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COURBES ELLIPTIQUES Une introduction Résoudre
les équations
diophantiennes consiste à trouver des racines en nombres
entiers. Résoudre une équation elliptique
consiste à trouver des nombres
rationnels (des fractions) en tant que racines. Les
courbes elliptiques sont des courbes munies d'une loi de groupe
(définition d'une addition de points). Les coordonnées
du point-somme s'exprimant de façon polynomiale à partir de celles des points
à additionner. Les
courbes elliptiques (courbes en y2 et x3) ont de
nombreuses applications. On connait de réputation leur emploi dans la
démonstration du théorème
de Fermat-Wiles. |
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Les
courbes elliptiques sont des courbes algébriques qui tirent leur nom du fait
qu'elles peuvent servir à calculer la longueur d'arc d'ellipse. Mais …l'ellipse
n'est pas une courbe elliptique ! |
Applications
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La courbe
est définie par une fonction du type (équation de Weierstrass). |
y2
= x3 + Ax + B Notez: pas de x² |
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Exigence Tangente
définie en chaque point, pas de point double, pas de point de rebroussement. Delta est
le discriminant. |
x3 + Ax + B a des racines
distinctes, ou
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COURBE de type 1 avec trois racines réelles Exemple: y² = x3
– 4x + 1 Quelques points entiers x = –1 y =
2 et y = –2 x = 0 y
= 1 et y = –1 x = 2 y
= 1 et y = –1 x = 3 y
= 4 et y = –4 Et aussi, points rationnels x = 1/4
y = 1/8 et y = –1/8 x = 6/25
y = 29/125 et y = –29/125 x = 33/16
y = 79/64 et y = –79/64 x = 91/25
y = 736/125 et y = –736/125 x = 92/49
y = 113/43 et y = –113/343 La quantité de chiffres du numérateur et du dénominateur s'appelle la taille (ou hauteur) du point rationnel. La courbe est constituée de deux morceaux, on dit: de deux composantes connexes. |
Graphe
Discriminant
= -16 ( -256 + 27) = 16 x 229 = 3664 Il est positif => 3
racines réelles Racines –2,1149… ; 0,2541… ; 1,8608… |
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COURBE de type 2 avec une racine réelle Exemple: y² = x3
– x + 1 Quelques points entiers x = –1 y =
1 et y = –1 x = 0 y
= 1 et y = –1 x = 3 y
= 5 et y = –5 x = 5 y
= 11 et y = –11 Et aussi, points rationnels x = –11/9
y = 17/27 et y = –17/27 x = 1/4 y = 7/8 et y = –7/8 x = 19/25
y = 103/125 et y = –103/125 |
Graphe
Discriminant
= -16 ( -4 + 27) = 16 x (-4) = - 368 Il est négatif => 1
seule racine réelle Racines: une réelle et deux
complexes –1,3247… 0,6623… – 0,5622… i 0,6623… + 0,5622… i |
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Quelques exemples de courbes elliptiques
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Propriété Il se trouve (et on peut le démontrer) que: une
droite sécante passant par deux points de la courbe (P et Q) recoupe la
courbe en un troisième point R (distinct ou non). Addition générale Elle est définie de sorte que les propriétés de
l'addition soient réunies. On choisit le point S, symétrique de R (de même
abscisse, mais d'ordonnée opposée). La figure montre la construction qui est très
simple. Il y a
cependant quelques cas particuliers à examiner. |
Principe de l'addition de deux
points
Courbe y2 =
x3 – 5x + 8 |
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Addition d'un point à lui-même Si le point Q se rapproche du point P, la droite
PQ tend vers la tangente en P à la courbe. La construction de la somme est identique en
prenant non plus la sécante, mais la tangente. So far,
so good! Jusque là tout va bien. Reste à
analyser deux cas particuliers liés à la verticalité. |
Addition de P et P
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Addition de points sur une
verticale Si les points P et Q sont situés sur une
verticale (même abscisse), alors P = Q = –P La
verticale ne rencontre pas la courbe en un troisième point. Le point R
n'existe pas. Que faire? On imagine tout de même un troisième point, dit
rejeté à l'infini et que l'on nomme O.
En fait, ce point se trouve n'importe où sur la
verticale. Ce nouveau pseudo-point est l'élément neutre de
l'addition des points. Le pendant du zéro pour l'addition
arithmétique. Notez bien que ce
pseudo-point n'est pas à l'origine des axes. |
Additions de points de même
abscisse
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Addition de points sur la tangente
verticale Comme précédemment (cas n°2), on a recourt à la
tangente et alors P + P = 2 P = O |
Addition de deux points sur la tangente verticale
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Conclusion On se souvient qu'il s'agit d'une définition
s'appuyant sur une construction simple. Muni de l'artifice du point neutre O, l'opération possède toutes les
propriétés habituelles de l'addition. Il s'agit
alors de voir comment calculer les coordonnées du point somme. |
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P + O = O + P = P P + ( –P) = O P + Q = Q + P P + (Q + Q') = (P + Q) + Q' |
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Une
courbe elliptique: Deux
points: Et la
sécante passant par P1 et P2: |
y2 = x3 + Ax + B P1 (x1, y1)
et P2 (x2, y2) y = ax
+ b |
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Calcul de
la pente a : |
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Classiquement
la valeur de b |
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Les
abscisses des trois points d'intersection sont solutions de => Soit avec
le produit impliquant les trois racines => |
(ax
+ b)2 = x3 + Ax + B x3
+ Ax + B – (ax + b)2 =
(x – x1) (x – x2) (x – x3) |
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En
développant des deux côtés |
x3–
a2x2 + (A – 2ab)x + B – b² = 0 |
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En égalant
les coefficients de x² |
a2 = x1+x2+
x3 x3
= a2 – x1 – x2
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Et
l'ordonnée du point P3 sur la sécante: |
y3
= ax3 + b
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Coordonnées
de la somme |
x4
= x3 et
y4 = - y3 |
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Exemple: y² = x3 – 5x + 8 Points
quelconques en rouge x1 =
-2,5 et y1 = 2,21 x2 =
-1 et y2 = 3,46
y3 =
7,8 et y4 = - 7,8 Points
rationnels en noir x1 = 1 et
y1 = 2 x2 =
-7/4 et y2 = 27/8 x3 = 1 y3 = 2 et
y4 = - 2 |
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Présentation Harold Edwards a étudié ce genre de courbes en 2007. Ce sont des courbes elliptiques. Application en cryptographie par
Daniel J. Bernstein et Tanja Lange. Elles seraient plus avantageuses que les courbes plus connues de
Weierstrass. Équations de ces courbes
Courbes bleues: k = 1000 (interne) et 300. Courbes rouges: k = 10 puis 1. Courbe noire: k = 0 (cercle) Courbe verte: k = –
0,9 puis – 1 (carré) Courbe violette: k = – 2 |
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Équation du carré
Voir Carré Autour du carré (Voir le graphe) Courbe bleue: k = –
0,95 Courbe rouges: k = –
1 Courbe noire: k = –
1,1 |
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Voir Brève
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Voir |
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