NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Entiers de Gauss

>>> Entiers d'Eisenstein

>>> Entiers de Gauss généralisés

>>> Théorème de Fermat-Wiles – solution ?

 

 

 

 

 

 

 

 

Entiers de Gauss

 

*        On utilise les nombre complexes pour obtenir certaines factorisations.

 

On introduit le nombre imaginaire:
       
-1, généralement noté i.

 

 

Exemple (Identités remarquables)

 

a² – b² =        (a – b) (a + b)

 

a² + b² =  (a – b–1) (a + b–1)

 

 

 

*        Gauss s'est intéressé à ces nombres complexes.

 

Formés avec des nombres entiers, ils ont un comportement proche de ceux des nombres entiers.

 

 

Notez qu'en représentation géométrique des nombres complexes, les nombres entiers de Gauss sont ceux qui sont aux nœuds du quadrillage des nombres entiers en abscisse comme en ordonnée.

 

 

Les nombres de la forme

a + b1

avec a et b entiers

 

sont décomposables de façon unique en nombres complexes non décomposables eux-mêmes (facteurs premiers).

 

 

*        Les nombres entiers ordinaires qui sont somme de deux carrés peuvent être factorisés.

 

  5 = 2² + 1² = ( 2   -1) (2 +   -1)

  8 = 2² + 2² = ( 2 – 2-1) (2 + 2-1)

10 = 3² + 1² = ( 3   -1) (3 +   -1)

13 = 3² + 2² = ( 3 – 2-1) (3 + 2-1)

 

*        Les nombres entiers premiers ne sont pas forcément décomposables en produit d'entiers de Gauss.

Comme on vient de la voir, c'est le cas de tous les nombres qui sont somme de deux carrés.

 

  3  non

  5  oui => 5 = ( 2-1) (2 + -1)

  7  non

11  non

13  oui => 13 = ( 3 – 2-1) (3 + 2-1)

     Etc.

 

 

 

 

CERCLE de GAUSS

 

*        Soit un cercle centré sur l'origine des axes et de rayon n,
son aire est
 .n.

*        Soit P le nombre de points intérieurs au cercle et de coordonnées entières (entiers de Gauss).

*        Alors d =  .n - P est compris entre 0,250 = 1/4  et 0,324 = 12/37.

 

 

Entiers d'Eisenstein

 

*        Les nombres de Gauss utilisent la racine carrée de l'unité: 

 

*        Les nombres d'Eisenstein utilisent la racine cubique de l'unité:

 

 

 

 

a + i . b nombres de Gauss;

a + j . b nombres d'Eisenstein

avec a et b entiers.

 

Racine cubique de 1

Les trois racines de x 3 = 1 sont

1, j et j ²

j   = ½ ( – 1 +  i3 )

j ² = ½ ( – 1 –  i3)

 

*        Les nombres entiers ordinaires qui sont somme de deux cubes peuvent être factorisés en produit de trois termes.

 

Notez: puissance trois  trois termes.

 

Somme de deux cubes

a3 + b3 

= (a + b) (a² ab  + b²)

= (a + b) (a + jb)  (a + j²b)

 

35 = 23 + 33

= 5 x 7

= 5 (2 + i3) (2 i3)    Voir calcul

 

*        Nombre 2: nombre premier d'Eisenstein, sans partie imaginaire, mais réel de la forme 3n – 1.

Gotthold Eisenstein (1823/1852) – Mort à moins de 30 ans de tuberculose

 

 

Entiers de Gauss généralisés

*        Pourquoi ne pas créer des nombres avec la racine nième de l'unité ?

 

a + i . b  nombres de Gauss

a + j . b  nombres d'Eisenstein

a +  . b nombres de Gauss
                                              généralisés

 

 

*         En généralisant, nous voyons là une piste pour factoriser toute somme de deux nombres à la même puissance n en produit de n termes.

 

 

Puissances n

an + bn
=  (a +
1 b) (a + 2 b) … (a + n b)

 

avec i nombre complexe, racine nième de l'unité

 

 

 

 

 

Théorème de Fermat-Wiles – Solution ?

 

*        Revenons à la somme des carrés du départ de cette page.

Lorsque le nombre somme de deux carré est lui-même un carré nous avons à faire aux triplets de Pythagore

 

 

Somme de deux carrés

a² + b² =  (a – b-1) (a + b-1)

 

a² + b² = 

3² + 4² = 5²

 

*        En généralisant aux puissances supérieures, on obtient la conjecture de Fermat qui est devenue le théorème de Fermat-Wiles

 

Théorème de Fermat-Wiles

 

an + bn =  cn

 

Cette équation n'a pas de solution en nombres entiers pour n > 2

(a, b, c non nuls)

 

 

*        Gabriel Lamé (1795-1870), annonce avoir effectué la démonstration  du théorème de Fermat en utilisant la factorisation mise en évidence ci-dessus.

*      Hélas, il avait procédé à des généralisations trop rapides.

*      Il a prêté à ces nouveaux nombres des propriétés de factorisation unique qu'ils n'avaient pas.

*      Kummer invente une nouvelle race de nombres pour y remédier: les nombres idéaux.

*      Mais Kummer, qui fait progresser la démonstration (et les mathématiques, par là même)  ne réussira à démontrer le théorème que pour n < 101 sauf n = 37, 59, 67 et 74.

 

an + bn =  cn

=  (a + 1 b) (a + 2 b) … (a + n b)

 

 

Contrairement aux entiers ordinaires et aux entiers de Gauss, ces nombres en a + i b n'ont pas les mêmes propriétés de factorisation unique.

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Entiers de Gauss et entiers d'Eisenstein

Voir

*         Contemporains de G. Lamé

Sites

*         Entier de Gauss – Wikipédia

*         Gaussian Integer – Wolfram MathWorld

*         Entier d'Eisenstein – Wikipédia

*         Eisenstein Integer – Wolfram MathWorld

*         The Complex Tale of Eisenstein Prime Numbers – Mike DeHaan

*         OEIS A001481 – Numbers that are the sum of 2 squares.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/Gauss.htm

 

 

 

ANNEXE

 

Calcul avec les deux méthodes

*    en nombres entiers classiques (toute somme de trois cubes est le produit de deux nombres)

*    avec les nombres complexes (seul intérêt de montrer la factorisation en trois termes)

 

 

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