NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCE & RACINES

 

Débutants

Général

RACINES CONTINUES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Racines carrées

 

Analyse

 

Puissance

 

Racine

Racine continue

Nombre d'or

Tous les nombres

Zéro

Ramanujan

 

Sommaire de cette page

>>>  Racine continue de deux

>>>  Racine continue de trois

>>>  Racines continues

>>>  Racines continues remarquables

>>>  Réduction des radicaux emboités

>>>  Une des méthode de réduction de radicaux

 

 

 

RACINES CONTINUES

Racines (ou radicaux) emboîtées

 

Tous les nombres peuvent s'exprimer avec une racine continue du type:

 

Il existe les fractions continues, suite sans fin d'étages de fractions qui finit par donner la valeur d'un nombre.

 

 

 

De même, il existe les racines continues, suite de radicaux emboîtés qui finissent par donner la valeur de tous les nombres entiers.

 

 

Anglais: Nested surds, nested radicals (nest veut dire: nid) /

Continued nested radical fraction (CNRF)

 

 

 

RACINE CONTINUE de DEUX

Approche

 

Que se passe t-il si on calcule des racines de racines?

 

 


 

Curiosité

 

Observez ces racines de deux!

 

 

Et si sous le radical nous remplacions un 2 par sa valeur en racine:

 

Encore

 

 

Vous avez compris que cela peut durer autant que l'on veut.

Et nous obtenons cette racine continue exprimant la valeur de 2.

 

 

Calcul

 

Développons le calcul pour se rendre compte des valeurs en jeu.

En bleu le rang du calcul

 

 

 

RACINE CONTINUE de TROIS

Approche

 

Si nous voulons recommencer l'exploit du 2, mais cette fois avec 3, il faut un radical couvrant le carré de 3, soit 9.

 

Faisons maintenant apparaître la valeur 3.

 

Dans ces conditions, nous sommes en mesure de reporter la valeur de 3 sous le radical.

 

Et, évidemment, vous l'avez compris, de poursuivre indéfiniment.

 

 

Vous pouvez répéter cette procédure pour tous les nombres.

 

 

RACINES CONTINUES

Formules

générales

 

 

Observez la valeur sous les radicaux.

 

 

 

 

 

Soit la formule générale.

 

 

 

 

 

Et réciproquement, connaissant r.

 

 

 

Théorème

 

Tout nombre entier N est exprimable sous forme d'une racine continue dont la valeur sous le radical est égale à n = N² - N

Voir Ramanujan

 

 

Racines continues remarquables

 

 

Constante des racines emboitées

 

Nested radical constant

 

Exemple de calcul jusqu'à 7

 

Le calcul pas à pas

Avec la calculette, on calcule d'abord la racine la plus enfouie, soit R7 =  racine de 7; puis on y ajoute 6 (bien faire:  +6 puis =  ); on prend la racine de ce nombre qui devient R6; on lui ajoute 5; etc. Le tableau donne les résultats intermédiaires.

 

Prolongement à l'infini

DicoNombre: 1,757

 

 

Nombre 3

 

Principe du calcul

La technique consiste à trouver une fonction qui peut être réintroduire sous le radical. Une racine continue qui se contient elle-même.

 

Connaissant le profil (le degré) de la fonction, on calcule les coefficients numériques.

 

Ici, on trouve:

f(x) = x + 1

 

Avec x = 2, la racine continue converge vers 3; avec x = 3, ces sera 4; etc.

Cette racine continue tend vers 3.

 

Idée du calcul**

Soit la fonction:

Remarquez que la fonction se retrouve au deuxième rang, multipliée par x:   

Au carré:               

Degré 2 à gauche et x+1 à droite: la fonction est linéaire:

                               f(x) = ax + b

                               f(x) = ax + b

En remplaçant:   

           

La constante b² = 1 et b = 1

                               

                               

                               

Équation satisfaite pour a = 1

                               f(x) = x + 1

Or dans le cas numérique qui nous intéresse:

                                x = 2 et f(x=2) = 2 + 1 = 3

 

Nombre d'or

 

Golden ratio

 

Solution (une des) de l'équation: x2 – x – 1

 

Voir Nombre d'or / Racine continue et nombre d'or

Nombre plastique

 

Plastic constant

 

Solution (une des) de l'équation: x3 – x – 1

 

Voir Nombre de Padovan (plastique)

Nombre d'argent

 

Silver constant

 

Solution (une des) de l'équation: x3 – 5x2 + 6x – 1

 

Voir Nombre d'argent / Trigonométrie de Pi/7 / Autres nombres d'argent

 

Note: la racine en 7 converge (selon mes calculs) vers 3,048917339. L'équation comme les valeurs en sinus et cosinus sont bien égales à 3,246… Où est l'erreur?

La racine numérique R peut s'écrire R3 = 7 + 7R, équation dont la racine réelle est bien:  3, 04891…

Conclusion: cette égalité donnée en référence me semble fausse, mais je n'ai pas réussi à la rectifier.

 

 

 

Réduction des radicaux emboités (Radical denesting)

L'astuce consiste à former un carré en utilisant une identité remarquable.

 

Parfois banal

 

Carré sous le radical

Parfois facile

 

On note que 6 = 3 x 2 et 3 + 2 = 5

Parfois relativement facile.

Nécessite une multiplication

Parfois plus difficile

 

Nécessite de travailler sous le radical

Voir Méthode générale

Et souvent: impossible

 

 ;  ;  ;   ; 

 

 ;

 

Mais, un simple changement du 2 et 3 et c'est possible!

 

 

Quelques exploits de Ramanujan

 

 

 

 

 

Problème de la réduction des radicaux

Le problème général de réduction des radicaux est un problème difficile: aussi bien pour un calcul de tête que pour sa programmation (computer algebra systems).

En 1989, Susan Landau (Américaine née en 1954) met au point les premiers algorithmes qui permettent de savoir si la réduction des radicaux est possible.

Voir Calcul du cosinus de pi/n

 

 

Une des méthodes de réduction de radicaux

Littéral

Numérique

 

Équation du second degré

 

 

 

Résultat de la réduction

Il est plus difficile de réduire que de "radicaliser"!

a = 2+ 3 = 5

b = 4.2.3 = 24 = 2² .6

Résultat

Autre exemple avec réponse immédiate

 

Bilan

Réduction

Radicalisation

 

Résultat immédiat

 

Mieux! Au cube …

 

 

Je vous laisse le soin d'aller voir le site en référence (McRae) pour vous lancer dans cet exercice du troisième degré.

 

 

 

 

 

Suite

*    Racine continue et nombre d'or

*    Équation avec racines continues

*    Racines emboités comme valeurs trigonométriques

Voir

*    Constantes

*    Fractions continues

*    Imaginaires

*    Nombre d'Or

*    Pi

*    Puissances

*    Racine de deux

*    Racine de trois

DicoNombre

*    Nombre 3,1462…

Sites

*    Nested Radical – Wolfram MathWorld

*    Cubic Continued – Evaluating real root as nested surds – Graeme McRae

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/RacinCon.htm