racines continues - introduction

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 04/02/2007

-Ý- RUBRIQUE: RACINES CONTINUES
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RACINES CONTINUES

§ On peut écrire les nombres entiers sous la forme d'une suite de radicaux sans fin

Anglais

§ Continued radical

-Ý- APPROCHE avec 2

Notation

= r2+ r2 + r2 + r…

Calcul

Convergence

Après 12 itérations

Écart = 0, 000 000 261

-Ý- FORMULE pour tous les nombres

Notation

N = r n+ r n + r n + r…

Démonstration

§ Ajoutons n de chaque côté
§ Prenons la racine carrée de chaque côté
§ Or la partie de droite est notre expression d'origine
§ Passons au carré	N + n = N²
§ Et la valeur sous le radical est § Voir Nombre pronique	*n = N² - N* ou n = (N - 1) N

Application

Théorème

Tout nombre entier N est exprimable

sous forme d'une racine continue

dont la valeur sous le radical est égale à

= (N-1) N

-Ý- FORMULE INVERSE

Résolution en n

§ Je me donne le nombre sous le radical

Que vaut la racine continue ?

= N² - N

= 1/2 { 1 ±Ö(4n+1) }

Quelques résultats

Voir