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L'ANALYSE NON-STANDARD
Comment calculer avec des nombres infinitésimaux
Qu'est-ce qu'un nombre infini ?
Notion très théorique,
inutilisable en pratique !
- L'analyse
non-standard donne une manière précise de parler et de travailler avec les infiniment grands et
infiniment petits
- Pour cela, on agrandit l'ensemble des nombres
réels en y ajoutant des "nombres" infiniment grands (et
leurs inverses, les infiniment petits)
- Comme avec les nombres complexes et leur "partie réelle", on parlera de la "partie standard" des nombres non-standard
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-Ý- APPROCHE
Présentation
- L'Analyse Non-Standard est une théorie
mathématique
- Esquissée dès les années 60 par Abraham Robinson, à partir de la théorie
des modèles.
- Cette nouvelle Analyse (par opposition à
l'Analyse Classique) permet de calculer rigoureusement avec des nombres
infiniment grands et infiniment petits, comme l'ont toujours fait les
physiciens
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Définition
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L'Analyse Non Standard (ANS)
est une technique mathématique qui permet :
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- de pratiquer le calcul infinitésimal des
anciens et des physiciens
- où une quantité petite est une quantité fixe et non un paramètre qui tend vers
zéro
- en respectant toutes les prescriptions de la
rigueur mathématique moderne.
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Abraham Robinson
( 1918-1974)
Logicien et ingénieur américain d'origine
polonaise,
publie en 1960: Non-Standard Analysis
Motivation
- L'analyse classique (standard)
- Crée par Cauchy, Riemann, Lebesgue et autres
- Est un magnifique outil de grande précision
logique
- Cependant l'expérimentation numérique à très
grande échelle permise par les ordinateurs a révélé des phénomènes, qui sans
être logiquement en contradiction avec l'analyse standard, sont pris en
compte de manière détournée
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- L'analyse formelle (vers 1930) de Albert Skolem, Kurt Gödel, John von Neumann connaît deux conséquences paradoxales:
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- Bien sûr, et d'abord, le développement des
applications sur ordinateurs: structure du langage, raisonnements...
- Mais, aussi: base rigoureuse pour le calcul sur
les infinitésimaux
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- Une nouvelle mathématique du continu est en
train d'émerger
- Mieux adaptée à rendre compte des expériences
numériques
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Principe
- La notion d'infiniment petit est très ancienne
- Elle a permis d'imaginer les notions de limite
et de dérivées, base de toute l'Analyse ou "Calcul
Infinitésimal"
- Mais, " il existe n suffisamment
grand tel que ... " est une phrase rejetée par les mathématiciens
- Alors, comment traiter les infiniment grands et
les infiniment petits
- Avec une algèbre approprié contenant des
éléments supérieurs aux nombres ordinaires
- Le but serait de pouvoir transférer
naturellement les propriétés des nombres ordinaires aux infiniment
grands et petits.
- C'est ce tour de force élégant qu'a réussi
l'Analyse Non-Standard, ouvrant les portes à un calcul infinitésimal
efficace.
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Avant d'aborder la suite,
il est utile de réviser quelques notions sur
les infinitésimaux
-Ý- CONSTRUCTION
DES NOMBRES
Giuseppe Peano
(1858-1932)
- Définit les entiers au moyen d'un système
d'axiomes très simple
- Il utilise le principe de récurrence:
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- Si une quantité est vraie pour 0
- Et si, chaque fois qu'elle est vraie du nombre n,
elle est vraie de son suivant n+1
- Alors est vraie pour tous les nombres
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· Un nombre s'obtient à partir de 0,
par addition successives d'unités
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-Ý- MODÈLE NON-STANDARD DE L'ARITHMÉTIQUE
Albert Skolem
Contribution de Jacques Herbrand
- Introduit le modèle non-standard
de l'arithmétique
- Système mathématique ayant toutes les
propriétés élémentaires des nombres entiers, mais qui diffère du modèle
standard
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Ensemble des nombres non-standard
- N : ensemble des nombres entiers
"classiques"
- *N : ensemble des entiers non-standard
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· *N : comprend tous les entiers usuels de N et
quelques nouveaux venus
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· Par exemple: w qui
dépasse tous les nombres usuels, nombre qui se trouve en quelque sorte
au-delà de l'horizon mathématique
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Tentative de visions
- On ne peut pas imaginer un nombre non-standard
- Ce n'est pas un nombre infini, mais un nombre
qui recule au fur et à mesure que l'on s'avance
- 0 est standard; dès qu'un nombre est écrit, il
est standard et on peut écrire le suivant: 1, 23, 564, 123 456 789 …
sont standard
- La bibliothèque
univers contient 102 000 000 caractères: ce nombre est immense; il se rapproche d'un non-standard
- La frontière est floue entre les standards et
non-standards
- Il n'a pas de nombres
standard qui seraient suivi immédiatement d'un nombre
non-standard
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-Ý- TRANSFERT STANDARD & NON-STANDARD
Abraham Robinson
1960
- Utilise cette mathématique de Skolem
- L'entier non-standard w permet de définir un infiniment petit du
premier ordre: e = 1 / w
- Le carré de e sera un
infiniment petit du 2e ordre
- Alors les infinitésimaux deviennent explicables
et utilisables sans contradiction
- Le problème ne résidait pas vraiment dans
l'existence d'infiniment grands ou petits, mais dans la définition rigoureuse (mathématique) de leurs
propriétés.
- Pour pouvoir faire des calculs avec des
infiniment grands, il suffit de trouver une algèbre
munie d'une relation d'ordre appropriée, contenant des éléments (w )
supérieurs à tout une classe d'autres éléments assimilables à l'ensemble
des nombres ordinaires.
- Robinson reconstruit toute l'arithmétique en
double: chaque objet est décrit en standard et en non-standard
- En
particulier, tout réel non-standard est infiniment voisin d'un unique
réel standard appelé partie
standard
- On peut passer d'un modèle à l'autre grâce à un
principe de transfert des propriétés
- Ce principe était connu de Leibniz, mais non
justifié:
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· Les infinitésimaux obéissent aux mêmes
règles de calcul que les nombres ordinaires
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En bref
- On a trouvé un truc mathématique pour inclure
d'autres individus au côté des nombres ordinaires
- Et ceci pour faciliter les calculs
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- de variations (dérivées, vitesses, accélérations…)
- équations
différentielles
- d'accumulations (surfaces, volumes,
distances parcourues…) - calcul intégral
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· En particulier dans les cas les plus
complexes exigeant l'utilisation des ordinateurs
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-Ý- LA PRATIQUE DES NOMBRES NON-STANDARD
Edward Nelson
1977
- Publie un ouvrage qui reprend l'œuvre de
Robinson, mais en la rendant plus abordable
- Les méthodes non-standards seraient plus
abordables, plus faciles à comprendre et à apprendre, comparées à l'enseignement
classique du calcul différentiel et intégral
- Le traitement sur ordinateur utilise des
nombres très grands, mais pas infinis
- La représentation des images en pixels et des
courbes par des pointillés entraînent une géométrie élémentaire nouvelle
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Applications
- Études des processus aléatoires: bruits blancs,
mouvements browniens…
- solutions d'équations différentielles: retard
aux changement de régime ("canard"), confluence des trajectoire en "fleuves" …
- en physique mathématique: méthode de la sommation
sur les "histoires" de Feynman …
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-Ý- CONCLUSION
Modèle théorique de la réalité numérique
- Aujourd'hui, le monde est haché menu, du fait
de la numérisation des données pour les rendre exploitables par ordinateur.
- Il existe donc une réalité numérique.
- Quel est son modèle?
- Le modèle non-standard est peut-être l'une des
solutions
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Ouverture
- L'analyse non-standard est une simple technique
de démonstration.
- Certaines démonstrations difficiles peuvent être
plus simples grâce à cet outil
- Certaines démonstrations impraticables à cause
de leur complexité peuvent être rendues abordables.
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D'après Pierre Cartier - Larousse Année 1994
En savoir
plus: L'Analyse
Non-Standard ou comment calculer avec des nombres infinitésimaux
Livre donnant les fondements mathématiques: "Les
Nombres" - Ouvrage collectif - Vuibert 1998