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Géométrie

 

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Segment de Parabole

 

Sommaire de cette page

>>> Construire le centre, les axes et les foyers

>>> Ellipse et ovale

>>> Ellipse – Faits

>>> Allure

>>> Super ellipse

>>> Ellipse en chiffres

>>> Aire et périmètre de l'ellipse

>>> Volume du cône elliptique

 

 

 

 

 

ELLIPSE

 

L'ellipse est l'une des trois coniques. Un cercle aplati qui partage de nombreuses similitudes mathématiques avec lui, mais qui s'évade vite vers la complexité de calcul.

La trajectoire des  planètes autour de leur étoile est une ellipse. Les trois lois de Kepler modélisent leur orbite.

 

Aire et périmètre de l'ellipse en fonction du grand axe et du petit axe

Développements >>>

 

A) Construire (règle et compas) le centre de l'ellipse connaissant son tracé

En vert pointillé: construction de la médiatrice.

Voir Centre du cercle / Constructions élémentaires

 

B) Construire les deux axes connaissant le centre

 

C) Construire les deux foyers de l'ellipse connaissant les deux axes

Voir Constructions géométriquesIndex

 

 

 ELLIPSE et OVALE

ELLIPSE

*  Étymologie: une ellipse du grec elleipsis, manque, défectueux.

*  Courbe plane dont tous les points sont tels que la somme de leur distance à deux points fixes appelés foyers est constante.

*   Aussi: Sous-entendu, raccourci dans l'expression de la pensée.

OVALE

*  Ovale du latin ovum, œuf.

*  Courbe plane, fermée, convexe et allongée, ayant deux axes de symétrie comme l'ellipse.

Voir Ovale  / Historique avec Dürer et Kepler

 

 ELLIPSE – FAITS

*  C'est une sorte de cercle vu de travers, en perspective.

*  On rencontre l'ellipse en sectionnant un cône.

*  C'est la courbe du jardinier : Prendre une ficelle fixée à deux piquets en M et M'. Un plantoir en M décrira une ellipse en gardant la ficelle tendue.

*  La trajectoire des planètes et des comètes est une ellipse dont le Soleil est l'un des foyers; découverte faite par Kepler en 1609.

Voir Spirale du jardinier / Équerre du jardinier / Construction de l'ellipse

 

 ALLURE

*  Courbe telle que:

MA + MB = 2a

*  Son équation:

 Voir Explications

*  Forme de l'ellipse:

-         Effet de l'un des paramètres a et b:

*    a vaut successivement: 1 (cercle), puis 2, 3, 4 et 5;

*    tandis que b reste égal à 1 (et c vaut 1).

-         Effet de la constante c:

*    a et b sont constants: a = 2 et b = 1;

*    c vaut successivement: 1 , 2 , 4 , 8 et 16.

 

Super ellipse

Une ellipse gonflée ou ovale.

En rouge k = 2 (ellipse)

En vert   k = 2,5, et

En jaune k = 3.

Voir Équation des formes ovales

 

 

 

Ellipse en chiffres

 

*    L'ellipse est le lieu des points P tels que =>

*    C'est aussi le lieu des points tels que =>

La constante e est l'excentricité.

Pour l'ellipse: 0 < e < 1.

 

 

Opération

Formulation

Exemple numérique

*    Segments BF et BF'

BF + BF' = 2a

BF = BF' = a

BF = a = 6

*    Distance au foyer c

c² = a² – b²

c² = 36 – 16 = 20

c = 4, 47

*      Excentricité au point A

*      Excentricité au point B

*    Résolution de ces deux équations en d

*    Valeur de l'excentricité

 

Équation cartésienne de l'ellipse

*    Valeurs de r1 et de r2

*    Relation pour l'ellipse

*    Au carré

*    Valeur sous radical

*    Au carré

*    En divisant

*    Si le centre est en O (x0, y0)

*    Équation générique

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

*    Équation paramétrique

 

 

Périmètre de l'ellipse

 

Autant le calcul du périmètre du cercle est simple (P = 2  R), autant le périmètre de l'ellipse n'est pas simple à calculer. Il existe des calculateurs en ligne sur Internet. Hélas, ils utilisent la formule d'approximation la plus classique qui ne donne qu'une précision de 1%. Avec une calculette, prenez la formule dite en a et b, vous aurez 0,007% sans difficulté. La formule de Ramanujan 2 vous donnera jusqu'à 12 chiffres significatifs. Évidemment si vous avez les outils, vous pouvez calculer la valeur exacte de l'intégrale.

 

Paramètres de l'ellipse



Le tableau suivant donne les principales formules  par rang de précision croissante.

 

 

 

Calcul de l'intégrale

Avec Maple pour l'exemple du tableau ci-dessus:

A est la fonction à intégrer.

Int est la commande d'intégration: on indique que c'est A qui doit être intégré en x de x = 0 à x = Pi/2.

Evalf permet de calculer la valeur numérique, en incluant le coefficient 4a et avec 20 chiffres significatifs.

Les points virgules signifient que nous voulons le retour imprimé; ce que nous avons en bleu.

 

 

 

 

Ramanujan et le méridien terrestre

Ramanujan donne cette très bonne approximation de la circonférence de l'ellipse:

 

Appliquée à la longueur d'un méridien terrestre, cette formule donne:

a = 6378 137 m Rayon à l'équateur.

b = 6 356 752,3141 m Rayon au pôle.

p = 40 007 862, 9167951 m calculée.

Pr = 40 007 862, 9164813 m réelle.

 

 

Cône elliptique

 

Le volume d'un cône droit de base elliptique est égal à:


 

Exemple

Un tas de terre se trouve dans l'angle d'un mur rectangulaire. Cette terre ayant été déversée depuis l'angle supérieur du coin des deux murs, elle s'est répandue assez régulièrement en un tas de forme plus ou moins conique.

 

 

 

 

 

Calcul de tête

 

 

Calcul de la formule

Équation du cône avec origine au sommet.

Pour  

Volume du cône

 

Le calcul de cette intégrale triple avec ces paramètres (pas simple) donne bien la formule indiquée.

 

 

Anglais: how to find the volume for a right elliptical cone?

Demi-grand axe et demi-petit axe: semi major axis and semi minor axis

 

 

Anecdote suite à une pluie torrentielle survenue en janvier 2014

J'ai eu à effectuer ce calcul de volume suite à un éboulement de terre de 40 m3 en provenance de la propriété voisine située au-dessus de la mienne. La majorité de cette terre s'est déversée dans le coin muré de mon jardin.

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Ovale – Ove

*    Hyperbole

*    Fonctions elliptiques

*    Lois de Kepler – Orbite elliptique des planètes

Voir

*    Centre de gravité de l'ellipse

*    Cercle

*      Cône

*      Courbes élémentaires

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Sites

*      Ellipse – Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET, Alain Esculier

*      Les coniques – Serge MEHL

*      Les coniques – Applets par XiTi

*      Les coniquesBibm@th

*    Les coniques simples par M@ths et tiques

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