NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des NOMBRES

 

Débutants

Général

Courbes elliptiques

 

Glossaire

Ellipse / Elliptique

 

 

INDEX

 

Théorie des nombres

Introduction

Nombres congruents

Vers l'elliptique

 Eq. de Bachet

Rang des courbes elliptiques

 

Sommaire de cette page

>>> Courbe elliptique

>>> Deux types de courbes elliptiques

>>> Quelques exemples de courbes elliptiques

>>> Définition de l'addition

>>> Propriétés de l'addition

>>> Coordonnées du point R = P + Q

 

 

 

 

COURBES ELLIPTIQUES

Une introduction

 

Résoudre les équations diophantiennes consiste à trouver des racines en  nombres entiers. Résoudre une équation elliptique consiste à trouver des nombres rationnels (des fractions) en tant que racines.

Les courbes elliptiques sont des courbes munies d'une loi de groupe (définition d'une addition de points). Les coordonnées du point-somme s'exprimant de façon polynomiale à partir de celles des points à additionner.

Les courbes elliptiques (courbes en y2 et x3) ont de nombreuses applications. On connait de réputation leur emploi dans la démonstration du théorème de Fermat-Wiles.

 

 

Courbe elliptique

Les courbes elliptiques sont des courbes algébriques qui tirent leur nom du fait qu'elles peuvent servir à calculer la longueur d'arc d'ellipse.

Mais …l'ellipse n'est pas une courbe elliptique !

 

Applications

*    mécanique classique: description du mouvement des toupies,

*    théorie des nombres: démonstration du dernier théorème de Fermat,

*    cryptologie: factorisation des entiers ou fabrication de codes performants,

*    etc.

 

 

La courbe est définie par une fonction du type (équation de Weierstrass).

 

y2 = x3 + Ax + B

Notez: pas de x²

 

Exigence

Tangente définie en chaque point, pas de point double, pas de point de rebroussement.

Delta est le discriminant.

x3 + Ax + B a des racines distinctes,

ou

 

Deux types de courbes elliptiques

 

COURBE de type 1

avec trois racines réelles

 

Exemple: y² = x3 – 4x + 1

 

Quelques points entiers

x = –1  y = 2 et y = –2

x = 0    y = 1 et y = –1

x = 2    y = 1 et y = –1

x = 3    y = 4 et y = –4

 

Et aussi, points rationnels

x = 1/4    y = 1/8  et y = –1/8

x = 6/25   y = 29/125  et y = –29/125

x = 33/16   y = 79/64  et y = –79/64

x = 91/25   y = 736/125  et y = –736/125

x = 92/49   y = 113/43  et y = –113/343

 

La quantité de chiffres du numérateur et du dénominateur s'appelle la taille (ou hauteur)  du point rationnel.

La courbe est constituée de deux morceaux, on dit: de deux composantes connexes.

 

 

Graphe

Discriminant

  = -16 ( -256 + 27) = 16 x 229 = 3664

Il est positif => 3 racines réelles

 

Racines

–2,1149… ; 0,2541… ; 1,8608…

 

COURBE de type 2

avec une racine réelle

 

Exemple: y² = x3 – x + 1

 

Quelques points entiers

x = –1  y = 1 et y = –1

x = 0    y = 1 et y = –1

x = 3    y = 5 et y = –5

x = 5    y = 11 et y = –11

 

Et aussi, points rationnels

x = –11/9   y = 17/27       et y = –17/27

x = 1/4        y = 7/8           et y = –7/8

x = 19/25    y = 103/125  et y = –103/125

 

 

 

Graphe

 

Discriminant

  = -16 ( -4 + 27) = 16 x (-4) = - 368

Il est négatif => 1 seule racine réelle

 

Racines: une réelle et deux complexes

–1,3247…

0,6623… – 0,5622… i

0,6623… + 0,5622… i

 

 

Quelques exemples de courbes elliptiques

 

Définition de l'addition

 

Propriété

Il se trouve (et on peut le démontrer) que: une droite sécante passant par deux points de la courbe (P et Q) recoupe la courbe en un troisième point R (distinct ou non).

 

Addition générale

Elle est définie de sorte que les propriétés de l'addition soient réunies.

On choisit le point S, symétrique de R (de même abscisse, mais d'ordonnée opposée).

La figure montre la construction qui est très simple.

 

Il y a cependant quelques cas particuliers à examiner.

 

Principe de l'addition de deux points

Courbe y2 = x3 – 5x + 8

 

Addition d'un point à lui-même

Si le point Q se rapproche du point P, la droite PQ tend vers la tangente en P à la courbe.

La construction de la somme est identique en prenant non plus la sécante, mais la tangente.

 

So far, so good! Jusque là tout va bien.

Reste à analyser deux cas particuliers liés à la verticalité.

 

Addition de P et P

 

Addition de points sur une verticale

Si les points P et Q sont situés sur une verticale (même abscisse), alors P = Q = –P

 La verticale ne rencontre pas la courbe en un troisième point. Le point R n'existe pas. Que faire?

On imagine tout de même un troisième point, dit rejeté à l'infini et que l'on nomme O.

En fait, ce point se trouve n'importe où sur la verticale.

 

Ce nouveau pseudo-point est l'élément neutre de l'addition des points. Le pendant du zéro pour l'addition arithmétique.

 

Notez bien que ce pseudo-point n'est pas à l'origine des axes.

Additions de points de même abscisse

 

Addition de points sur la tangente verticale

Comme précédemment (cas n°2), on a recourt à la tangente et alors  P + P = 2 P = O

 

Addition de deux points sur la tangente verticale

Conclusion

On se souvient qu'il s'agit d'une définition s'appuyant sur une construction simple.

Muni de l'artifice du point neutre O, l'opération possède toutes les propriétés habituelles de l'addition.

  

Il s'agit alors de voir comment calculer les coordonnées du point somme.

 

Propriétés de l'addition

P + O = O + P = P

P + ( –P) = O

P + Q = Q + P

P + (Q + Q') = (P + Q) + Q'

 

Coordonnées du point R = P + Q

Une courbe elliptique:

 

Deux points:

 

Et la sécante passant par P1 et P2:

 

y2 = x3 + Ax + B

 

P1 (x1, y1) et P2 (x2, y2)

 

y = ax  + b

 

Calcul de la pente a :

Classiquement la valeur de b

Les abscisses des trois points d'intersection sont solutions de =>

Soit avec le produit impliquant les trois racines =>

(ax + b)2 = x3 + Ax + B

 

x3 + Ax + B – (ax + b)2

= (x – x1) (x – x2) (x – x3)

 

En développant des deux côtés

x3– a2x2 + (A – 2ab)x + B – b² = 0
x3 – (x1+x2+x3)x2 + (x1x2+x1x3+x2x3)x – x1x2x3 = 0

En égalant les coefficients de x²

a2  = x1+x2+ x3

x3 = a2 – x1 – x2  

Et l'ordonnée du point P3 sur la sécante:

y3 = ax3  + b

Coordonnées de la somme

x4 =  x3     et      y4 = - y3

 

Exemple:    y² = x3 – 5x + 8

 

Points quelconques en rouge

x1 = -2,5  et  y1 = 2,21

x2 = -1       et y2 = 3,46

y3 = 7,8  et y4 = - 7,8 

 

Points rationnels en noir

x1 = 1          et  y1 = 2

x2 = -7/4       et y2 = 27/8

x3 = 1

y3 = 2    et   y4 = - 2 

 

 

 

Suite

*         Vers l'elliptique

*         Rang des courbes elliptiques

Voir

*         Équations diophantiennes

*         ConjecturesIndex

*         Actualités 2016

*         Théorie des nombresIndex

Sites

*         Courbe elliptique – Wikipédia

*         Intégrales elliptiques,  courbes et fonctions elliptiques – Serge Mehl

*         Conjecture pour les courbes elliptique – Rasa Steuding et Peter Meier – Pour la Science – 30/11/1999

*         Factoriser des entiers par la méthode des courbes elliptiques** – Reynald Lercier – DEA de 1993

*         Elliptic curves – Wolfram MathWorld

*         An introduction to the Theory of Elliptic Curves – Joseph H. Silverman – 2006

*         Elliptic Curve Cryptography: a gentle introduction – Andrea Corbellini – 2015

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Elliptiq.htm