NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 17/02/2008
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Sommaire de cette page >>> ENTIERS DE GAUSS >>> ENTIERS D'EISENSTEIN >>> ENTIERS DE GAUSS généralisés >>> THÉORÈME DE FERMAT-WILES – SOLUTION ?

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Entiers de Gauss		-Ý-
§ On utilise les nombre complexes pour obtenir certaines factorisations Ø On introduit le nombre imaginaire: Ö-1, généralement noté i	Exemple (Identités remarquables) a² - b² = (a – b) (a + b) a² + b² = (a – bÖ-1) (a + bÖ-1)
§ Gauss s'est intéressé à ces nombres complexes Ø Formés avec des nombres entiers, ils ont un comportement proche de ceux des nombres entiers Ø Notez qu'en représentation géométri-que des nombres complexes, les nombres entiers de Gauss sont ceux qui sont aux nœuds du quadrillage des nombres entiers en abscisse comme en ordonnée	Les nombres de la forme a + bÖ-1 avec a et b entiers sont décomposables de façon unique en nombres complexes non décomposables eux-mêmes (facteurs premiers)
§ Les nombres entiers ordinaires qui sont somme de deux carrés peuvent être factorisés	5 = 2² + 1² = ( 2 – Ö-1) (2 + Ö-1) 8 = 2² + 2² = ( 2 – 2Ö-1) (2 + 2Ö-1) 10 = 3² + 1² = ( 3 – Ö-1) (3 + Ö-1) 13 = 3² + 2² = ( 3 – 2Ö-1) (3 + 2Ö-1)
§ Les nombres entiers premiers ne sont pas forcément décomposables en produit d'entiers de Gauss Ø Comme on vient de la voir, c'est le cas de tous les nombres qui sont somme de deux carrés	3 non 5 oui => 5 = ( 2 – Ö-1) (2 + Ö-1) 7 non 11 non 13 oui => 13 = ( 3 – 2Ö-1) (3 + 2Ö-1) Etc.

Entiers d'Eisenstein		-Ý-
§ Les nombres de Gauss utilisent la racine carrée de l'unité Ö-1 = i § Les nombres d'Eisenstein utilisent la racine cubique de l'unité ^3Ö1 = { 1, j, j² }	a + i . b nombres de Gauss a + j . b nombres d'Eisenstein avec a et b entiers Racine cubique de 1 Les trois racines de x ^3 = 1 sont 1, j et j ² j = ½ ( - 1 + iÖ3 ) j ² = ½ ( - 1 - iÖ3)
§ Les nombres entiers ordinaires qui sont somme de deux cubes peuvent être factorisés en produit de trois termes Ø Notez: puissance trois => trois termes	Somme de deux cubes a^3 + b^3 = (a+b) (a² - ab + b²) = (a+b) (a+jb) (a+j²b) 35 = 2^3 + 3^3 = 5 x 7 = 5 (2 + iÖ3) (2 - iÖ3) Voir calcul

Entiers de Gauss généralisés		-Ý-
§ Pourquoi ne pas créer des nombres avec la racine nième de l'unité ?	a + i . b nombres de Gauss a + j . b nombres d'Eisenstein a + z . b nombres de Gauss généralisés
§ En généralisant, nous voyons là une piste pour factoriser toute somme de deux nombres à la même puissance n en produit de n termes	Puissances n a^n + b^n = (a + z1 b) (a + z2 b) … (a + zn b) avec zi nombre complexe, racine nième de l'unité

Théorème de Fermat-Wiles – Solution ?		-Ý-
§ Revenons à la somme des carrés du départ de cette page Ø Lorsque le nombre somme de deux carré est lui-même un carré nous avons à faire aux triplets de Pythagore	Somme de deux carrés a² + b² = (a – bÖ-1) (a + bÖ-1) a² + b² = c² 3² + 4² = 5²
§ En généralisant aux puissances supérieures, on obtient la conjecture de Fermat qui est devenue le théorème de Fermat-Wiles	Théorème de Fermat-Wiles a^n + b^n = c^n Cette équation n'a pas de solution en nombres entiers pour n > 2 (a, b, c non nuls)
§ Gabriel Lamé (1795-1850), annonce avoir effectué la démonstration du théorème de Fermat en utilisant la factorisation mise en évidence ci-dessus Ø Hélas, il avait procédé à des généralisations trop rapides Ø Il a prêté à ces nouveaux nombres des propriétés de factorisation unique qu'ils n'avaient pas Ø Kummer invente une nouvelle race de nombres pour y remédier: les nombres idéaux Ø Mais Kummer, qui fait progresser la démonstration (et les mathématiques, par là même) ne réussira à démontrer le théorème que pour n < 101 sauf n = 37, 59, 67 et 74	a^n + b^n = c^n = (a + z1 b) (a + z2 b) … (a + zn b) Contrairement aux entiers ordinaires et aux entiers de Gauss, ces nombres en a + zi b n'ont pas les mêmes propriétés de factorisation unique.

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-Ý-	Voir	§ Entiers de Gauss et entiers d'Eisenstein
	Aussi	§ Contemporains de G. Lamé
	Sites	§

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ANNEXE

Calcul avec les deux méthodes

- en nombres entiers classiques (toute somme de trois cubes est le produit de deux nombres)

- avec les nombres complexes (seul intérêt de montrer la factorisation en trois termes)

35	= 3^3 + 2^3
	= (a + b)	(a² - ab + b²)
	= (3 + 2)	(9 – 6 + 4)
	= 5	x 7
35	= 3^3 + 2^3
	= (a + b)	(a + jb)	(a + j²b)
	= (3 + 2)	(3 + 2 x ½ (-1 + iÖ3)	(3 + 2 x ½ (-1 - iÖ3)
	= (5)	(3 + (-1 + iÖ3)	(3 + (-1 - iÖ3)
	= 5	x (3 - 1 + iÖ3)	(3 -1 - iÖ3)
	= 5	x (2 + iÖ3)	(2 - iÖ3)
	= 5	x ( 4 - i²Ö3Ö3 )
	= 5	x ( 4 –(-1)(3) )
	= 5	x ( 4 +3 )
	= 5	x 7

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