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Curiosités, théorie et us Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 04/02/2007 |
-Ý- RUBRIQUE: RACINES CONTINUES |
||
§
Approche |
||
§
|
§
Zéro |
|
Somm >>> Approche >>> FORMULE pour tous les nombres >>> FORMULE INVERSE |
P |
RACINES CONTINUES |
|
§
On
peut écrire les nombres entiers sous la forme d'une suite de radicaux sans
fin |
|
|
Anglais |
§ Continued radical |
-Ý- APPROCHE
Not
|
= r2+ r2 + r2 + r… |
Calcul
r2 |
1,
414 |
+
r2 |
1,
847 |
+
r2 |
1,
961 |
+ r2 |
1,
990 |
+ r2 |
1,
997 |
+ r2 |
1,
99939 |
+ r2 |
1,
99984 |
+ r2 |
1,
99996 |
+ r2 |
1,
9999905 |
+ r2 |
1,
9999976 |
+ r2 |
1,
9999989 |
+ r2 |
1,
999999739 |
Convergence
Après 12 itérations Écart = 0, 000 000 261 |
-Ý- FORMULE pour tous les
nombres
Notation
|
N = r n+ r n + r n + r… |
Démonstration
§
Ajoutons n de chaque côté |
|
§
Prenons la racine carrée de chaque côté |
|
§
Or la partie de droite est notre expression d'origine |
|
§
Passons au carré |
N + n = N² |
§
Et la valeur sous le radical est §
Voir Nombre pronique |
n
= N² - N ou n = (N - 1) N |
Application
N |
n |
Racines continues |
2 |
1 x 2 |
|
3 |
2 x 3 |
|
4 |
3 x 4 |
|
Notation
abrégée |
5 = rc en 20 |
|
|
|
6 = rc en 24 |
Théorème
Tout nombre entier N est exprimable sous forme d'une racine continue dont la valeur sous le radical est égale à = (N-1) N |
-Ý- FORMULE INVERSE
Résolution en n
§
Je me donne le nombre sous le radical Que vaut la
racine continue ? Résolution d'une équation de 2e degré |
|
n |
= N² - N |
N |
= 1/2 { 1 ±Ö(4n+1) } |
Quelques résultats
n |
N1 |
N2 |
|
0 |
1 |
0 |
Voir Zéro |
1 |
1, 618033989 |
-0, 6180339890 |
Voir Nombre d'or |
2 |
2 |
-1 |
|
3 |
2, 302775638 |
-1, 302775638 |
|
4 |
2, 561552813 |
-1, 561552813 |
|
5 |
2, 791287848 |
-1, 791287848 |
|
6 |
3 |
-2 |
|
7 |
3, 192582404 |
-2, 192582404 |
|
8 |
3, 372281324 |
-2, 372281324 |
|
9 |
3, 541381265 |
-2, 541381265 |
|
10 |
3, 701562119 |
-2, 701562119 |
|