NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 23/07/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Brèves de Maths    

            

CONSTANTES

 

Débutants

Nombres

RACINE de 2

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

 

Général 

 

Introduction

Valeur

Propriétés

Géométrie

Historique

Calcul

Irrationnel

Doubler

 

Sommaire de cette page

>>> Valeur de racine de 2

>>> Fraction continue

>>> Réduites

>>> Racine de racine

>>> Développements

>>> Séries

>>> Formule itérative

>>> Carré et triangulaire

>>> Racines énièmes de 2 – Table

 

 

 

Valeur en bref

Valeur facilement mémorisable pour les quatre premières décimales:

 

 = 1, 41 42 …

Une fraction proche de

racine de 2:

 

       = 1, 4142 135 … 

 99 / 70 = 1, 4142 857…

 

Cent premières décimales

1,

4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694

8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 …

Voir Explication du motif 11 14  21 35 dans racine de 2

 

 

 

Nombres coussins

 

P1030981

 

Deux constantes remarquables, qui nous offrent des analogies:

*        Chacune est composée d'une succession de deux chiffres 41/42 et 14/15;

*        Elles n'utilisent que les chiffres de 1 à 5;

*        Coïncidence de 1414 et 1415.

 

 

VALEURS exacte et approchées de racine de 2

   = 1, 41 42 13 …

*      Irrationnel.

Diagonale du carré de côté 1.

*      Tamoul – Antiquité indienne

*      Babyloniens

     7 / 5

*      Pythagore.

   99 / 70

*      à 72 10-6

                  = 1,414 215 5

*      Babyloniens. On ne sait pas comment les Mésopotamiens sont parvenus à ce résultat.

*      Réduite.

*      Inde: Védas (vers 700 av. J.-C.)

*      Suite.

= longueur / largeur du rectangle

*      Base du format A4.

      = 0,707 106

      = sin 45° = cos 45°

*      Trigonométrie.

*      Vérification en multipliant par le conjugué du dénominateur.

*      Vérification en multipliant par le conjugué du dénominateur.

 

Racines à étages

 

 

FRACTIONS CONTINUES de racine de 2

*    Approximation par une fraction à étage ou fractions continues.

 

Due à Bombelli (1572)

 

Notation concise

2 = [1; 2, 2, 2 …]

 

Autre valeurs

 

2 = [1; 2, 2, 2 …]

 

2 = 1/2 × [3; -1, 6; -1, 6; -1, 6; …]

 

2 = 1/12 × [17; -1, 34; -1, 34, -1, 34; …]

 

2 = 1/70 × [90; -1, 180; -1, 180, -1, 180; …]

 

Voir Application à la résolution de l'énigme du numéro de la villa

 

 

 

RÉDUITES – Fractions proches de racine de 2

 

*    Réduites successives de racine de 2.


 

Suite de ce tableau >>>

 

*    Observez la formation de chacune des fractions:

 

*    Les numérateurs et dénominateurs constituent une fameuse suite d'équations de Pell.
La suite des nombres au dénominateur est appelée séquence de Pell.

 

 

FORMULES ITÉRATIVES donnant les mêmes fractions (réduites)

 

 

*    Formule qui converge vers la valeur de √ 2:              Xn+1 = (Xn + 2) / (Xn + 1)

 

*    Autre écriture:                                                      Xn+1 = (a + 2b) / (a + b) avec Xn = a/b

 

Propriétés

 

*    On décompose le numérateur en somme de 2 nombres consécutifs
Pour 41/29, on observe 41 = 20 + 21 et 20² + 21² = 29²

En fait:                                                                  N² – 2D² =  1                           Voir  Pell

 

 

Réduites avec Pell-Lucas

*    Suite de Pell-Lucas {1, 3, 7, 17, 41, 99, 239 …} en PLn = 2 x PLn-1 + PLn-2
Le rapport entre deux nombres successifs converge vers le nombre d'argent: 1 + 
.


*    D'une manière générale, la suite de Pell-Lucas offre de meilleures réduites pour racine de 2.

 

RACINES & PUISSANCES de racine de 2

Voir Tables

 

 

DÉVELOPPEMENTS typiques de racine de 2

Les identités (2) et (3) sont identiques, l'une étant le développement de l'autre.

Voir explications en  Identités en k

 

Ces formules sont très lentement convergentes vers racine de 2.

*       Avec 1000 facteurs, on trouve 1,4143 pour la première formule et 1,4141 pour les deux suivantes.

*       Avec 10 000,  on n'a que quatre décimales: 1,41422 et 1,41420 pour 1,414213…

*       Avec 100 000, on ne gagne qu'une seule décimale: 1,414214 et 1,414212

 

SÉRIES de racine de 2

 

 

Formule convergente vers 1 avec racine de 2

Voir Nombres de Fibonacci et formule de Binet

 

Formule convergente vers 1 avec racine de 2

 

 

À la fois carré et triangulaire

 

*    Nombre à la fois CARRÉ et TRIANGULAIRE.

*    On s'intéresse à leurs diviseurs. Ils sont deux.

*    Quelle est la valeur de la fraction du plus grand sur le plus petit ?

 

 

 

Racine de 2 – Table

 

Tableau des racines énièmes de 2 pour n de 2 à 20

avec 30 chiffres significatifs

Voir Calcul des racines avec calculette / Tables de valeurs numériques

 

 

 

 

Suite

*    Calcul

*    Racine de 2 – Spectre

Retour

*    Racine

*    Racine carrée

*    Développement de Taylor

Voir

*    Imaginaires

*    Constantes

*    Pi

*    Nombre d'Or

Diconombre

*    Nombre 2

*    Racine de 2

Livre

*    Le Fabuleux destin de racine carrée de 2 – Benoît Rittaud – 2006

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Rac2Val.htm