NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Type de nombres

TYPES DE NOMBRES

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Types de Nombres

 

Inventaire

Infinitésimaux

Non-standard

Univers...

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Construction des nombres

>>> Modèle non-standard de l'arithmétique

>>> Transfert standard & non-standard

>>> La pratique des nombres non-standard

>>> Conclusion

 

 

 

 

 

 

L'ANALYSE NON-STANDARD

 

Comment calculer avec des nombres infinitésimaux? Qu'est-ce qu'un nombre infini ? Notion très théorique, inutilisable en pratique !

 

L'analyse non-standard donne une manière précise de parler et de travailler avec les infiniment grands et infiniment petits. Pour cela, on agrandit l'ensemble des nombres réels en y ajoutant des "nombres" infiniment grands (et leurs inverses, les infiniment petits). Comme avec les nombres complexes et leur "partie réelle", on parlera de la "partie standard" des nombres non-standard.

 

 

 

 

 

APPROCHE

 

Présentation 

 

*    L'Analyse Non-Standard est une théorie mathématique, esquissée dès les années 1960 par Abraham Robinson, à partir de la théorie des modèles. Cette nouvelle Analyse (par opposition à l'Analyse Classique) permet de calculer rigoureusement avec des nombres infiniment grands et infiniment petits, comme l'ont toujours fait les physiciens.

 

Abraham Robinson (1918-1974)

Logicien et ingénieur américain d'origine polonaise,

publie en 1960: Non-Standard Analysis.

 

Définition

 

*    L'Analyse Non Standard (ANS) est une technique mathématique qui permet :

*      de pratiquer le calcul infinitésimal des anciens et des physiciens

*      où une quantité petite est une quantité fixe et non un paramètre qui tend vers zéro en respectant toutes les prescriptions de la rigueur mathématique moderne.

 

 

Motivation 

 

*    L'analyse classique (standard) créée par Cauchy, Riemann, Lebesgue et autres est un magnifique outil de grande précision logique. Cependant l'expérimentation numérique à très grande échelle permise par les ordinateurs a révélé des phénomènes, qui sans être logiquement en contradiction avec l'analyse standard, sont pris en compte de manière détournée.

*    L'analyse formelle (vers 1930) d'Albert Skolem, Kurt Gödel, John von Neumann connaît deux conséquences paradoxales:

*      Bien sûr, et d'abord, le développement des applications sur ordinateur: structure du langage, raisonnements...

*      Mais, aussi: base rigoureuse pour le calcul sur les infinitésimaux.

 

*    Une nouvelle mathématique du continu est en train d'émerger, mieux adaptée à rendre compte des expériences numériques.
 

Principe

 

*    La notion d'infiniment petit est très ancienne. Elle a permis d'imaginer les notions de limite et de dérivées, base de toute l'Analyse ou "Calcul Infinitésimal". Mais, " il existe n suffisamment grand tel que ... " est une phrase rejetée par les mathématiciens.

*    Alors, comment traiter les infiniment grands et les infiniment petits, avec une algèbre appropriée contenant des éléments supérieurs aux nombres ordinaires. Le but serait de pouvoir transférer naturellement les propriétés des nombres ordinaires aux infiniment grands et petits. C'est ce tour de force élégant qu'a réussi l'Analyse Non-Standard, ouvrant les portes à un calcul infinitésimal efficace.

 

 

 

Avant d'aborder la suite, il est utile de réviser quelques notions sur les infinitésimaux.

 

 

CONSTRUCTION DES NOMBRES


 
Giuseppe Peano (1858-1932)

 

*    Il définit les entiers au moyen d'un système d'axiomes très simple. Il utilise le principe de récurrence:

*      Si une quantité est vraie pour 0

*      Et si, chaque fois qu'elle est vraie du nombre n, elle est vraie de son suivant n+1 Alors, elle est vraie pour tous les nombres.

 

*      Si bien qu'un nombre s'obtient à partir de 0, par addition successives d'unités.

 

 

 

MODÈLE NON-STANDARD DE L'ARITHMÉTIQUE


Albert Skolem avec contribution de Jacques Herbrand

 

*    Il introduit le modèle non-standard de l'arithmétique. Système mathématique ayant toutes les propriétés élémentaires des nombres entiers, mais qui diffère du modèle standard.

 

Ensemble des nombres non-standard

 

*       N : ensemble des nombres entiers "classiques"; et

*      *N : ensemble des entiers non-standard.

*N : comprend tous les entiers usuels de N et quelques nouveaux venus. Par exemple: w qui dépasse tous les nombres usuels, nombre qui se trouve en quelque sorte au-delà de l'horizon mathématique.

 

Tentative de visions

 

*    On ne peut pas imaginer un nombre non-standard. Ce n'est pas un nombre infini, mais un nombre qui recule au fur et à mesure que l'on s'avance.

*    0 est standard; dès qu'un nombre est écrit, il est standard et on peut écrire le suivant: 1, 23, 564, 123 456 789 … sont standard.

*    La bibliothèque univers contient 102 000 000 caractères: ce nombre est immense; il se rapproche d'un non-standard.

*    La frontière est floue entre les standards et non-standards. Il n'a pas de nombres standards qui seraient suivi immédiatement d'un nombre non-standard.

 

 

 

 

TRANSFERT STANDARD & NON-STANDARD

 


 Abraham Robinson (1960)

 

*    Il utilise cette mathématique de Skolem.

*      L'entier non-standard w permet de définir un infiniment petit du premier ordre: e = 1 / w.

*      Le carré de e sera un infiniment petit du 2e ordre.

*      Alors les infinitésimaux deviennent explicables et utilisables sans contradiction.

*      Le problème ne résidait pas vraiment dans l'existence d'infiniment grands ou petits, mais dans la définition rigoureuse (mathématique) de leurs propriétés.

*      Pour pouvoir faire des calculs avec des infiniment grands, il suffit de trouver une algèbre munie d'une relation d'ordre appropriée, contenant des éléments (w) supérieurs à tout une classe d'autres éléments assimilables à l'ensemble des nombres ordinaires.

*      Robinson reconstruit toute l'arithmétique en double: chaque objet est décrit en standard et en non-standard.

*      En particulier, tout réel non-standard est infiniment voisin d'un unique réel standard appelé partie standard.

*      On peut passer d'un modèle à l'autre grâce à un principe de transfert des propriétés.

*      Ce principe était connu de Leibniz, mais non justifié: les infinitésimaux obéissent aux mêmes règles de calcul que les nombres ordinaires.

 

En bref

*    On a trouvé un truc mathématique pour inclure d'autres individus au côté des nombres ordinaires, et cela pour faciliter les

*      calculs de variations (dérivées, vitesses, accélérations…);

*      équations différentielles d'accumulations (surfaces, volumes, distances parcourues…);

*      calcul intégral.

*    En particulier dans les cas les plus complexes exigeant l'utilisation des ordinateurs

 

 

 

LA PRATIQUE DES NOMBRES NON-STANDARD

 

Edward Nelson (1977)

*    Il publie un ouvrage qui reprend l'œuvre de Robinson, mais en la rendant plus abordable. Les méthodes non-standards seraient plus abordables, plus faciles à comprendre et à apprendre, comparées à l'enseignement classique du calcul différentiel et intégral.

*    Le traitement sur ordinateur utilise des nombres très grands, mais pas infinis. La représentation des images en pixels et des courbes par des pointillés entraînent une géométrie élémentaire nouvelle

 

Applications

 

*    Études des processus aléatoires:

*      bruits blancs, mouvements browniens…

*      solutions d'équations différentielles: retard aux changement de régime ("canard"), confluence des trajectoires en "fleuves" …

*      en physique mathématique: méthode de la sommation sur les "histoires" de Feynman …

 

 

 

CONCLUSION

 

Modèle théorique de la réalité numérique

 

*    Aujourd'hui, le monde est haché menu, du fait de la numérisation des données pour les rendre exploitables par ordinateur. Il existe donc une réalité numérique. Quel est son modèle? Le modèle non-standard est peut-être l'une des solutions

 

Ouverture

 

*    L'analyse non-standard est une simple technique de démonstration. Certaines démonstrations difficiles peuvent être plus simples grâce à cet outil. Certaines démonstrations impraticables à cause de leur complexité peuvent être rendues abordables.

 

 

 

D'après Pierre Cartier - Larousse Année 1994

En savoir plus: L'Analyse Non-Standard ou comment calculer avec des nombres infinitésimaux

Livre donnant les fondements mathématiques: "Les Nombres" - Ouvrage collectif - Vuibert 1998

 

 

 

 

Suite

*         Dérivées

*         Calcul des factorielles généralisées par sommes infinies

Voir

*         Analyse - Glossaire

*         Analyse de Fourrier

*         Calcul des variations - isopérimètres

*         Dérivées

*         Intégrale – Approche avec 1/x

*         Liouville

*         Nombre e

*         Nombre imaginaires

*         Nombre Pi

*         Nombres Périodiques 

*         Riemann

*         Types de nombres selon leurs diviseurs

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