NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Exemple – Analogie

>>> Exemple – Factorisation unique

>>> Notion d'idéal

>>> Anglais

>>> Nombre idéal de De Koninck

 

 

  

 

 

Approche

 

Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que tout nombre entier peut être factorisé d'une façon unique.

Propriété bien pratique pour exécuter certaines démonstrations !

Il existe des cas où l'on cherche une autre variété de nombres qui posséderaient une telle propriété de factorisation unique. Alors certaines démonstrations seraient possibles.

 

*      Ce sont les nombres idéaux de Kummer.

*      Ils retrouvent la propriété de factorisation unique.

*      Cette propriété a été utilisée pour démontrer certains cas du théorème de Fermat-Wiles.

 

 

Exemple - Analogie

 

On décrète que seuls les nombres de la forme 4k + 1 existent.

Décomposons ces nombres en facteurs. Mais attention, on reste dans notre monde des nombres en 4k + 1

 

Exemple

441 = 21 x 21

4 x 110 + 1 = (4 x 20 + 1) (4 x 20 + 1)

 

Mais aussi

441 = 9 x 49

4 x 110 + 1 = (4 x 2 + 1) (4 x 12 + 1)

 

441 possède deux factorisations, pas bon ça !

 

On décrète que seuls les nombres de la forme 4k + 3 existent.

Décomposons ces nombres en facteurs. Mais attention, on reste dans notre monde des nombres en 4k + 3

 

Exemple

441 = 3² x 7²

441 = (4 x 0 + 3)² (4 x 1 + 1)²

Factorisation unique

 

Nota

441 n'est pas un nombre en 4k + 3

Exemple non "idéal" mais illustratif tout de même n'est-ce pas?

 

 

Exemple – Factorisation unique

 

On définit des nombres (factices) pour retrouver la propriété de factorisation unique.

On note que les nombres idéaux ne sont pas véritablement des nombres algébriques.

 

 

Exemple 10 a deux factorisations

10 = (2 x 5) = (1 + 31) (1 – 3i)

 

On invente les nombres xyuv tels que

2 = xy

5 = uv

1+ 3i = ux

1 – 3i = vy

 

On reforme les produits donnant 10

10 = 2 x 5 = xy uv

10 = (1 + 31) (1 – 3i) = ux vy

Ce qui dans les deux cas donne le même résultat: xyuv

 

 

Notion d'idéal

 

Un idéal est une notion d'algèbre:

*      qui appartient à la théorie des ensembles;

*      il s'agit d'un sous-ensemble d'un anneau qui forme lui-même un anneau;

*      les opérations (additions et multiplications) donnent des résultats qui restent dans le sous-anneau idéal

 

Les nombres pairs forment un idéal dans l'anneau N des entiers

Ce sous-ensemble est noté 2-I

Toute addition de nombres pairs donne un nombre pair

Toute multiplication entre nombres pairs donne un nombre pair

 

Les multiples d'un nombre n forme un idéal noté n9

 

On pourra y étudier la primalité des nombres idéaux comme on le fait avec les nombres entiers ordinaires.

Ce concept facilite l'étude de la divisibilité des entiers. Il  permet d'énoncer des versions plus générales de certains théorèmes.

Introduit par Kummer (1810-1893) et ensuite (1871) développé par Dedekind (1831-1916).

 

 

 

English corner

 

Ideal

Subring of a ring is its subset which is a ring as well

For a given ring R, its subring I is an ideal if:

*      for every r Î R and i Î I

*      both r*i and i*r belong to I

 

Kummer

He proposed the concept of ideal numbers which later led to the theory of rings which is the foundation of modern algebraic number theory

He made a major breakthrough on Fermat's Last Theorem

 

 

 

 

 

Nombre idéal de De KONINCK

 

Notion liée à la présence des facteurs les plus fréquants.

 

Un nombre de r chiffres est idéal si son facteur de rang j, pour tout j compris entre 1 et r, bornes comprises, est le facteur le plus fréquent en tant que facteur de rang j d'un entier.

 

Liste: 2, 6, 30, 42, 390, 556, 8970, 12 558, 421 590, 590 226, 47 639 670, 66 695 538, …

 

Référence: Those fascinating numbers – Jean-Marie De Koninck

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Nombres de Gauss

Voir

*         Les nombres par leur petit nom

*         Kummer, Dedekind et contemporains

*         Entiers de Gauss et entiers d'Eisenstein

Sites

*         Idéal – Wikipédia

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/Ideaux.htm