1 – 12 + 22 – 22 + 22 – 11 = 0 Voir Divisibilité
par 101 |
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Dans le cas positif: r = 3 Troisième
ligne dans le tableau du haut Somme alternée des blocs de trois chiffres. Si elle est divisible par 13, le nombre d'origine
l'est aussi. Même principe pour: Il est utile de savoir que les diviseurs de 1001
sont: Exemple avec 7 7 371 => 371
– 7 = 364 = 7 x 52 6 999 916 => 999 – 6 – 916 =
77 = 7 x 11 Notez qu'il suffit que la somme soit alternée. On
choisit le départ qui arrange les calculs. |
Exemple: divisibilité par 13
1144
=> 144 – 1= 143 = 13 x 11 12
999 987 => 999 – 987 – 12 = 0 Exemple: divisibilité par 91
1
144 => 144 – 1 = 143 90
998 999 => 999 + 90 – 998 = 91 Voir Divisibilité par 91 |
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Exemple avec 77
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Exemple avec 143
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Dans le cas positif: r = 4 Troisième
ligne dans le tableau du haut Somme alternée des blocs de quatre chiffres. Si elle est divisible par 73 ou 137, le
nombre d'origine l'est aussi. Il est utile de savoir que: Exemple avec 73
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Exemple: divisibilité par 73
10
074 => 74 – 1 = 73 33
434 => 3 434 – 3 = 3 431 = 73 x 47 Voir Divisibilité
par 73 Exemple: divisibilité par 137
10
138 => 138 – 1 = 137 220
159 => 159 – 22 = 137 12
330 000 137 => 3000 – 137 – 123 = 2740 = 137 x 20 |
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Dans le cas négatif: r = 1 Première
ligne dans le tableau du bas Dans ce cas, il s'agit de l'addition des chiffres
avec l'astuce de refaire la somme dès que la somme en cours dépasse 9. On retrouve naturellement la méthode bien
connue pour 3 et pour 9. |
Exemple: divisibilité par 9
Voir Divisibilité par 3 / par 9 |
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Dans le cas négatif: r = 2 Deuxième
ligne dans le tableau du bas Dans ce cas, il s'agit de l'addition des blocs.
Ce qui peut être moins intéressant que la somme alternées des chiffres de la méthode vue plus haut. Méthode valable pour 11, 33 et 99. Il est utile de savoir que les diviseurs de 99
sont: 1, 3, 9, 11, 33, 99. Exemple avec 33
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Exemple: divisibilité par 11
209
=> 2 + 9 = 11 77
077 => 7 + 70 + 77 = 154 = 11 x 14 Exemple avec 33: 363
=> 3 + 63 = 66 = 33 x 2 264
=> 2 + 64 = 66 = 33 x 2 231
033 => 23 + 10 + 33 = 66 = 33 x 2 Exemple avec 99: 792
=>7 + 92 = 99 700
920 => 70 + 9 + 20 = 99 |
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Dans le cas négatif: r = 3 Troisième
ligne dans le tableau du bas Toujours avec la somme des blocs Méthode valable pour 27, 37, 111, 333,
999. Il est utile de savoir que les diviseurs de 999
sont: Exemple avec 999
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Exemple: divisibilité par 27
1
026 => 1 + 26 = 27 1
404 => 1 + 404 = 405 = 27 x 15 Exemple avec 37: 1
036 => 1 + 36 = 37 3
663 => 3 + 663 = 666 = 37 x 18 328
629 856 => 328 + 629 + 856 = 1 813 et 1 813 = 37 x 49 Voir Divisibilité
par 37 Exemple avec 111: 985
731 615 => 985 + 731 + 615 = 2 331 et 2 331 = 111 x 21 Exemple avec 333: 329
004 999 => 329 + 004 + 999 = 1 332 et 1 332 = 333 x 4 Exemple avec 999: 988
898 112 => 988 + 898 + 112 =1 998 et 1 998 = 999 x 2 |
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Dans le cas négatif: r = 4 Quatrième
ligne dans le tableau du bas Notez que ce cas s'applique à [3, 9, 11, 33, 99, 101, 303,
909
mais il existe plus simple pour [3, 9, 11, 33, 99 et 101] . Il est utile de savoir que les diviseurs de 999
sont: 1, 3, 9, 11, 33, 99, 101, 303, 909,
1111, 3333, 9999. Exemple avec 9999
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Exemple avec 101 10
0091 => 91 + 10 = 101 99
7889 8879 => 16 867 = 101 x 167 Exemple avec 303 2
9997 => 9999 => 303 x 33 299
3640 0000 => 3 939 = 303 x 13 Exemple avec 909 2
9997 => 9999 => 909 x 11 898
0920 9999 => 11 817 = 909 x 13 |
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