NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 04/02/2007

 

 -Ý- RUBRIQUE: RACINES CONTINUES

§         Approche

§         Tous les nombres

§         Nombre d'or

§          

§         Ramanujan

§         Zéro

Sommaire de cette page

>>> Approche avec 2

>>> FORMULE pour tous les nombres

>>> FORMULE INVERSE

 

Pages voisines

§         Fractions continues

§         Nombres rationnels …

§         Nombres périodiques

§         Suite de Farey et calendriers


 

 

RACINES CONTINUES

§        On peut écrire les nombres entiers sous la forme d'une suite de radicaux sans fin

 

    

Anglais

§             Continued radical

 

-Ý-   APPROCHE avec 2

Notation

= r2+ r2 + r2 + r…

 

Calcul

r2

1, 414 

+ r2

1, 847 

+ r2

1, 961  

+ r2

1, 990  

+ r2

1, 997  

+ r2

1, 99939  

+ r2

1, 99984  

+ r2

1, 99996 

+ r2

1, 9999905 

+ r2

1, 9999976

+ r2

1, 9999989  

+ r2

1, 999999739

 

Convergence

Après 12 itérations

Écart = 0, 000 000 261

 Voir Résolution par équation

-Ý-   FORMULE pour tous les nombres

Notation

N = r n+ r n + r n + r…

 

Démonstration

§         Ajoutons n de chaque côté

§         Prenons la racine carrée de chaque côté

§         Or la partie de droite est notre expression d'origine

§         Passons au carré

N + n = N²

§         Et la valeur sous le radical est

§         Voir Nombre pronique

 n = N² - N

ou n = (N - 1) N

 

Application

N

n

Racines continues

2

1 x 2

3

2 x 3

4

3 x 4

Notation abrégée

5 = rc en 20

 

 

6 = rc en 24

 

Théorème

Tout nombre entier N est exprimable

sous forme d'une racine continue

dont la valeur sous le radical est égale à

= (N-1) N

 

 

-Ý-   FORMULE INVERSE

Résolution en n

§        Je me donne le nombre sous le radical

Que vaut la racine continue ?

Résolution d'une équation de 2e degré

n

= N² - N

N

= 1/2 { 1 ±Ö(4n+1) }

 

 

Quelques résultats

n

N1

N2

 

0

1

0

Voir Zéro

1

1, 618033989

-0, 6180339890

Voir Nombre d'or

2

2

-1

 

3

2, 302775638

-1, 302775638

 

4

2, 561552813

-1, 561552813

 

5

2, 791287848

-1, 791287848

 

6

3

-2

 

7

3, 192582404

-2, 192582404

 

8

3, 372281324

-2, 372281324

 

9

3, 541381265

-2, 541381265

 

10

3, 701562119

-2, 701562119

 

 


-Ý-  

Voir

§             Deux

§             Trois

§             Fractions continues