NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 17/02/2008

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Général

RUBRIQUE   NOMBRES

Glossaire Général

 

TYPES DE NOMBRES

 

§ Inventaire

§ Rationnels

§ Transcendant

Infinitésimaux

§ Réels

§ Irrationnel

§ Univers...

Non-standard

§ Normaux

§ Gauss

§ Idéaux

 

 

Sommaire e cette page

>>> APPROCHE

>>> EXEMPLE – ANALOGIE

>>> EXEMPLE – FACTORISATION UNIQUE

>>> NOTION d'IDÉAL

>>> ANGLAIS

 

 

 


 

 

Approche

-Ý-

 

§  Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que tout nombre entier peut être factorisé d'une façon unique

Ø Propriété bien pratique pour exécuter certaines démonstrations!

§  Il existe des cas où l'on cherche une variété de nombres qui posséderaient une telle propriété de factorisation unique. Alors certaines démonstrations seraient possibles

Ø Ce sont les nombres idéaux de Kummer

Ø Ils retrouvent la propriété de factorisation unique

Ø Cette propriété a été utilisée pour démontrer certains cas du théorème de Fermat-Wiles

 

 

 

Exemple - Analogie

-Ý-

 

§  On décrète que seuls les nombres de la forme 4k + 1 existent

§  Décomposons ces nombres en facteurs

Ø  Mais attention, on reste dans notre monde des nombres en 4k + 1

 

Exemple

441 = 21 x 21

4 x 110 + 1 = (4 x 20 + 1) (4 x 20 + 1)

Mais aussi

441 = 9 x 49

4 x 110 + 1 = (4 x 2 + 1) (4 x 12 + 1)

 

441 possède deux factorisations, pas bon ça!

 

 

§  On décrète que seuls les nombres de la forme 4k + 3 existent

§  Décomposons ces nombres en facteurs

Ø  Mais attention, on reste dans notre monde des nombres en 4k + 3

 

Exemple

441 = 3² x 7²

441 = (4 x 0 + 3)² (4 x 1 + 1)²

Factorisation unique

 

Nota

441 n'est pas un nombre en 4k + 3

Exemple non "idéal" mais illustratif tout de même n'est-ce pas?

 

 

 

Exemple – Factorisation unique

-Ý-

 

§  On définit des nombres (factices) pour retrouver la propriété de factorisation unique

On note que les nombres idéaux ne sont pas véritablement des nombres algébriques

 

 

Exemple 10 a deux factorisations

10 = (2 x 5) = (1 + 31) (1 – 3i)

 

On invente les nombres xyuv tels que

2 = xy

5 = uv

1+ 3i = ux

1 – 3i = vy

 

On reforme les produits donnant 10

10 = 2 x 5 = xy uv

10 = (1 + 31) (1 – 3i) = ux vy

Ce qui dans les deux cas donne le même résultat: xyuv

 

 

 

Notion d'idéal

-Ý-

 

§  Un idéal est une notion d'algèbre

Ø qui appartient à la théorie des ensembles

Ø il s'agit d'un sous-ensemble d'un anneau qui forme lui-même un anneau

Ø les opérations (additions et multiplications) donnent des résultats qui restent dans le sous-anneau idéal

 

Les nombres pairs forment un idéal dans l'anneau 9 des entiers

Ce sous-ensemble est noté 29

Toute addition de nombres pairs donne un nombre pair

Toute multiplication entre nombres pairs donne un nombre pair

 

Les multiples d'un nombre n forme un idéal noté n9

 

§  On pourra y étudier la primalité des nombres idéaux comme on le fait avec les nombres entiers ordinaires

 

§  Ce concept facilite l'étude de la divisibilité des entiers

§  Il  permet d'énoncer des versions plus générales de certains théorèmes

 

§  Introduit par Kummer (1810-1893) et ensuite (1871) développé par Dedekind (1831-1916)

 

 

 

 

 

 

English corner

-Ý-

 

IDEAL

Ø Subring of a ring is its subset which is a ring as well

Ø For a given ring R, its subring I is an ideal if

for every r Î R and i Î I

both r*i and i*r belong to I

 

KUMMER

Ø  He proposed the concept of ideal numbers which later led to the theory of rings which is the foundation of modern algebraic number theory

Ø  He made a major breakthrough on Fermat's Last Theorem

 

 

 

 

 

 


 

-Ý-

Voir

§  Les nombres par leur petit nom

 

Aussi

§  Kummer, Dedekind et contemporains

 

Sites

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