NOMBRES

 - Curiosités, théorie et usages

 

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Type de nombres

 

Débutants

Nombres

Nombres congruents

 

Glossaire

Nombres

 

 

 

INDEX

Nombres

Présentation

Valeurs

Propriétés

Historique

Formule

 

Sommaire de cette page

>>> Importance de cette notion

>>> Somme et produit

>>> Propriétés

>>> Carrés en progression arithmétique

>>> Courbes elliptiques

>>> Recherche

>>> Généralisation

 

 

 

NOMBRES CONGRUENTS

 

 

Triplets de nombres dont l'écart entre les carrés est identique:

 

Alors n est dit nombre congruent. C'est aussi un nombre entier donnant  l'aire d'un triangle rectangle.

 

Petit air de famille avec les triplets de Pythagore? En effet!

 

 

 

IMPORTANCE de cette notion

 

*      La recherche des nombres congruents est un problème dont l'énoncé est simple, mais dont la résolution mobilise une grande énergie des mathématiciens, d'autant que son énoncé date de l'Antiquité.

*      Les nombres congruents relient plusieurs mondes:

*      les triplets de Pythagore et la géométrie du triangle rectangle; >>>

*      la progression arithmétique entre carrés;  >>>

*      la somme de deux carrés valant le double d'un carré; >>>

*      les solutions rationnelles sur les courbes elliptiques. >>>

 

 

 

Somme, produit

 

*      Le triplet

*      Somme des termes

*      Produit, en souvenant que le produit de trois carrés est un carré.
Le produit des deux extrêmes est aussi un carré.

 

 

v² – n ,   v²,   v² + n

 

S = 3v²

 

P² = v² (v² – n) (v² + n)

   = v6 – n²v²

 

Q² = (v² – n) (v² + n)

 

Exemple avec 1, 25, 49

Produit = 1225 = 35²

 

*      Le triplet

 

 

*      Somme des termes


*      Différence

 

u² , v² , w²

avec u² + n = v² et

          v² + n = w²

 

u² + v² + 2n = v² + w²

2n = w² – u²

 

u² – v² = v² – w²

2v² = w² + u²

 

 

 

 

Propriétés générales

 

 

Infinité

*      Comme pour les triplets de Pythagore, connaître un nombre congruent, c'est en connaître une infinité. Il suffit de le multiplier par un carré. Les côtés sont doublés et l'aire est quadruplée. Ainsi avec le nombre congruent 5, on forme 5 x 4 = 20, 5 x 9 = 45, 5 x 16 = 80 … Les plus petits sont appelés les nombres congruents primitifs.

 

*      Il y a donc une infinité de nombres congruents.

*      Dans ces conditions, les nombres congruents primitifs ne comportent pas de carrés (sans facteur carré ou squarefree). De sorte que le recensement de tels nombres pourra se limiter aux nombres sans facteur carré.

 

Triplets de Pythagore primitifs

 

*      Les triplets primitifs de Pythagore dont le second terme est pair engendrent une série de nombres congruents.

*      les trois termes sont: (A² – B²), (2AB) et (A² + B²);

*      Les conditions: A > B > 0; (A,B) = 1; et AB mod 2; et

*      n = A.B (A² – B²).

Suite en Nombres congruents entiers

 

 

Nombre 1

*      Comme l'a démontré Fermat, le nombre 1 n'est pas congruent. Conséquence: il n'existe aucun carré rationnel qui est congruent.

*      De même, comme le nombre 1 n'est pas un nombre congruent, le triangle rectangle isocèle (2, 2, 1) n'est pas rationnel, et, par conséquent, racine de deux est irrationnel.

Premiers

*      En 1952, Heegner démontre: si p  5 mod 8 ou p  7 mod 8 est premier alors p est un nombre congruent.

 

*      Si p est un nombre premier, alors:

Congruent

OUI

NON

si p  3 (mod 8)

     2p

p

si p  5 (mod 8)

p

 

si p  7 (mod 8)

p , 2p

 

 

*      Non congruence (résultats de Genocchi - 1855):

Congruent

NON

si p  3 (mod 8)

p

si p  3 (mod 8) et q  3 (mod 8)

p.q

si p  –3 (mod 8)

2p

si p  –3 (mod 8) et q  –3 (mod 8)

2p.q

 

*      Heegner et Birch ont trouvé que:

Congruent

OUI

si p  –1 (mod 4)

2p

 

*      En 1972, Alter, Curtz and Kubota conjecturent que  si n = 5, 6 or 7 modulo 8 alors n est un nombre congruent. Démontré en 1975 par Stephens sous réserve de la validité de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

 

Facteurs

*      Tout nombre congruent peut s'écrire sous la forme n = k².p.q. (p² – q²).

 

Voir Valeurs

 

 

Carrés en progression arithmétique

 

*      Un nombre congruent est l'aire d'un triangle rectangle rationnel; c'est aussi la raison d'une progression arithmétique entre trois carrés.

*      Prenons par exemple 1², 5² et 7². Écart 24 = 2² x 6. Le nombre 24 est congruent, ainsi que 6, lorsqu'on retire le carré.

 

 

Relations entre les deux notions

 

 

Triangle rectangle rationnel

Progression arithmétique

Formules

 

Conversion

 

 

Exemples

 

 

 

 

 

 

Tables

 

Triplets de Pythagore et triplets de carrés en progression

*      Remarquez que, pour le "triplet progression", la somme des extrêmes est égale à deux fois le nombre central.

u² + w² = 2v².

Exemples: 1 + 49 = 50 = 2 x 25 ou 49 + 289 = 338 = 2 x169.

 

Quelques triplets avec le nombre congruent primitif 6

Voir Triplets de Pythagore / Primitifs

 

 

Courbes elliptiques

 

*      Voici une troisième manière de définir un nombre congruent.

Si la courbe elliptique y² = x3 – n². x contient un point rationnel (y
 0), alors n est un nombre congruent.

Théorème associé

 

*      Si trois carrés de nombres rationnels sont en progression arithmétique de raison n, leur produit est un exprimé par la relation:

P² = (v² – n) v² (v² + n) = v² (v4 – n²)            =  (v²)3 – v² u²


Cette relation établit le fait que, si n est congruent, il existe un point de coordonnées rationnelles sur la courbe elliptique: y² = x3n²x

 

Remarque

*      En 1877, Lucas avait prouvé que n est congruent si et seulement si l'équation suivante  a des solutions en nombres positifs rationnels:

y² = x4 – n²

 

 

Relations avec a, b et c

 

 

Triangle rectangle rationnel

Courbe elliptique

Formules

 

Conversion

Exemple

Illustration

Voir Nombres congruents: formules et courbes elliptiques / Cercle unité et courbes elliptiques /

Méthode de cryptage

 

 

Fonction elliptique et nombres***

Courbe elliptique E: y² = x3 + ax² + bx + c  avec a, b et c .

Avec p premier, N(p) est la quantité de points dans E modulo p.

N(p) est la quantité de solutions (x,y) mod p de l'équation E mod p.

 

 

 

Recherche – Un coup d'œil …

 

Nature du problème

*      S'il est simple de rechercher des nombres congruents "entiers" avec la formule des triplets de Pythagore, c'est plus difficile avec des nombres fractionnaires. Il faut parfois aller très loin pour un nombre assez petit.

*      Exemples classiques avec les nombres 53, 101 ou 157

 

 

Théorème de Tunnell

 

*      Récemment, ce théorème a permis de progresser dans le recensement des nombres congruents. Voici l'allure de ce théorème:

 

sous réserve de la preuve de la conjecture de Birch et SwinnertonDyer.

 

En gros …

*      Cette conjecture ressemble à cela: si E est une courbe elliptique définie sur Q, alors L(E,1) = 0 si et seulement si E a un rang positif.

 

*      L est une série spécifique associée à la courbe elliptique (Cn). C'est un produit d'inverses de puissances de la forme:

 

Voir Développements récents

 

 

Généralisation – Un coup d'œil …

 

t-congruent

*      Un nombre est t-congruent, s'il existe des nombres rationnels positifs tels que:

 

*      Avec le cas classique vu ci-dessus pour t = 1.

 

-congruent

*      Soit un nombre réel  compris entre 0 et  tel que cos  = s/r avec (s,r) = 1, alors n est -congruent si  est l'aire d'un traingle ayant des côtés rationnels et un angle .

 

 

*      Ces notions sont utilisées pour travailler dans le domaine du recensement des nombres congruents et de la recherche des solutions rationnelles sur les courbes elliptiques.

 

Voir Triangle héronien et trigonométrie / Cercle unité et triplets de Pythagore

 

 

 

Suite

*    Nombres congruents – Historique

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Briques de Pythagore

*    Congruence, modulo

*    PythagoreBiographie

*    Triangle de Pythagore

*    Triangle rectangle

Diconombre

*    Nombre 5

*    Nombre 6

*    Nombre 7

*    Nombre 13

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