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Quel
est le numéro de la maison? Une
célèbre énigme qui semble simple; Pourtant sa résolution va nous embarquer
dans le monde des fractions
continues et des équations
de Pell. |
Devinettes plus simples, de mise en jambe
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Je
me rends au magasin et compte les maisons sur ma gauche: il y en a vingt.
Pour m'amuser, au retour, je compte celles sur la droite: il y en a vingt.
Combien de maisons ai-je compté en
tout? |
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Deux
voisins face à face dans la rue constatent avec étonnement que leurs numéros
sont 33 et 66. En entrée de
rue, une des villas porte le numéro 1
et l'autre en face porte le numéro maximum N. À chaque villa d'un côté de la
rue fait face une villa de l'autre côté. Les
deux voisins se demandent s'ils peuvent calculer la quantité N de villas dans
la rue. |
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Problème
Une des maisons a un numéro
tel que la somme de tous les autres avant
dans la rue est égale à la somme de tous les
autres après dans la rue. Ce numéro est compris entre 50 et 500. Quel est-il?
Exemple: Si n = 6 et m =
8 alors 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = 7 + 8. Contexte
Source: On
Ramanujan continued fractions par John Butcher. et le roman "Le
Comptable indien" par David Leavitt >>> |
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Savant |
= ½ n (n – 1) |
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Saprès |
= ½ m (m + 1) – ½ n (n – 1) – n |
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½ n (n – 1) |
= ½ m (m + 1) – ½ n (n – 1) – n |
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n (n – 1) |
= m (m + 1) – n (n – 1) – 2n |
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m (m + 1) |
= 2n (n – 1) + 2n |
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m² + m |
= 2n² |
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4m² + 4m + 1 4m² + 4m + 1 (2m + 1)² |
= 8n² + 1 = 2x4n² + 1 = 2 (2n)² + 1 |
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(2m + 1)² |
– 2 (2n)² – 1 = 0 |
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x² |
– 2 y² – 1 = 0
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9 |
– 8 – 1 = 0 |
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= [1, 2, 2, 2, …] |
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Les réduites sont les fractions successives obtenues
en tronquant la fraction continue. Anglais: convergents. |
(1) |
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(2) |
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(3) |
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(4) |
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Nous reconnaissons la
solution: |
3² |
– 2 x 2² – 1 = 0 |
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Solution suivante: |
17² |
– 2 x 12² – 1 = 0
= 289 – 2 x 144 + 1 |
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Une fraction sur deux fonctionne;
les autres (en vert) répondent à la
même équation, mais en +1. |
x² |
– 2 y² + 1 = 0 |
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Seules les fractions à
dénominateur pair
conviennent:
Vérification 1 + 2 + 3 + … 203 = 203 x 204/2 = 20 706 205 + 206 + … 288 = 288 x 289/2 – 204 x 205/2 = 41 616 – 20 910 = 20 706. |
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La maison dans la rue, ayant un numéro compris entre 50 et
150, telle que la somme de tous les numéros avant est égale à la somme de tous
les numéros après est au numéro 204 pour 288 maisons dans la rue. Les nombre tels que la somme de tous les entiers précédents
soit égal à tous les entiers suivants sont 6 pour 8 au total, 25 sur 49, 204
sur 288, 1189 sur 1681, etc. Il existe une infinité de possibilités qui se
déduisent d'un calcul avec les réduites de racine de 2. |
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Nous sommes toujours dans le
cas où la somme d'un côté est égale à la somme de l'autre, tout en ignorant
le numéro central n. En tête du tableau, les cas où
la somme avant et la somme après sont égales. On trouve successivement n, m,
somme avant et somme après. Suivent les cas où la somme
après est une fraction ou un multiple de la somme d'avant. Exemple: n = 28 et m =
34, alors 1 + 2 + 3 + … + 27 = 378
et 29 + 30 + … + 34 = 189 = 378 / 2.
Pour tout nombre n, il est possible de trouver une somme triple de
l'autre en prenant m = 2n – 1. Explication illustrée:
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Si
j'ai compté quarante maisons, j'ai cependant compté deux fois les mêmes!
Donc, vingt maisons différentes. |
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Deux
voisins face à face dans la rue constatent que leurs numéros sont 33 et 66.
En entrée de rue, une des villas porte
le numéro 1 et l'autre en face porte le numéro maximum N. À chaque villa d'un
côté de la rue fait face une villa de l'autre côté. Les
deux voisins se demandent s'ils peuvent calculer la quantité N de villas dans
la rue.
Prenons
un exemple simple avec huit villas. Les villas face à face portent les
numéros i et j. Et j = 9 – 3 = N + 1 – i. Autrement-dit:
N = i + j - 1 Dans
le cas proposé: N = 33 + 66 – 1 = 98. |
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