NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ÉNIGMES

 

Débutants

JEUX

Dans la rue 

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

JEUX

 

Trois maisons

Numéros dans la rue

Quelle est le numéro?

 

Sommaire de cette page

>>> Problème et son contexte

>>> Mise en équation

>>> Solutions de l'équation

>>> Solution de l'énigme

>>> Bilan

>>> Exploration

 

 

 

 

 

Quel est le numéro de la maison?

 

Une célèbre énigme qui semble simple; Pourtant sa résolution va nous embarquer dans le monde des fractions continues et des équations de Pell.

 

 

 

Devinettes plus simples, de mise en jambe

Je me rends au magasin et compte les maisons sur ma gauche: il y en a vingt. Pour m'amuser, au retour, je compte celles sur la droite: il y en a vingt. Combien  de maisons ai-je compté en tout?

Deux voisins face à face dans la rue constatent avec étonnement que leurs numéros sont 33 et 66. En entrée de rue,  une des villas porte le numéro 1 et l'autre en face porte le numéro maximum N. À chaque villa d'un côté de la rue fait face une villa de l'autre côté.

Les deux voisins se demandent s'ils peuvent calculer la quantité N de villas dans la rue.

Solution

 

 

Problème et son contexte

 

Problème

*    Une rue de Louvain en Belgique. Les numéros des maisons se suivent.

Une des maisons a un numéro tel que la somme de tous les autres avant dans la rue est égale à la somme de tous les autres après dans la rue. Ce numéro est compris entre 50 et 500. Quel est-il?


 

 

Exemple: Si n = 6 et m = 8 alors 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = 7 + 8.

 

Contexte

*    L'Indien P.C. Mahalanobis, compagnon de chambrée de Ramanujan à Whewell's Court,  essayait de résoudre le problème figurant sur un journal. Ramanujan écoute l'énoncé de l'énigme, tout en continuant à faire frire ses légumes (il est végétalien) et affirme immédiatement qu'il sait en trouver toutes les solutions avec l'aide de fractions continues. Voici la solution que probablement Ramanujan avait en tête.

*    Pourquoi la ville de Louvain? En 1914, cette ville est embrasée et la population torturée par les troupes allemande. Dans la presse, Louvain devient le symbole d'un tournant de la civilisation vers la barbarie

*    Cette anecdote fut relatée dans le journal Strand de décembre 1914. Une page y était consacrée aux énigmes. Cette fois le problème était intitulé: "Puzzles at a Village Inn".

 

Source: On Ramanujan continued fractions par John Butcher.

et le roman "Le Comptable indien" par David Leavitt >>>

 

 

 

Mise en équation

 

*    Somme des entiers jusqu'à n – 1, le numéro de la maison juste avant.

 

Savant

= ½ n (n – 1)

 

*    Somme des entiers après jusqu'à m, la dernière maison.
C'est le total des maisons de la rue, diminué du total de celles avant; en prenant soin d'éliminer la maison concernée

 

Saprès 

= ½ m (m + 1) – ½ n (n – 1) – n

 

*    Égalité:

 

½ n (n –  1)

= ½ m (m + 1) – ½ n (n – 1) – n

*    En prenant le double:

n (n – 1)

= m (m + 1) – n (n – 1) – 2n

*     m d'un côté et n de l'autre.

m (m + 1)

= 2n (n – 1) + 2n

*    Calcul.

m² + m

= 2n²

*    Obtention de carrés:

4m² + 4m + 1

4m² + 4m + 1

(2m + 1)²

= 8n² + 1

= 2x4n² + 1

= 2 (2n)² + 1

*    Ou, sous forme d'une équation:

(2m + 1)²

– 2 (2n)² – 1  = 0 

*    Sous forme générique: une équation de Pell.

– 2 y² – 1 = 0 

*    Une solution facile à trouver:
 x = 3 et y = 2.

9

– 8 – 1 = 0 

 

 

Solution de l'équation de Pell

 

*    La solution fait appel à la fraction continue de racine de 2

 

= [1, 2, 2, 2, …]

Les réduites sont les fractions successives obtenues en tronquant la fraction continue.

 

Anglais: convergents.

(1)

(2)

(3)

(4)

Nous reconnaissons la solution:

3²

– 2 x 2² – 1 = 0 

Solution suivante:

17²

– 2 x 12² – 1  = 0  = 289 – 2 x 144 + 1

Une fraction sur deux fonctionne; les autres (en vert) répondent à la même équation, mais en +1.

 

– 2 y² + 1 = 0 

 

 

Solutions du problème

 

Seules les fractions à dénominateur pair conviennent:

 


Solution pour n compris entre 50 et 500 : la maison concernée porte le numéro 204 sur un total de 288 maisons dans la rue.

 

Vérification

1 + 2 + 3 + … 203   = 203 x 204/2 = 20 706

205 + 206 + … 288 = 288  x 289/2 – 204 x 205/2 =  41 616 – 20 910 = 20 706.

 

 

Bilan

La maison dans la rue, ayant un numéro compris entre 50 et 150, telle que la somme de tous les numéros avant est égale à la somme de tous les numéros après est au numéro 204 pour 288 maisons dans la rue.

Les nombre tels que la somme de tous les entiers précédents soit égal à tous les entiers suivants sont 6 pour 8 au total, 25 sur 49, 204 sur 288, 1189 sur 1681, etc. Il existe une infinité de possibilités qui se déduisent d'un calcul avec les réduites de racine de 2.

 

 

Exploration

 

Nous sommes toujours dans le cas où la somme d'un côté est égale à la somme de l'autre, tout en ignorant le numéro central n.

 

En tête du tableau, les cas où la somme avant et la somme après sont égales. On trouve successivement n, m, somme avant et somme après.

Suivent les cas où la somme après est une fraction ou un multiple de la somme d'avant.

 

Exemple: n = 28 et m = 34, alors 1 + 2 + 3 + … + 27 = 378

                                                                                      et 29 + 30 + … + 34 = 189 = 378 / 2.


 

 

Pour tout nombre n, il est possible de trouver une somme triple de l'autre en prenant m = 2n – 1.

 

Explication illustrée:

 

 

 

Maintenant, en incluant le numéro central. s sont pris en compte.

 

Exemple: 1 + 2 + 3 + … + 14 = 15 + 16 + … + 20 = 105

ou le plus simple: 1 + 2 = 3

 

Curieux de constater qu'avec 1/3, dans un cas nous avons une infinité de solutions et dans l'autre aucune.

 

 

 

Devinettes – Solution

Si j'ai compté quarante maisons, j'ai cependant compté deux fois les mêmes! Donc, vingt maisons différentes.

Deux voisins face à face dans la rue constatent que leurs numéros sont 33 et 66. En entrée de rue,  une des villas porte le numéro 1 et l'autre en face porte le numéro maximum N. À chaque villa d'un côté de la rue fait face une villa de l'autre côté.

Les deux voisins se demandent s'ils peuvent calculer la quantité N de villas dans la rue.

Solution

 

Prenons un exemple simple avec huit villas. Les villas face à face portent les numéros i et j.

Et  j = 9 – 3 = N + 1 – i.

Autrement-dit: N = i + j - 1

Dans le cas proposé: N = 33 + 66 – 1 = 98.

Retour

 

 

 

 

 

 

Voir

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Aussi

*  Numéros des villas

*  Équations de Pell-Fermat

*  Les trois villas

*  Partage – Énigmes classiques

*  ÉnigmesIndex

DicoNombre

*  Nombre 14

*  Nombre 84

Sites

*  On Ramanujan, continued fractions and interesting street number by John Butcher >>>

*  Ramblings of a Ramdom Math Enthusaist par Karthik (texte de l'énigme en anglais) >>>

Livres

*  The man who knew infinity par Robert Kanigel – Une référence!

*  Le Comptable indien par David Leavitt  - La vie de Ramanujan auprès de Hardy, Littlewood et les autres …>>>

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Arithmet/Maison.htm