NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 05/03/2014

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

PUISSANCE & RACINES

 

Débutants

Général

RACINES CONTINUES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Analyse

 

Puissance

 

Racine

Racine continue

Nombre d'or

Tous les nombres

Zéro

Ramanujan

 

Sommaire de cette page

>>> Calculer l'expression

>>> Nombre d'or

>>> Calcul

>>> Formule

 

 

 

 

RACINES CONTINUES et NOMBRE D'OR

 

Magie: transformation du 1 en or!

 

 

 

 

Racine continue du nombre d'or

 

Problème posé en classe de troisième

Calculer la valeur de b

 

 

Réponse


1) Il faut savoir deux choses sur le nombre d'or:

 

Sa valeur et  la propriété de son carré:

 

Explications:

Le nombre d'or (Phi) est la solution de l'équation: x² – x – 1 = 0

 

Quant à son carré, il se calcule facilement:

 

 

Avec le développement du carré: (a + b = a² + 2ab + b²

 

2) Avec cela, on simplifie progressivement l'expression

 
En remplaçant d'abord Phi par son symbole et

Ensuite, en remplaçant racine de (1+ Phi) par Phi:

  (les rouges se correspondent et les jaunes aussi, alternativement)

 

 

 

 

 

Calcul et convergence

 

*    Le nombre d'or est ainis égal à la racine de 1 plus racine de 1 + … autant de fois que l'on veut.


 

*    Avec la notation r1 pour chaque itération en "racine de 1 +".

  = "r1+ r1 + r1 + r…"

*    Après 12 itérations:

Écart = 0, 000 001 666

 

 

Théorème

 

Tout nombre entier N est exprimable sous forme d'une racine continue dont la valeur sous le radical est égale à n = N² - N

Voir Ramanujan / Racines continues

 

 

 

 

 

Suite

*    Nombre d'or

*   Fraction continue du nombre d'or

*    Racines continues pour tous les nombres

Voir

*    Constantes

*    FractionsGlossaire

*    Fractions continues

*    Imaginaires

*    Nombre d'Or

*    Nombres périodiques

*    Nombres rationnels …

*    Pi

*    PuissancesIndex

*    Racine de deux

*    Racine de trois

*    Suite de Farey et calendriers

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Racinor.htm