racine de 2

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/03/2013 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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		Sommaire de cette page >>> Valeur de racine de 2 >>> Fraction continue >>> Réduites >>> Racine de racine >>> Développements >>> Séries >>> Formule itérative >>> Carré et triangulaire

Valeur en bref

Valeur facilement mémorisable pour les quatre premières décimales:

= 1, 41 42 …

Une fraction proche de

racine de 2:

= 1, 4142 135 …

99 / 70 = 1, 4142 857…

Cent premières décimales

4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694

8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 …

Nombres coussins

Deux constantes remarquables, qui nous offrent des analogies:

Chacune est composée d'une succession de deux chiffres 41/42 et 14/15;

Elles n'utilisent que les chiffres de 1 à 5;

Coïncidence de 1414 et 1415.

VALEURS exacte et approchées de racine de 2

= 1, 41 42 13 …	Irrationnel . Diagonale du carré de côté 1.
17 / 12	Babyloniens.
7 / 5	Pythagore.
99 / 70	à 72 10^-6
1 + 24/60 + 51/60²+ 10/60³ = 1,414 215 5	Babyloniens.
577 / 408 = 1,41 42 15	Réduite.
= 1/2 {1 + 3 / 4 + 3.5 / 4.8 + 3.5.7 / 4.8.12 +…}	Suite.
= longueur / largeur du rectangle	Base du format A4.
= 0,707 106 = sin 45° = cos 45°	Trigonométrie.

FRACTIONS CONTINUES de racine de 2
Approximation par une fraction à étage ou fractions continues. Due à Bombelli (1572) Notation concise	2 = [1; 2, 2, 2 …]
Autre valeurs	2 = [1; 2, 2, 2 …] 2 = 1/2 × [3; -1, 6; -1, 6; -1, 6; …] 2 = 1/12 × [17; -1, 34; -1, 34, -1, 34; …] 2 = 1/70 × [90; -1, 180; -1, 180, -1, 180; …]

RÉDUITES – Fractions proches de racine de 2

Réduites successives de racine de 2.

Suite de ce tableau >>>

Observez la formation de chacune des fractions:

Les numérateurs et dénominateurs constituent une fameuse suite d'équations de Pell.
La suite des nombres au dénominateur est appelée séquence de Pell.

FORMULES ITÉRATIVES donnant les mêmes fractions (réduites)

Formule qui converge vers la valeur de √ 2: X_n+1= (X_n+ 2) / (X_n+ 1)

Autre écriture: X_n+1= (a + 2b) / (a + b) avec X_n = a/b

Propriétés

On décompose le numérateur en somme de 2 nombres consécutifs
Pour 41/29, on observe 41 = 20 + 21 et 20² + 21² = 29²

En fait: N² – 2D² = 1 Voir Pell

RACINES & PUISSANCES de racine de 2

Voir Tables

DÉVELOPPEMENTS typiques de racine de 2

SÉRIES de racine de 2

Formule convergente vers 1 avec racine de 2

Voir Nombres de Fibonacci et formule de Binet

Formule convergente vers 1 avec racine de 2

À la fois carré et triangulaire

Nombre à la fois CARRÉ et TRIANGULAIRE.

On s'intéresse à leurs diviseurs. Ils sont deux.

Quelle est la valeur de la fraction du plus grand sur le plus petit ?

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Voir	Imaginaires Constantes Pi Nombre d'Or
Diconombre	Nombre 2 Racine de 2
Livre	Le Fabuleux destin de racine carrée de 2 – Benoît Rittaud – 2006
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