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Le
théorème fondamental de l'arithmétique
dit que tout nombre entier peut être factorisé d'une façon unique. Propriété
bien pratique pour exécuter certaines démonstrations ! Il existe
des cas où l'on cherche une autre variété de nombres qui posséderaient une
telle propriété de factorisation unique. Alors certaines démonstrations
seraient possibles.
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On décrète que seuls les nombres de la forme 4k +
1 existent. Décomposons ces nombres en facteurs. Mais
attention, on reste dans notre monde des nombres en 4k + 1 |
Exemple 441 = 21 x 21 4 x 110 + 1 = (4 x 20 + 1) (4 x 20 +
1) Mais aussi 441 = 9 x 49 4 x 110 + 1 = (4 x 2 + 1) (4 x 12 +
1) 441 possède deux factorisations, pas
bon ça ! |
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On décrète que seuls les nombres de la forme 4k +
3 existent. Décomposons ces nombres en facteurs. Mais
attention, on reste dans notre monde des nombres en 4k + 3 |
Exemple 441 = 3² x 7² 441 = (4 x 0 + 3)² (4 x 1 + 1)² Factorisation unique Nota 441
n'est pas un nombre en 4k + 3 Exemple
non "idéal" mais illustratif tout de même n'est-ce pas? |
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On définit des nombres (factices) pour retrouver
la propriété de factorisation unique. On note que les nombres idéaux ne sont pas
véritablement des nombres algébriques. |
Exemple: 10 a deux
factorisations 10 = (2 x 5) = (1 + 3i) (1 – 3i) On invente les nombres
xyuv tels que 2 = xy 5 = uv 1+ 3i = ux 1 – 3i = vy On reforme les
produits donnant 10 10 = 2 x 5 = xy uv 10 = (1 + 3i) (1 – 3i) = ux vy Ce qui dans les deux cas donne le
même résultat: xyuv
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Un idéal
est une notion d'algèbre:
Les
nombres pairs forment un idéal dans l'anneau N des entiers Ce
sous-ensemble est noté 2-ℐ (2 tiret suivi de lettre I ronde: unicode 8464 en Segoe UI Symbol) Toute addition de
nombres pairs donne un nombre pair Toute multiplication
entre nombres pairs donne un nombre pair Les
multiples d'un nombre n forme un idéal noté n-ℐ On pourra
y étudier la primalité des nombres idéaux comme on le fait avec les nombres
entiers ordinaires. Ce
concept facilite l'étude de la divisibilité des entiers. Il permet d'énoncer des versions plus générales
de certains théorèmes. Introduit
par Kummer (1810-1893) et ensuite (1871) développé par Dedekind (1831-1916). |
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Ideal Subring
of a ring is its subset which is a ring as well For a
given ring R, its subring I is an ideal if:
Kummer He
proposed the concept of ideal numbers which later led to the theory of rings
which is the foundation of modern algebraic number theory He made a
major breakthrough on Fermat's Last Theorem |
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Notion
liée à la présence des facteurs les plus fréquents. Un nombre
de r chiffres est idéal si son facteur de rang j, pour tout j compris entre 1
et r, bornes comprises, est le facteur le plus fréquent en tant que facteur
de rang j d'un entier. Liste: 2,
6, 30, 42, 390, 556, 8970, 12 558, 421 590, 590 226, 47 639 670, 66 695 538,
… Référence: Those fascinating numbers –
Jean-Marie De Koninck |
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Voir Développement
complet en Nombres idéaux
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