NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

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Nombres

Premiers

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Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Premiers

 

Types de premiers

Jumeaux

Cousins

Sexy …

Conj. de Polignac

Records

Triplets, quadruplets

Quintuplets

Sextuplets

Écarts

Conjecture des premiers jumeaux

 

Sommaire de cette page

>>> Jumeaux

>>> Au départ

>>> Liste

>>> Propriétés

>>> Propriétés (suite)

>>> Pentium

>>> Situation en 2014

 

 

 

 

 

Nombres PREMIERS JUMEAUX

 

 

*    Les nombres premiers les plus proches diffèrent de deux unités. On les nomme: nombres premiers jumeaux.

*    Sont-ils nombreux ? On conjecture qu'ils sont une infinité.

*    Il y en 16 parmi les 50 premiers nombres premiers.

 

Le plus grand couple en 2002

318032361 x 2107001 + 1 & idem –1

32 220 chiffres

David Underbakke and Phil Carmody

Records

Pour une introduction ludique voir barre magique des nombres premiers

 

 

Monsieur et madame veulent divorcer. Ils attendent l'arrivée du deuxième enfant pour se séparer équitablement. Arrivent des jumeaux! Bien embarrassés!

 

Félicitations, tu as eu des jumeaux. Filles ou garçons?

Je ne sais plus très bien: un garçon et une fille, je crois;

à moins que ce ne soit le contraire.

 

Gérard et Gilbert sont frères. Ils sont nés le même jour sans être jumeaux. Est-ce possible? Oui! Ils ont un troisième frère. Ils sont triplés.

 

La blonde accouche de jumeaux. Elle pleure. Pourquoi?  Elle se lamente car elle ne sait pas qui est le père du deuxième.

 Voir Pensées & humour

 

 

   

NOMBRES PREMIERS JUMEAUX

 

Définition et commentaires

 

*    Les nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers dont la différence est égale à 2.

*    Un seul nombre composé les séparent. Normal, un nombre sur deux est pair, donc composé.

*    Mis à part les nombres 2 et 3, il est impossible de trouver deux nombres premiers ne différant que d'une unité.

 

 

 

 

Au départ de la série des jumeaux

 

*    Seul 2 et 3 sont séparés d'une unité.

*    Le chiffre 5, comme le 3, est cité deux fois en tant que jumeaux.

 

*    Tous les jumeaux suivants sont terminés par 1, 3, 7 ou 9

 

Les quatre nombres premiers

2  3

    3  5

        5  7 

 

Jumeaux > 5, terminés par

1, 3

7, 9

9, 1

 

 

 

LISTE des premiers jumeaux jusqu'à 1 100

3      5

5      7

11      13

17      19

29      31

41      43

59      61

71      73

101      103

107      109

137      139

149      151

179      181

191      193

197      199

227      229

239      241

269      271

281      283

311      313

347      349

419      421

431      433

461      463

521      523

569      571

599      601

617      619

641      643

659      661

 

809      811

821      823

827      829

857      859

881      883

1019      1021

1031      1033

1049      1051

1061      1063

1091      1093

 

De 99 000 à 100 000

99131      99133

99137      99139

99257      99259

99347      99349

99527      99529

99707      99709

99719      99721

99989      99991

 

De 100 000 à 101 000

100151      100153

100361      100363

100391      100393

100517      100519

100547      100549

100799      100801

 

 

 

 

Propriétés

 

Quantité   

*    Quantité de couples de premiers jumeaux jusqu'à n:

 

n

Quantité

10

2

100

8

1 000

35

10 000

205

100 000

1 224

 

*    On pense que les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini, mais cela n'est pas démontré.

 

 

 

Simples et jumeaux   

*    Certains cherchent à savoir combien de nombres premiers  (en bleu) se trouvent entre chaque paire de jumeaux (en rouge):

 

2  3  5  7  11  13  17  19  23  29  31  37  41  43  47  53  59  61  67  71  73  79  83  89  97  101  103

 

*    Kelly et Pilling ont montré que la quantité de premiers simples (en bleu) vérifie une loi logarithmique pour les grands nombres.

 

Voir développements  >>>

 

Somme de deux jumeaux 

*    La somme de deux premiers jumeaux est

un multiple de douze pour p > 3.

 

Nombres pairs

*    Conjecture: sauf pour un nombre fini d'exceptions, les nombres pairs sont la somme de deux nombres parmi les premiers jumeaux.

 
Exemples:
6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7; 12 = 5 + 7 …

 

Exceptions: 2, 4, 94, 96, 98, 400, 402, 404, 514, 516, 518, 784, 786, 788, 904, 906, 908, 1114, 1116, 1118, 1144, 1146, 1148, 1264, 1266, 1268, 1354, 1356, 1358, 3244, 3246, 3248, 4204, 4206, 4208 …

Référence Sloane

 

 

Somme des inverses 

 

La somme des inverses des nombres premiers jumeaux converge vers

1, 902 …, valeur dite somme de Brun.

1/3 + 1/5 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13

+ 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + ...

= 1,902 160 578 ...

= 1,902 160 583 104 …

La valeur trouvée dépend du nombre de jumeaux pris en compte pour le calcul

 

*    Propriété découverte en 1919 par Viggo Brun (1885–1978) et prouvée par lui.

*    Cette constante a été calculée jusqu'à 1015

 

*    Notez bien que, par contre, la somme des inverses des nombres premiers diverge.

 

*    Si la somme des inverses des nombres jumeaux avait divergé, nous aurions eu la preuve qu'ils sont en nombre infini. Manqué!

 

 

Anglais: Brun's constant for twin primes

 

PROPRIÉTÉS (suite)

 

Caractérisation des jumeaux

 

*    Un nombre premier est toujours de la forme 6n – 1 ou 6n + 1. Pour obtenir une différence de deux seulement, le plus petit des jumeaux est en 6n – 1 et l'autre en 6n + 1.

*    Leur somme est en (6n – 1) + (6n + 1) = 12n, un multiple de douze.

 

Au-delà de 3

P  = 6k – 1  

P' = 6k + 1

 

11   12   13

17   18   19

29   30   31

41   42   43

59   60   61

71   72   73

 

Formule pour des jumeaux

 

Si n-1 et n+1 sont premiers jumeaux et n > 5, alors:

 

n = 30.k + 12.t

 

avec t un opérateur qui vaut 0, 1 ou -1 et k un entier.

Exemple

k

t

n

Jumeaux

0

1

12

11   13

1

-1

18

17   19

1

0

30

29   31

1

1

42

41   43

 

Quantité de jumeaux

 

*    On connaît une formule donnant le nombre estimé de jumeaux.

 

 

Exemple

< N

Nombre de jumeaux

Estimation

106

8 169

8 248

108

440 312

440 368

1010

27 412 679

27 411 417

 

 

Cas du PENTIUM

 

*    C'est en calculant la constante de Brun pour les nombres jumeaux

 

824 633 702 441 et 824 633 702 443

 

*    que Thomas Nicely a découvert que les calculs faits avec le Pentium étaient erronés.

 

Exemple de calcul faux avec Pentium

 

 4 195 835 - (4 195 835 / 3 145 727) 3 145 727 = 256 au lieu de 0

 

*    Intel connaissait ce vice caché et avait minimisé son impact.

*    L'erreur a été corrigée et la puce Pentium remplacée.

 

  

 

Deux mecs accoudés au bar se regardent longuement et finissent par s'adresser la parole. – Tu viens d'où toi? – Moi de Melun, et toi? – Quelle coïncidence, moi aussi. Et ils se serrent la main en signe de nouvelle fraternité. – Tu n'as pas l'air d'être très âgé, tu es né en quelle année? – En 1975. – Extraordinaire, moi aussi; et quel mois? – En octobre, le 14 très exactement. – Quoi! Mais c'est inouï, moi c'est le même jour aussi. Et la conversation se poursuit toujours de plus en plus enjouée en constatant autant de points communs.

Alors la porte du bar s'ouvre et Marcel, un habitué, entre dans le bar. Il demande au patron: - Mais qui sont ces deux là? – Oh, c'est rien, ce sont les jumeaux, ils sont encore bourrés.

Voir Pensées & humour

 

 

Point de situation en 2014

 

*    Pour démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux, il faut prouver qu'il existe une infinité de premiers avec un écart de 2.

 

*    En avril 2013, l'écart est inférieur à 70 millions.

Démontré par le mathématicien de l'Université du New Hampshire Yitang Zhang.

*    Plus tard en 2013, l'écart descend à 600.

Démontré par James Maynard (26 ans) au Centre de recherches mathématiques de l'Université de Montréal.

*    Perspective 2014, atteindre un écart de 6.

James Meynard pense que sa méthode pourrait le conduire à réduire l'écart jusqu'à cette valeur tout en étant convaincu que pour atteindre 2 il faudra procéder avec une autre approche.

De nombreux mathématiciens s'intéressent à cette démonstration et échangent leurs travaux sur la plateforme collaborative Polymaths.

 

Voir Unités des nombres premiers

 

 

 

 

Voir

*    Records jumeaux

*    Constellation de premiers

*    Types de nombres premiersIndex

*    Nombres premiersIndex

*    Les jumeaux humains

*    Les jumeaux de Langevin

*    Les jumeaux véridiques et menteurs

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Décomposition des nombres

*    Nom des nombres

*    Nombres à motifs

*    Nombres composés

*    Représentation des nombres

Diconombre

*    Nombre 1,902 … – Constante de Brun

*    Nombre 5

*    Nombre 12

Sites

*    La page des nombres premiers
       de Chris Caldwell

*    Prime Twins by Ivars Peterson

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/jumeaux.htm