NOMBRES - Curiosités, Théorie et Usages

 

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Son périmètre

Ovale

Segment de Parabole

Propriétés diverses

Quart d'ellipse

 

Sommaire de cette page

>>> Construire le centre, les axes et les foyers

>>> Ellipse et ovale

>>> Ellipse – Faits

>>> Allure

>>> Équations - Résumé

>>> Super ellipse

>>> Ellipse en chiffres

>>> Aire et périmètre de l'ellipse

>>> Rectangle inscrit dans l'ellipse

>>> Volume du cône elliptique

 

 

 

 

 

ELLIPSE

 

L'ellipse est l'une des trois coniques. Un cercle aplati qui partage de nombreuses similitudes mathématiques avec lui, mais qui s'évade vite vers la complexité de calcul.

La trajectoire des  planètes autour de leur étoile est une ellipse. Les trois lois de Kepler modélisent leur orbite.

 

Aire et périmètre de l'ellipse en fonction du grand axe et du petit axe

Développements >>>

 

A) Construire (règle et compas) le centre de l'ellipse connaissant son tracé

En vert pointillé: construction de la médiatrice.

Voir Centre du cercle / Constructions élémentaires

 

B) Construire les deux axes connaissant le centre

 

C) Construire les deux foyers de l'ellipse connaissant les deux axes

Voir Autres constructions avec l'ellipse / Constructions géométriquesIndex

Merci à Patrick Herrmann pour sa relecture attentive

 

 ELLIPSE et OVALE

ELLIPSE

*  Étymologie: une ellipse du grec elleipsis, manque, défectueux.

*  Courbe plane dont tous les points sont tels que la somme de leur distance à deux points fixes appelés foyers est constante.

*   Aussi: Sous-entendu, raccourci dans l'expression de la pensée.

OVALE

*  Ovale du latin ovum, œuf.

*  Courbe plane, fermée, convexe et allongée, ayant deux axes de symétrie comme l'ellipse.

Voir Ovale  / Historique avec Dürer et Kepler

 

 ELLIPSE – FAITS

*  C'est une sorte de cercle vu de travers, en perspective.

*  On rencontre l'ellipse en sectionnant un cône.

*  C'est la courbe du jardinier : Prendre une ficelle fixée à deux piquets en M et M'. Un plantoir en M décrira une ellipse en gardant la ficelle tendue.

Voir Cercle et ellipse du jardinier

*  La trajectoire des planètes et des comètes est une ellipse dont le Soleil est l'un des foyers; découverte faite par Kepler en 1609.

Voir Spirale du jardinier / Équerre du jardinier / Construction de l'ellipse

 

 ALLURE

*  Courbe telle que:

MA + MB = 2a

*  Son équation:

 Voir Explications

*  Forme de l'ellipse:

-         Effet de l'un des paramètres a et b:

*    a vaut successivement: 1 (cercle), puis 2, 3, 4 et 5;

*    tandis que b reste égal à 1 (et c vaut 1).

-         Effet de la constante c:

*    a et b sont constants: a = 2 et b = 1;

*    c vaut successivement: 1 , 2 , 4 , 8 et 16.

 

 

Équations - Résumé

Équation cartésienne de l'ellipse centrée en E (c, d) et demi-axes a et b

Demi-distance focale: OF = OF' = c

Point P sur l'ellipse

PF + PF' = 2a

Excentricité

Pente de la tangente en P(xp, yp)

Pente de la normale en P(xp, yp)

Voir Application

Tangente passant un point M (xm, ym) extérieur à l'ellipse. Les pentes p sont  solutions de l'équation:

(a² – xm)p² + 2·xm·ym·p

                 + (b² – ym²) = 0

Équations paramétriques
Axes parallèles aux axes du repère

x = a cos(t)

y = b sin (t)

Axes obliques aux axes du repère

x = a cos(t)

y = b sin (t + φ)

Équation polaire

 

 

 

Super ellipse

Une ellipse gonflée ou ovale.

En rouge k = 2 (ellipse)

En vert   k = 2,5, et

En jaune k = 3.

Voir Équation des formes ovales

 

 

 

Ellipse en chiffres

 

*    L'ellipse est le lieu des points P tels que =>

*    C'est aussi le lieu des points tels que =>

La constante e est l'excentricité.

Pour l'ellipse: 0 < e < 1.

 

 

Opération

Formulation

Exemple numérique

*    Segments BF et BF'

BF + BF' = 2a

BF = BF' = a

BF = a = 6

*    Distance au foyer c

c² = a² – b²

c² = 36 – 16 = 20

c = 4, 47

*      Excentricité au point A

*      Excentricité au point B

*    Résolution de ces deux équations en d

*    Valeur de l'excentricité

 

Équation cartésienne de l'ellipse

*    Valeurs de r1 et de r2

*    Relation pour l'ellipse

*    Au carré

*    Valeur sous radical

*    Au carré

*    En divisant

*    Si le centre est en O (x0, y0)

*    Équation générique

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

*    Équation paramétrique

 

 

 

Périmètre de l'ellipse  ou circonférence de l'ellipse

 

Paramètres de l'ellipse



Encadrement du périmètre (et exemple avec a = 6 et b = 4)

Méthode des cercles équivalents de circonférence

 

 

Kepler (1571-1630) utilisait un cercle équivalent tel que:

  

 

En 1883, Thomas Muir (1844-1934) donne cette formule qui améliore nettement le résultat:

 

Formules plus précises et explications sur le périmètre de l'ellipse >>>

 

 

 

Rectangle inscrit dans l'ellipse

Soit une ellipse avec ses foyers en (-10, +10) et ses demi-axes
.

 

Comment construire le carré inscriptible dans l'ellipse ? Par le calcul du côté du carré.

Ellipse

Son équation:

 

Aire de l'ellipse

 

Côté du carré

Le point M à la fois sur l'ellipse et  sommet du carré est tel que x = y

 

Aire du carré (= 4 x²)

 

 

 

Cône elliptique

 

Le volume d'un cône droit de base elliptique

est égal à:

 

Voir Volume du cône / Cône elliptique – Développements

 


 

Exemple

Un tas de terre se trouve dans l'angle d'un mur rectangulaire. Cette terre ayant été déversée depuis l'angle supérieur du coin des deux murs, elle s'est répandue assez régulièrement en un tas de forme plus ou moins conique.

 

 

 

 

 

Calcul de tête

 

 

Calcul de la formule

Équation du cône avec origine au sommet.

Pour  

Volume du cône

 

Le calcul de cette intégrale triple avec ces paramètres (pas simple) donne bien la formule indiquée.

 

 

Anglais: how to find the volume for a right elliptical cone?

Demi-grand axe et demi-petit axe: semi major axis and semi minor axis

 

 

Anecdote suite à une pluie torrentielle survenue en janvier 2014

J'ai eu à effectuer ce calcul de volume suite à un éboulement de terre de 40 m3 en provenance de la propriété voisine située au-dessus de la mienne. La majorité de cette terre s'est déversée dans le coin muré de mon jardin.

 

 

 

Suite

*    Calcul du périmètre de l'ellipse

*    Cercle inscrit dans le quart d'ellipse

*    Cône elliptique – Développements

*    Constructions de l'ellipse

*    Ellipse – Curiosités, énigmes

*    Ellipse dorée

*    Fonctions elliptiques

*    Hexagone mystique de Pascal

*    Hyperbole

*    Lois de Kepler – Orbite elliptique des planètes

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*    Point de Frégier

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Voir

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Sites

*      La géométrie de l'ellipse – GFA-BASIC 32 Codes

*      Ellipse – Wikipédia

*      Ellipsographe – Wikipédia – Voir Animations

*      Ellipse (Mathcurve) – Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET, Alain Esculier

*      Ellipse – Physique et simulations numériques

*      Les coniques – Serge MEHL

*      Les coniques – Applets par XiTi

*      Les coniques – Bibm@th

*    Les coniques – M@ths et tiques

*    Perimeter of an ellipse – Gilles Cazelais – Justification de la formule itérative 1 donnée ci-dessus.

*    Approximations of Ellipse Perimeters – Review of known formulae – Stanislas Sykora – 2005 -  Toutes les formules connues et leurs comparaisons

*    Ellipse Perimeter – The quest for a simple, exact expression -  document pdf de 74 pages

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